Ćwiczenie 2

Z postaci funkcji autokorelacji wynika, że sygnał $x(t)\,$ jest sygnałem o skończonej energii i ograniczonym paśmie. Wystarczy zatem obliczyć graniczną częstotliwość tego pasma. Operacja różniczkowania nie zmienia tej częstotliwości, zatem częstotliwość Nyquista w przypadku obu sygnałów będzie identyczna.

---

Sygnały Barkera są szeroko wykorzystywane w radiolokacji i technice sonarowej ze względu na bardzo dobre właściwości korelacyjne. Znane są sygnały Barkera o liczbie pozycji 2, 3, 4, 5, 11 oraz 13. Ogólną właściwością sygnałów Barkera jest to, że wartość ich funkcji autokorelacji w zerze jest równa liczbie pozycji, a pozostałe wartości funkcji autokorelacji nie przekraczają co do modułu wartości 1.

---

Ponieważ tylko trzy próbki sygnału $x(t)$ są niezerowe, szereg Kotielnikowa-Shannona zawiera trzy składowe. Na jego podstawie można obliczyć wartość sygnału $x(t)$ w dowolnej chwili $t\,$ (między innymi w chwili $t=T_{s}/2$). Przy obliczaniu widma korzystamy z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu. Poza przedziałem $|\omega |\leq \omega _{m}$ widmo jest zerowe.

---

Przy przekształceniu widma korzystamy ze wzoru Eulera. Natomiast przy wyznaczaniu sygnału (odwrotnej transformaty Fouriera) stosujemy twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu. Częstotliwość Nyquista jest dwa razy większa od maksymalnej częstotliwości widma. Ponieważ próbkujemy dwa razy wolniej, próbki są pobierane w chwilach $nT\,$ . Zauważmy, że dla $n\neq -1,\,0,\,1\,$ wartości funkcji $Sa^{2}$ są zerowe, zatem tylko trzy próbki sygnału będą różne od zera.

---

Pożądaną wartość stosunku sygnał-szum możemy zawsze uzyskać zwiększając odpowiednio długość słowa $b\,$ przetwornika A/C. Na przykład, w telefonii cyfrowej dostatecznie niski poziom szumu kwantowania, nie mający praktycznie wpływu na jakość transmitowanych sygnałów, osiąga się dla $b=8$. Począwszy od $b=1$ każde wydłużenie długości słowa o jeden bit powoduje wzrost stosunku sygnał-szum o około 6 dB. Wartość kwantu obliczamy jako stosunek szerokości zakresu wejściowego przetwornika i liczby poziomów kwantowania. Jako moc sygnału użytecznego przyjmujemy moc sygnału harmonicznego o amplitudzie równej połowie zakresu wejściowego przetwornika. Moc szumu kwantowania obliczamy jako wariancję rozkładu równomiernego w przedziale $[-q/2,\,q/2]$ .

---

W przypadku a) układ jest pobudzany sygnałem określonym w przedziale $t\in [0,\,\infty )$ , a więc właściwą metodą rozwiązania problemu jest metoda transformat Laplace’a. Korzystamy przy tym z równania transmisyjnego układu w dziedzinie zespolonej.

---

W przypadku b) sygnałem wejściowym jest sygnał harmoniczny określony w przedziale $t\in (-\infty ,\,+\infty )$ , a więc układ pracuje w stanie ustalonym przy pobudzeniu sinusoidalnym. Właściwą metodą rozwiązania problemu jest zatem metoda amplitud zespolonych. Amplituda zespolona sygnału wyjściowego jest iloczynem amplitudy zespolonej sygnału wejściowego i współczynnika transmisyjnego układu, tj. wartości charakterystyki amplitudowo-fazowej układu określonej dla pulsacji sygnału wejściowego. W przypadku c) sygnałem wejściowym jest sygnał nieokresowy określony w przedziale $t\in (-\infty ,\,+\infty )$ , dla którego transformata Laplace’a nie istnieje. Właściwą metodą obliczenia sygnału wyjściowego jest więc metoda oparta na przekształceniu całkowym Fouriera. Problem należy zatem rozwiązać w dziedzinie częstotliwości, korzystając z równania transmisyjnego układu w tej dziedzinie. Ze względu na prostotę układu (idealny układ różniczkujący) obliczenia można w tym przypadku przeprowadzić bezpośrednio w dziedzinie czasu, jednak metoda czasowa jest bardzo złożona obliczeniowo w przypadku trudniejszych układów.