Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 11: Formy kwadratowe

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Odwzorowanie

$f:V⟶\mathbb{𝕂}$

nazywamy formą kwadratową, jeśli istnieje odwzorowanie dwuliniowe

$\mathrm{\Phi }:V^2⟶\mathbb{𝕂}$

takie, że

$\mathrm{\Phi }(v,v)=f(v)$

dla każdego $v\in V$. Mówimy, że odwzorowanie dwuliniowe $\mathrm{\Phi }$ indukuje formę kwadratową $f$.

Udowodnimy najpierw następujący lemat

Lemat 0.1

Dla formy kwadratowej $f:V⟶\mathbb{𝕂}$ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\varphi :V^2⟶\mathbb{𝕂}$ indukujące $f$.

Dowód

Niech $\mathrm{\Phi }$ będzie pewnym odwzorowaniem dwuliniowym indukującym $f$. Zdefiniujmy odwzorowanie $\varphi$ następująco

$\varphi (u,v)=(1+1{)}^{-1}(\mathrm{\Phi }(u,v)+\mathrm{\Phi }(v,u))$.

Odwzorowanie to jest dwuliniowe, symetryczne i indukuje $f$. Zauważmy, że tutaj właśnie wykorzystaliśmy założenie, że charakterystyka ciała $\mathbb{𝕂}$ jest różna od $2$.

Jedyność symetrycznego $\varphi$ indukującego $f$ wykazujemy jak następuje.

Niech ${\varphi }^{\prime }$, ${\varphi }^{″}$ będą odwzorowaniami dwuliniowymi symetrycznymi indukującymi $f$. Wtedy $\varphi ={\varphi }^{\prime }-{\varphi }^{″}$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym takim, że $\varphi (v,v)=0$ dla każdego $v\in V$. Wykorzystując dwuliniowość i symetrię $\varphi$ otrzymujemy następujące równości

$0=\varphi (u+v,u+v)=\varphi (u,u)+2\varphi (u,v)+\varphi (v,v)=2\varphi (u,v)$

dla dowolnych wektorów $u,v\in V$. A zatem ${\varphi }^{\prime }(u,v)={\varphi }^{″}(u,v)$ dla dowolnych $u,v\in V$.

Jedyne dwuliniowe odwzorowanie symetryczne indukujące $f$ nazywa się odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową $f$.

Dla odwzorowania dwuliniowego $\mathrm{\Phi }$ rozważamy odwzorowanie

$\tilde{\mathrm{\Phi }}:V\ni v⟶\{V\ni u⟶\mathrm{\Phi }(u,v)\in \mathbb{𝕂}\}\in V^{*}$      (0.1)

Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.

Od tego momentu zakładamy, że wszystkie rozważane w tym wykładzie przestrzenie są skończenie wymiarowe.

Plik:Ag11 1a.mp4

Macierz odwzorowania dwuliniowego

Niech $e_1,...e_n$ będzie bazą przestrzeni $V$ zaś $e_1^{*},\dots ,e_n^{*}$ będzie jej bazą dualną. Znajdźmy macierz odwzorowania $\tilde{\mathrm{\Phi }}$ przy tak wybranych baz. Skorzystajmy ze wzoru (5.4) z Wykładu IV.

Otrzymujemy następujące równości

$\begin{array}{rl}\tilde{\mathrm{\Phi }}(e_j)& =(\tilde{\mathrm{\Phi }}(e_j))(e_1)e_1^{*}+...+(\tilde{\mathrm{\Phi }}(e_j))(e_n)e_n^{*}\\ & =\mathrm{\Phi }(e_j,e_1)e_1^{*}+...+\mathrm{\Phi }(e_j,e_n)e_n^{*}.\end{array}$

Oznacza to, że poszukiwana macierz $\tilde{\mathrm{\Phi }}$ jest równa macierzy $[\mathrm{\Phi }(e_i,e_j)]$. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania dwuliniowego w bazie $e_1,\dots ,e_n$.

