Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to$ det $A(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{ℝ}$, gdzie

$A(x_1,x_2,x_3):=\left[\begin{array}{rrr}{x}_1& x_2& x_3\\ 1& -1& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

$f$ jest odwzorowaniem liniowym. Dobrze

Jeśli $(x_1,x_2,x_3)\in lin\{(1,-1,0),(1,2,3)\}$, to $f(x_1,x_2,x_3)=0$. Dobrze

Jeśli $x_3=x_1+x_2$, to $f(x_1,x_2,x_3)=0$. Dobrze

Jeśli $f(x_1,x_2,x_3)=0$, to $x_3=x_1+x_2$. Dobrze

Dany jest układ równań

$(U)\{\begin{array}{r}5x-2y+z=0\\ 3x+y+5z=0\\ 9x-8y-7z=0.\end{array}$.

Jedynym rozwiązaniem układu $(U)$ jest trójka $(0,0,0)$. Źle

Zbiór rozwiązań układu $(U)$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

Jeśli trójka $(x,y,z)$ jest rozwiązaniem układu $(U)$, to $y=-3x-5z$. Dobrze

Dla dowolnego $x\in \mathbb{ℝ}$ trójka $(x,2x,-x)$ jest rozwiązaniem układu $(U)$. Dobrze

Dany jest układ równań

$(U)\{\begin{array}{r}5x+2y-z=6\\ 3x-y+2z=7\\ x-4y+5z=8.\end{array}$.

Wyznacznik macierzy współczynników układu $(U)$ jest różny od zera. Źle

Jeśli $(x_0,y_0,z_0)$ jest rozwiązaniem $(U)$, to $(x_0-1,y_0-2,z_0-3)$ jest rozwiązaniem układu jednorodnego skojarzonego z $(U)$. Dobrze

Jeśli $(x_0,y_0,z_0)$ jest rozwiązaniem $(U)$, to $(x_0+1,y_0+2,z_0+3)$ jest rozwiązaniem układu $(U)$. Źle

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z $(U)$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

Dany jest układ równań

$(U_a)\{\begin{array}{r}2x-y=a\\ -3x+y+az=1\\ ax+y-3z=-7.\end{array}$.

Jeśli $a\in \mathbb{ℝ}minus\{1,-3\}$, to układ $(U_a)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dobrze

Jeśli $a=1$, to układ $(U_a)$ nie ma rozwiązań. Źle

Jeśli $a=-3$, to układ $(U_a)$ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Źle

Istnieje takie $a\in \mathbb{ℝ}$, że zbiór rozwiązań układu $(U_a)$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

Dany jest układ równań o współczynnikach rzeczywistych

$(U)\{\begin{array}{r}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...........................................\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n.\end{array}$.

Niech $A=[a_{ij}{]}_{i,j=1,2,...,n}$

Jeśli det $A\ne 0$ to dla dowolnego wektora $(b_1,\dots ,b_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ układ $(U)$ ma rozwiązanie. Dobrze

Jeśli det $A\ne 0$ to dla dowolnego wektora $(b_1,\dots ,b_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ układ $(U)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dobrze

Jeśli det $A=0$ to istnieje taki wektor $(b_1,\dots ,b_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$, że układ $(U)$ ma rozwiązanie. Dobrze

Jeśli det $A=0$ to istnieje taki wektor $(b_1,\dots ,b_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$, że układ $(U)$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Źle

Niech $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$ lub $\mathbb{ℂ},n\in \mathbb{\mathbb{N}},n\ge 2$ i niech $A,C\in M(n,n;\mathbb{𝕂}),B,D,X_0,Y_0\in M(n,1;\mathbb{𝕂})$. Rozważamy układy równań

$(U_1)AX=B$ oraz $(U_2)CX=D$

o niewiadomej $X\in M(n,1;\mathbb{𝕂})$.

Jeżeli $X_0$ jest rozwiązaniem układu $U_1$, $B$ jest rozwiązaniem układu $U_2$, to $X_0$ jest rozwiązaniem układu $(CA)X=D$. Dobrze

Jeżeli $X_0$ jest rozwiązaniem układu $U_1$, $B$ jest rozwiązaniem układu $U_2$, to $X_0$ jest rozwiązaniem układu $(AC)X=D$. Źle

Jeżeli $X_0$ jest rozwiązaniem układu $(CA)X=D$, to $A{X}_0$ jest rozwiązaniem układu $U_2$. Dobrze

Jeżeli $X_0$ jest rozwiązaniem układu $U_1$, $Y_0$ jest rozwiązaniem układu $U_2$, to $X_0+Y_0$ jest rozwiązaniem układu $(A+C)X=B+D$. Źle