Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 2: Funkcje elementarne

Funkcje elementarne

Ćwiczenie 2.1.

Dana jest funkcja afiniczna $f (x) = - x + 2$ . Wyznaczyć:
a) odwrotność tej funkcji,
b) funkcję odwrotną do $f$ ,
c) złożenie $f^{2} = f \circ f$ , $f^{3} = f \circ f \circ f$ , $f^{4} = f \circ f \circ f \circ f$ , $f^{9} = f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f$ .
d) Czy istnieje malejąca funkcja afiniczna $g$ taka, że $(g \circ g) (x) = 4 x + 3$ ?

Wskazówka

a) Co to jest odwrotność?
b) Wystarczy wyznaczyć $y$ z równania $x = f (y)$ .
c) Skorzystać z definicji złożenia. Składanie funkcji jest łączne.
d) Niech $g (x) = a x + b$ . Jakie warunki muszą spełniać współczynniki $a$ i $b$ , aby $(g \circ g) (x) = 4 x + 3$ ?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością funkcji $f$ jest funkcja $x \mapsto \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{- x + 2}$ .
b) Wyznaczamy $y$ z równania $x = - y + 2$ . Stąd $g (x) = - x + 2$ jest funkcją odwrotną do $f$ . A więc funkcją odwrotną do $f$ jest $f$ .
c) Funkcją odwrotną do $f$ jest $f$ , więc $f \circ f = i d$ , gdzie $i d : x \mapsto x$ oznacza odwzorowanie identycznościowe. Wobec tego $f^{3} = (f \circ f) \circ f = i d \circ f = f$ . Podobnie $f^{4} = (f \circ f) \circ (f \circ f) = i d \circ i d = i d$ . Spostrzegamy, że:

f^{n} = {\begin{cases} f, & jeśli n jest liczbą nieparzystą, \\ i d, & jeśli n jest liczbą parzystą, \end{cases}

wobec tego $f^{9} = f$ .
d) Jeśli $g (x) = a x + b$ , to $(g \circ g) (x) = a (a x + b) + b = a^{2} x + a b + b$ . Jeśli $(g \circ g) (x) = 4 x + 3$ , to współczynniki $a$ , $b$ muszą spełniać układ równań:

{\begin{cases} a^{2} = 4 \\ (a + 1) b = 3 \end{cases}

który spełniają dwie pary liczb $(a, b) \in {(- 2, - 3), (2, 1)}$ . Funkcja $g_{1} (x) = - 2 x - 3$ jest malejąca, a $g_{2} (x) = 2 x + 1$ jest rosnącą funkcją afiniczną.

Ćwiczenie 2.2.

Dana jest homografia $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ . Wyznaczyć:
a) odwrotność tej homografii,
b) homografię odwrotną,
c) złożenie $f^{2} = f \circ f$ , $f^{3} = f \circ f \circ f$ , $f^{4} = f \circ f \circ f \circ f$ oraz $f^{11} = f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f \circ f$ .
d) Czy istnieje homografia $g : ℝ \mapsto ℝ$ taka, że $g \circ g = f$ ?

Wskazówka

a), b) c) Zastosować wskazówki do ćwiczenia 2.1.
d) Niech $g (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ . Zauważyć, że można przyjąć, że $c = 1$ (dlaczego?). Jakie równania muszą spełniać współczynniki $a, b, d$ , aby $g \circ g = f$ ?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością danej homografii jest $x \mapsto \frac{1}{f (x)} = \frac{x - 1}{x + 1}$ .
b) Homografię odwrotną do $f$ otrzymamy, wyznaczając $x$ z równania $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ . Stąd $x = \frac{y + 1}{y - 1}$ , czyli homografią odwrotną do $f$ jest ta sama funkcja.
c) Skoro $f^{- 1} = f$ , więc - podobnie jak w ćwiczeniu 2.1. - złożenie $f \circ f = i d$ , $f^{4} = (f \circ f) \circ (f \circ f) = i d \circ i d = i d$ . Spostrzegamy, że:

f^{n} = {\begin{cases} f, & jeśli n jest liczbą nieparzystą, \\ i d, & jeśli n jest liczbą parzystą, \end{cases}

wobec tego $f^{3} = f$ , $f^{11} = f$ .
d) Niech $g (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ . Współczynnik $c \neq 0$ , gdyż w przeciwnym przypadku funkcja $g$ byłaby afiniczna i złożenie $g \circ g$ byłoby funkcją afiniczną, co nie jest możliwe. Skoro $c \neq 0$ możemy podzielić licznik i mianownik rozważanego ułamka przez stałą $c$ i przyjąć, że $c = 1$ to znaczy: $g (x) = \frac{a x + b}{x + d}$ . Wobec tego

\begin{aligned} (g \circ g) (x) = & g (g (x)) = \frac{a g (x) + b}{g (x) + d} \\ = & \frac{a \frac{a x + b}{x + d} + b}{\frac{a x + b}{x + d} + d} = \frac{a (a x + b) + b (x + d)}{a x + b + d (x + d)} = \frac{(a^{2} + b) x + (a b + b d)}{(a + d) x + (b + d^{2})} . \end{aligned}

Równość $g \circ g = f$ zachodziłaby, gdyby odpowiednie współczynniki homografii $g \circ g$ oraz $f$ były równe,

0 \neq a^{2} + b = b (a + d) = a + d = - (b + d^{2})

.