Jeżeli $\varphi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową $f$, to macierz tę nazywa się macierzą formy kwadratowej $f$ przy bazie $e_1,\dots ,e_n$. Macierz formy kwadratowej jest symetryczna. Rząd tej macierzy jest rzędem odwzorowania liniowego $\tilde{\varphi }$ i nazywa się rzędem formy kwadratowej $f$.

Mając bazę $e_1,\dots ,e_n$ przestrzeni $V$ i macierz formy kwadratowej $f$ możemy znaleźć wartość $f$ na dowolnym wektorze $v\in V$. Mianowicie, jeśli $\varphi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z $f$, $a_{ij}=\varphi (e_i,e_j)$ oraz $v=v_1{e}_1+...+e_n{e}_n$, to

$f(v)=\sum _{i,j=1}^n{v}_i{v}_j{a}_{ij}$      (0.2)

Zobaczmy jeszcze, jak zmienia się macierz odwzorowania dwuliniowego, jeśli zmienimy bazę. Niech więc dane będą dwie bazy przestrzeni wektorowej $V$: $e_1,\dots ,e_n$, $e{\text{'}}_1,...e{\text{'}}_n$. Niech $P$ będzie macierzą przejścia od bazy $e_1,\dots ,e_n$ do bazy $e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n$, tzn.

$e{\text{'}}_j=\sum _{i=1}^k{p}_{ij}{e}_i$,

dla $j=1,\dots ,n$ (porównaj rozdział 4. Wykładu VI). Jeśli $\mathrm{\Phi }:V\times V⟶\mathbb{𝕂}$ jest odwzorowaniem dwuliniowym, to zachodzą następujące równości

$\mathrm{\Phi }(e{\text{'}}_i,e{\text{'}}_j)=\mathrm{\Phi }(\sum _{k=1}^n{p}_{ki}{e}_k,\sum _{l=1}^n{p}_{lj}{e}_l)=\sum _{k,l=1}^n{p}_{ki}\mathrm{\Phi }(e_k,e_l)p_{lj}$

A zatem przy zmianie bazy macierz odwzorowania dwuliniowego zmienia się według wzoru

$A^{\prime }=P^{*}AP$,      (0.3)

gdzie $A$ jest macierzą $\mathrm{\Phi }$ przy bazie $e_1,\dots ,e_n$, zaś $A^{\prime }$ jest macierzą $\mathrm{\Phi }$ przy bazie $e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_n$.

Co prawda udowodniliśmy już, że rząd macierzy $\mathrm{\Phi }$ nie zależy od wyboru bazy, ale warto zauważyć, że wynika to również z powyższego wzoru, bo $P$ jest macierzą nieosobliwą.

Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem $\mathbb{ℝ}$

Celem tego rozdziału jest pokazanie, że w przestrzeni wektorowej nad ciałem $\mathbb{ℝ}$, każda forma kwadratowa ma macierz szczególnie prostej postaci.

Rozważymy najpierw formy kwadratowe w przestrzeniach euklidesowych. Udowodnimy teraz twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie 1.1

Niech $f$ będzie formą kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej $V$. Istnieje baza ortonormalna $e_1,\dots ,e_n$ przestrzeni $V$, przy której macierz $A$ formy kwadratowej $f$ jest diagonalna i $a_{11}\ge ...\ge a_{nn}$, gdzie $a_{11},\dots ,a_{nn}$ są wyrazami głównej przekątnej macierzy $A$.

Dowód

Dowód twierdzenia jest indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni $V$.

Dla $n=1$ twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla $(n-1)$.

Niech $f$ będzie formą kwadratową na $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej $V$. W przestrzeni $V$ mamy naturalną topologię. Albo wprowadzimy ją przez normę (którą mamy, bo iloczyn skalarny definiuje normę), albo bierzemy dowolny izomorfizm liniowy $h:V⟶{\mathbb{ℝ}}^n$ i mówimy, że podzbiór $C$ przestrzeni $V$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $h(C)$ jest otwarty w ${\mathbb{ℝ}}^n$. Ponieważ każde odwzorowanie liniowe przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^n$ jest ciągłe, więc tak zdefiniowana topologia nie zależy od wyboru izomorfizmu $h$. Tak czy inaczej, sfera jednostkowa

$S^{n-1}=\{v\in V|\Vert v\Vert =1\}$

jest zbiorem zwartym a forma kwadratowa jest odwzorowaniem ciągłym na $V$ (porównaj wzór (0.2)).

