Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe

Niech $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\ni ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\to x_1{y}_2+x_2{y}_1-3x_3{y}_3\in \mathbb{ℝ}$.

$\phi$ jest dwuliniowe. Dobrze

$\phi$ jest symetrczne. Dobrze

$\phi$ jest iloczynem skalarnym. Źle

$\phi (x,x)=0⟺x=\mathrm{\Theta }$. Źle

Rozważamy przestrzeń euklidesową $({\mathbb{ℝ}}^3,\phi )$, gdzie $\phi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=3x_1{y}_1+2x_2{y}_2+x_3{y}_3$.

$(1,0,3)\perp (1,0,-1)$. Dobrze

$(0,1,-1)\perp (1,1,1)$. Źle

$\parallel (1,1,2)\parallel =3$. Dobrze

$\parallel (2,2,1)\parallel =3$. Źle

Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Dany jest endomorfizm $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to (x+2y,y-2x)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

$f$ jest izometrią. Źle

$\mathrm{\forall }u,v\in {\mathbb{ℝ}}^2(u\perp v⟹f(u)\perp f(v))$. Dobrze

$f(1,1)\perp f(-1,1)$. Dobrze

$\{v\in {\mathbb{ℝ}}^2;f(u)\perp u\}$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. Źle

Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Dane są wektory $u=(1,0,-1),v=(1,2,1)$ oraz $w=(2,-2,2)$.

Wektory $u,v,w$ są wzajemnie prostopadłe. Dobrze

Wektory $u,v,w$ stanowią bazę ortonormalną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

Wektory $u,v,w$ są liniowo niezależne. Dobrze

$w\perp lin\{u,v\}$. Dobrze

W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym rozważamy podprzestrzenie $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1+5x_2-2x_3=0\}$ i $V=\{(t,-5t,2t);t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$V\perp U$. Źle

Istnieje wektor $u\in Uminus\{\mathrm{\Theta }\}$ taki, że dla każdego $v\in Vu\perp v$. Dobrze

Dla każdego wektora $u\in Uu\perp (1,5,-2)$. Dobrze

$U^{\perp }\cap V^{\perp }$ jest jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

Niech

$A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

det $A=-1$. Źle

$A^{*}A=I$. Dobrze

$A$ jest macierzą pewnej izometrii $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazie kanonicznej. Dobrze

$A$ jest macierzą ortogonalną. Dobrze