Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1-2x_2+3x_3=2\}$, $V$ niech oznacza kierunek $X$ i niech $U=\{(t,-2t,3t);t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$X$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

$X$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

$U^{\perp }=V$. Dobrze

$\dim X=2$. Dobrze

W ${\mathbb{ℝ}}^3$ mamy trzy wektory $a=(1,2,1),b=(-1,0,1)$ i $c=(1,4,3)$.

$a,b,c$ są afinicznie niezależne. Dobrze

$a,b,c$ są liniowo niezależne. Źle

Jeśli $X$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w ${\mathbb{ℝ}}^3$ i $a,b,c\in X$, to $(5,4,-1)\in X$. Dobrze

Jeśli $X$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w ${\mathbb{ℝ}}^3$ i $a,b,c\in X$, to $(-1,6,3)\in X$. Źle

Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym.

Niech $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;3x_1+2x_2-4x_3=1\}$,
$k:=\{(7+2t,2-t,3+t);t\in \mathbb{ℝ}\}$,
$l:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;2x_1-x_2-3x_3=-1,x_1+3x_2-x_3=2\}$.

$l\parallel X$. Dobrze

$k\parallel X$. Dobrze

<mathk\perp l</math>. Źle

$k\parallel l$. Źle

W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są: hiperpłaszczyzna afiniczna $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1-x_2+3x_3=2\}$ oraz punkty $a=(-2,1,4)$ i $b=(-5,4,-5)$.

Punkt $(5,-6,-3)$ jest rzutem prostopadłym punktu $a$ na $X$. Źle

Prosta przechodząca przez $a$ i $b$ jest prostopadła do $X$. Dobrze

Płaszczyzna $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;3x_1-x_2-x_3=7\}$ jest równoległa do $X$. Źle

Odległość punktu $(-3,2,1)$ od podprzestrzeni $X$ wynosi 2. Źle

W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest płaszczyzna $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1-x_2+2x_3-2=0\}$ oraz punkty $a=(1,3,2)$, $b=(5,3,0),c=(2,4,2)$ i $z=(-1,1,0)$.

vol $(a,b,c)=\sqrt{6}$. Dobrze

vol $(a,b,c,z)=\frac{4}{3}$. Dobrze

$a,b,c$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Źle

$X$ jest najmniejszą (ze względu na inkluzję) podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ zawierającą punkty $a,b$ i $c$. Dobrze

Niech $X,Y$ będą afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi o kierunkach $V$ i $W$ (odpowiednio), a $f:X\to Y$ niech będzie izometrią.

$f$ jest iniekcją. Dobrze

$\mathrm{\forall }v\in V$ odwzorowanie $g_v:X\ni x\to f(x+v)\in Y$ jest izometrią. Dobrze

$\mathrm{\forall }w\in W$ odwzorowanie $h_w:X\ni x\to f(x)+w\in Y$ jest izometrią. Dobrze

$\mathrm{\forall }{x}_0\in X$ odwzorowanie $\phi :V\ni v\to \overrightarrow{f(x_0)f(x_0+v)}\in V$ jest izometrią liniową. Dobrze