A zatem istnieje wektor $e_1\in S^{n-1}$, w którym funkcja $f$ osiąga swoje maksimum. Niech $W$ będzie dopełnieniem ortogonalnym do podprzestrzeni $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\{e_1\}$. Podprzestrzeń $W$ jest $(n-1)$-wymiarowa.

Na podstawie założenia indukcyjnego wiemy, że dla $\tilde{f}=f_{|W}$ istnieje baza ortonormalna $e_2,\dots ,e_n$ przestrzeni $W$, przy której macierz $\tilde{f}$ jest diagonalna i wyrazy na głównej przekątnej tworzą ciąg niemalejący. Twierdzimy, że $e_1,\dots ,e_n$ jest bazą $V$ spełniającą żądane warunki.

Po pierwsze $e_1,...e_n$ jest oczywiście bazą ortonormalną $V$ i $\varphi (e_1,e_1)=f(e_1)\ge f(e_i)=\varphi (e_i,e_i)$ dla każdego $i=2,...n$, bo wszystkie $e_2,\dots ,e_n$ należą do $S^{n-1}$. Wystarczy teraz pokazać, że $\varphi (e_1,e_i)=0$ dla każdego $i=2,...n$. W tym celu, dla ustalonego wskaźnika $i=2,\dots ,n$, rozważmy funkcję

$F:\mathbb{ℝ}\ni \tau ⟶f((\cos \tau )e_1+(\sin \tau )e_i)\in \mathbb{ℝ}$.

Wektor $(\cos \tau )e_1+(\sin \tau )e_i$ należy do $S^{n-1}$ dla każdego $\tau$. Ponieważ $f$ osiąga w $e_1$ maksimum, więc funkcja $F$ osiąga maksimum w $\tau =0$. Zatem $F^{\prime }(0)=0$. Mamy następujące równości

$F(\tau )=({\cos }^2\tau )\varphi (e_1,e_1)+({\sin }^2\tau )\varphi (e_i,e_i)+\frac{1}{2}\sin (2\tau )\varphi (e_1,e_i)$.

Łatwo stad wyliczyć, że

$F^{\prime }(0)=\varphi (e_1,e_i)$.

Wobec tego $\varphi (e_1,e_i)=0$, co kończy dowód twierdzenia.

Udowodnimy teraz twierdzenie o bezwładności form kwadratowych, zwane także twierdzeniem Sylvestera.

Twierdzenie 1.2 [Sylvestera]

Niech $V$ będzie $n$-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{ℝ}$. Dla każdej formy kwadratowej $f$ na $V$ istnieje baza $e_1,\dots ,e_n$, przy której macierz $f$ jest postaci blokowej

$\left[\begin{array}{l}{\mathrm{I}}_{p}00\\ 0{-\mathrm{I}}_{q}0\\ 000\end{array}\right]$,

gdzie ${\mathrm{I}}_k$ jest macierzą jednostkową o wymiarach $k$ na $k$.

Liczby $p$ i $q$ nie zależą od wyboru bazy $e_1,\dots ,e_n$.

Dowód

Na przestrzeni wektorowej $V$ wprowadzamy dowolny iloczyn skalarny (porównaj Przykład 1.4 z Wykładu X) Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz formy $f$ jest taka, jak to opisano w poprzednim twierdzeniu. Uporządkujmy tę bazę tak, aby na głównej przekątnej najpierw (tzn. począwszy od lewego górnego rogu) pojawiły się wyrazy dodatnie, potem ujemne i na końcu wyrazy zerowe. Wystarczy teraz pomnożyć wektory bazy odpowiadające niezerowym wyrazom macierzy pomnożyć przez przez odpowiedni skalar. Jeśli $\varphi (e_i,e_i)=a_{ii}\ne 0$, to $e_i$ zastępujemy wektorem $\frac{1}{\sqrt{|a_{ii}|}}{e}_i$.

