Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 12: Miara układu wektorów

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(1,0,1),v=(-1,2,0),w=(-2,-1,2)$.

$w\perp u$. Dobrze

$w\perp v$. Dobrze

$w=v\times u$. Źle

$\parallel w\parallel =3$. Dobrze

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(3,2,1),v=(-2,1,-1),w=(7,0,3)$.

$(u\times v)\perp w$. Dobrze

$G(v,u,w)>0$. Źle

$u,v,w$ są liniowo niezależne. Źle

$lin\{u\times v\}=lin\{u\times w\}$. Dobrze

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory $v=(1,2)$ i $w=(1,-1)$.

Pole trójkąta o wierzchołkach $(0,0),(1,2),(1,-1)$ wynosi $\frac{3}{2}$. Dobrze

$G(v,w)=9$. Dobrze

Dla dowolnego wektora $u\in {\mathbb{ℝ}}^{2}G(v,w,u)=0$. Dobrze

Dla dowolnego wektora $u\in {\mathbb{ℝ}}^{2}G(v,u)>0$. Źle

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(2,1,0),v=(1,0,-1),w=(-1,2,1),z=(3,5,-1)$ i niech $U=lin\{u,v\}$.

$d(z,U)=6$. Źle

$z-w\in U$. Dobrze

$u,v,w$ są ortogonalne. Źle

$G(u,v,w)=6G(u,v)$. Dobrze

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3}),v=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}),w=(\frac{-2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.

$u,v,w$ tworzą bazę ortonormalną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

$G(u,v,w)=1$. Dobrze

$d(w,lin\{u,v\})=\frac{1}{3}$. Źle

$w=u\times v$. Źle

Niech $V$ będzie wektorową przestrzenią euklidesową i niech $v_1,\dots ,v_k\in V$.

Jeżeli $v_1,\dots ,v_k$ są ortogonalne, to $G(v_1,\dots ,v_k)=\parallel v_1{\parallel }^2...\parallel v_k{\parallel }^2$. Dobrze

Jeżeli $v_1,\dots ,v_k$ są ortonormalne, to $G(v_1,\dots ,v_k)=1$. Dobrze

Jeżeli $G(v_1,\dots ,v_k)=1$, to $v_1,\dots ,v_k$ są ortonormalne. Źle

Jeżeli $G(v_1,\dots ,v_k)\ne 0$, to $v_1,\dots ,v_k$ są ortogonalne. Źle