Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (x_1+x_2-2x_3,x_1-x_2+x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ i niech

$A=\left[\begin{array}{rrr}2& -1& -1\\ -2& 1& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{rrr}1& 1& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$

$A$ jest macierzą $f$ w bazach uporządkowanych $(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)$ oraz $(1,1),(0,1)$. Dobrze

$A$ jest macierzą $f$ w bazach uporządkowanych $(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)$ oraz $(0,1),(1,1)$. Źle

$B$ jest macierzą $f$ w bazach kanonicznych. Dobrze

$A^{*}$ jest macierzą $f^{*}$ w bazach dualnych do kanonicznych. Źle

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (-x_2+x_3,x_1+x_3,2x_1+x_2+3x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ i niech

$A=\left[\begin{array}{rrr}0& 1& 2\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right]$

$A$ jest macierzą $f$ w bazie kanonicznej. Źle

$A$ jest macierzą $f^{*}$ w bazie dualnej do bazy kanonicznej. Dobrze

$A^{*}$ jest macierzą $f$ w bazie kanonicznej. Dobrze

$A^{*}$ jest macierzą $f^{*}$ w bazie dualnej do bazy kanonicznej. Źle

Wiemy, że

$A=\left[\begin{array}{rr}4& 0\\ 0& 2\\ -1& 1\end{array}\right]$

jest macierzą odwzorowania liniowego $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazach $u_1=(1,1),u_2=(1,-1)$ oraz $v_1=(0,1,1),v_2=(1,0,1),v_3=(0,-1,0)$.

$f$ jest epimorfizmem. Źle

$f$ jest monomorfizmem. Dobrze

rk $f^{*}=1$. Źle

ker $f^{*}=\{0\}$. Źle

Dane są: odwzorowanie $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (x_1,x_1+x_3,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^3$, wektory $u_1=(1,0,0),u_2=(1,1,0),u_3=(1,1,1)$, formy liniowe ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\in ({\mathbb{ℝ}}^3{)}^{*}$ dane wzorami ${\alpha }_1(x_1,x_2,x_3)=x_1-x_2,{\alpha }_2(x_1,x_2,x_3)=x_2-x_3,{\alpha }_3(x_1,x_2,x_3)=x_3$ oraz macierz

$A=\left[\begin{array}{rrr}0& 0& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ tworzą bazę dualną do bazy $u_1{u}_2,u_3$. Dobrze

$A$ jest macierzą $f$ w bazie $u_1{u}_2,u_3$. Dobrze

rk $f=2$. Źle

$A^{*}$ jest macierzą $f^{*}$ w bazie ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$. Dobrze

Niech $V$ i $W$ będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{ℝ}$. Niech $\dim V=n,\dim W=m$ i nich $A_f$ będzie macierzą odwzorowania $f$ w dowolnie ustalonych bazach przestrzeni $V$ i $W$.

Jeżeli $f$ jest monomorfizmem, to rk $A_f=m$. Źle

Jeżeli $f$ jest epimorfizmem, to rk $A_f=n$. Źle

Jeżeli rk $A_f=m$, to $f$ jest epimorfizmem. Dobrze

Jeżeli rk $A_f=n$, to $f$ jest izomorfizmem. Źle

Niech

$f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x_1,x_2)\to (x_1+x_2,x_1+2x_2,2x_1+x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^3,g:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (y_1,y_2,y_3)\to (y_3,y_2-y_1)\in {\mathbb{ℝ}}^2$

i niech

$A=\left[\begin{array}{rr}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$

$A$ jest macierzą $g\circ f$ w bazie kanonicznej. Dobrze

ker $g\circ f=$ ker $f$. Dobrze

rk $g\circ f=$ rk $g$. Dobrze

im $f\cap$ ker $g=\{\mathrm{\Theta }\}$. Dobrze