Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe

Niech $V$ będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i niech $v_0\in Vminus\{\mathrm{\Theta }\}$. Dane są odwzorowania liniowe $f,g:V\to V$, przy czym $f\ne 0$.

Odwzorowanie $\phi :V\ni v\to f(v)+v_0\in V$ jest liniowe. Źle

Odwzorowanie $f-g:V\ni v\to f(v)-g(v)\in V$ jest liniowe. Dobrze

Odwzorowanie $g\circ f:V\ni v\to g(f(v))\in V$ jest liniowe. Dobrze

Odwzorowanie $\psi :V\ni v\to f(v+v_0)\in V$ jest liniowe. Źle

Niech $V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech $f:V\to W$ będzie monomorfizmem. Zakładamy, że wektory $v_1,\dots ,v_n\in V$.

ker $f=\{\mathrm{\Theta }\}$. Dobrze

im $f=W$. Źle

Jeśli ciąg wektorów $v_1,\dots ,v_n$ jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ jest liniowo niezależny. Dobrze

Jeśli ciąg wektorów $v_1,\dots ,v_n$ tworzy bazę przestrzeni $V$, to ciąg $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ tworzy bazę przestrzeni $W$. Źle

Niech $V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech $f:V\to W$ będzie odwzorowaniem liniowym. Zakładamy, że wektory $v_1,\dots ,v_n,u\in V$.

Jeśli $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ są liniowo niezależne, to $v_1,\dots ,v_n$ liniowo niezależne. Dobrze

Jeśli $u$ jest kombinacją liniową wektorów $v_1,\dots ,v_n$, to $f(u)$ jest kombinacją liniową wektorów $f(v_1),\dots ,f(v_n)$. Dobrze

Jeśli ciąg wektorów $v_1,\dots ,v_n$ jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ jest liniowo niezależny. Źle

Jeśli $f(u)$ jest kombinacją liniową wektorów $f(v_1),\dots ,f(v_n)$, to $u$ jest kombinacją liniową wektorów $v_1,\dots ,v_n$. Źle

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (x_1-x_2+x_3,x_1+x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

ker $f=\{(t,-t,-2t):t\in \mathbb{ℝ}\}$. Dobrze

rk $f=1$. Źle

Wektory $f(1,0,1)$ i $f(1,1,4)$ są liniowo zależne. Dobrze

$(2,3)\in$ im $f$. Dobrze

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (x_1-x_3,x_3-x_2,x_1-x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^3$.

Jeśli $(y_1,y_2,y_3)\in$ im $f$, to $y_3=y_1+y_2$. Dobrze

rk $f=2$. Dobrze

$\dim$ ker $f=1$. Dobrze

${\mathbb{ℝ}}^3=$ ker $f\oplus$ im $f$. Dobrze

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie odwzorowaniem liniowym i niech $u=(1,0,2),v=(2,-1,3),w=(0,1,1),z=(3,-1,0)$.

Jeśli $f(u)=(1,-1),f(v)=(3,0)$, to może być $f(w)=(0,4)$. Źle

Jeśli $f(u)=(1,-1),f(v)=(3,0)$, to musi być $f(z)=(0,4)$. Źle

Jeśli $g:{\mathbb{ℝ}}^3\ni \to {\mathbb{ℝ}}^2$ jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki $g(u)=f(u),g(v)=f(v)$, to musi być $g=f$. Źle

Jeśli $g:{\mathbb{ℝ}}^3\ni \to {\mathbb{ℝ}}^2$ jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki $g(u)=f(u),g(v)=f(v),g(z)=f(z)$, to musi być $g=f$. Dobrze