Udowodnimy teraz druga część twierdzenia. Widać, że $p+q$ jest rzędem formy kwadratowej $f$, a zatem nie zależy od wyboru bazy. Załóżmy, że dla dwóch baz $e_1,\dots ,e_n$ i $e{\text{'}}_1,...e{\text{'}}_n$ spełniających tezę twierdzenia mamy pary liczb $p,q$ oraz $p^{\prime },q^{\prime }$ odpowiednio. Wiemy, że $p+q=p^{\prime }+q^{\prime }$. Wystarczy więc pokazać, że $p=p^{\prime }$.

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że $p^{\prime }>p$. Niech $U$ będzie podprzestrzenią wektorową generowaną przez wektory $e_{p+1},\dots ,e_n$, zaś $W$ - podprzestrzenią generowaną przez wektory $e{\text{'}}_1,\dots ,e{\text{'}}_{p^{\prime }}$. Mamy następujący ciąg równości i nierówności

$\begin{array}{rl}n=dimV& \ge \dim (U+W)\\ & =\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)\\ & =(n-p)+p^{\prime }-\dim (U\cap W).\end{array}$

Wobec tego $\dim (U\cap W)\ge p^{\prime }-p>0$. Istnieje więc wektor $0\ne v\in (U\cap W)$. Niech $v=v_1{e}_1+...+v_n{e}_n$ i $v=v{\text{'}}_{1}e{\text{'}}_1+...+v{\text{'}}_{n}e{\text{'}}_n$. Ponieważ $v\in U$, więc

$f(v)=-(v_{p+1}{)}^2-...-(v_{p+q}{)}^2\le 0$.

Ponieważ $v\in W$, więc

$f(v)=(v{\text{'}}_1{)}^2+...+(v{\text{'}}_{p^{\prime }}{)}^2\ge 0$.

Porównując te nierowności widzimy, że $f(v)=0$. Ponieważ $v\in U$, więc $v=v_{p+1}{e}_{p+1}+...+v_{p+q}{e}_{p+q}$. Korzystając z tego, że $0=f(v)=-(v_{p+1}{)}^2-...-(v_{p+q}{)}^2$, otrzymujemy, że $v=0$, co jest sprzeczne z naszym założeniem. Dowód twierdzenia jest

zakończony.

Z twierdzenia Sylvestera wynika, że przy pewnej bazie $e_1,\dots ,e_n$ forma kwadratowa dana jest w postaci kanonicznej, tj. wyraża się wzorem

$f(v)=(v_1{)}^2+...+(v_p{)}^2-(v_{p+1}{)}^2-...-(v_{p+q}{)}^2$,      (1.4)

dla $v=\sum _{i=1}^n{v}_i{e}_i$.

Definicja 1.3 [Sygnatura]

Parę liczb $(p,q)$ nazywamy sygnaturą formy kwadratowej.

Mówimy, że forma kwadratowa $f$ jest półokreślona dodatnio, jeśli w powyższym przedstawieniu (1.4) są same plusy. Jeśli są same plusy i $p=n=\dim V$, to mówimy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona. Podobnie definiuje się formy półokreślone ujemnie i określone ujemnie. Forma kwadratowa nazywa się formą określoną, jeśli jest określona dodatnio lub ujemnie.

Niech $f:V⟶V$ będzie endomorfizmem. Mówimy, że odwzorowanie $f$ jest symetryczne, jeśli

$f(v)\cdot w=f(w)\cdot v$

dla każdych wektorów $v,w\in V$.

Niech $\varphi$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym (symetrycznym) zdefiniowanym formułą

$\varphi (v,w)=f(v)\cdot w$.

Odwzorowanie to jest odwzorowaniem skojarzonym pewnej formy kwadratowej. Ze wzoru (1.4) z Wykładu XI i z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz odwzorowania $f$ jest diagonalna. Jest to bardzo szczególny przypadek endomorfizmu mającego bardzo prostą macierz Jordana.