Ale jest to niemożliwe, gdyż z równości $b (a + d) = a + d$ wynika, że $b = 1$ , co pociąga za sobą w konsekwencji nierówność: $1 \leq a^{2} + 1 = a^{2} + b = - (b + d^{2}) = - (1 + d^{2}) \leq - 1$ , która jest fałszywa. Nie ma więc takiej homografii $g : ℝ \mapsto ℝ$ , aby $g \circ g = f$ .

Ćwiczenie 2.3.

Wyrazić w prostszej postaci:
a) $\arcsin (\cos x)$ , $\arccos (\sin x)$ ,
b) $\sin (\arccos x)$ , $\cos (\arcsin x)$ ,
c) $a r c t g (c t g x)$ , $a r c c t g (t g x)$ ,
d) $t g (a r c c t g x)$ , $c t g (a r c t g x)$ ,
e) $\sinh (a r c o s h x)$ , $\cosh (a r s i n h x)$ .

Wskazówka

a) Skorzystać ze związku: $\arccos x = \arcsin (- x) + \frac{π}{2}$ .
b) Skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że funkcja $x \mapsto \arcsin (\cos x)$ jest określona w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych i jest okresowa o okresie $2 π$ . Wystarczy więc wyznaczyć jej wartości w jakimkolwiek przedziale postaci $[a - π, a + π]$ . Funkcja cosinus jest parzysta, stąd złożenie $x \mapsto \arcsin (\cos x)$ jest funkcją parzystą. Wystarczy więc rozważyć wyrażenie $\arcsin (\cos x)$ w zbiorze $0 \leq x \leq π$ . Jeśli $0 \leq x \leq π$ , to różnica $\frac{π}{2} - x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ . Korzystając ze wzoru redukcyjnego: $\cos x = \sin (\frac{π}{2} - x)$ , otrzymujemy

\arcsin (\cos x) = \arcsin (\sin (\frac{π}{2} - x)) = \frac{π}{2} - x

, dla

0 \leq x \leq π

. Wobec parzystości rozważanej funkcji mamy dla

- π \leq x \leq π

równość

\arcsin (\cos x) = \frac{π}{2} - | x |

.

Funkcja $x \mapsto \arccos (\sin x)$ ma okres $2 π$ i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie jak w poprzednim przykładzie określimy więc jej wartość w przedziale $[- π, π]$ . Dzięki okresowości wystarczy to, aby określić jej wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Zauważmy, że funkcja $y \mapsto f (y) = \arccos y - \frac{π}{2}$ jest nieparzysta, więc $f (- y) = - f (y)$ , stąd

$\arccos (- y) = π - \arccos y$ dla $| y | \leq \frac{π}{2}$

Rozumując jak poprzednio, na mocy wzoru redukcyjnego równość: $\sin x = \cos (\frac{π}{2} - x)$ . Stąd

$\arccos (\sin x)) = \arccos (\cos (\frac{π}{2} - x)) = \frac{π}{2} - x$ ,

dla $x \in [0, \frac{π}{2}]$ . Natomiast dla $x \in [\frac{π}{2}, π]$ mamy równość

$\arccos (\sin x) = - (\frac{π}{2} - x) = x - \frac{π}{2}$

Stąd dla $| x - \frac{π}{2} | \leq \frac{π}{2}$ mamy

$\arccos (\sin x)) = | x - \frac{π}{2} |$

Korzystając teraz z nieparzystości funkcji $y \mapsto \arccos y - \frac{π}{2}$ dla $x \in [- π, 0]$ , otrzymamy $\arccos (\sin x) = π - | x + \frac{π}{2} |$ . Stąd ostatecznie dla $x \in [- π, π]$ mamy

$\arccos (\sin x) = {\begin{aligned} \frac{3 π}{2} + x, & dla & - π \leq x \leq - \frac{π}{2} \\ \frac{π}{2} - x, & dla & - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} \\ x - \frac{π}{2}, & dla & + \frac{π}{2} \leq x \leq π . \end{aligned}$

b) Niech $y = \arccos x$ . Zatem $\sin y \geq 0$ . Z jedynki trygonometrycznej: $\sin^{2} y = 1 - \cos^{2} y = 1 - x^{2}$ . Stąd $\sin (\arccos x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ dla $- 1 \leq x \leq 1$ .

Podobnie dostajemy równość: $\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ dla $- 1 \leq x \leq 1$ .
c) Funkcja $x \mapsto a r c t g (c t g x)$ jest nieparzysta, gdyż jest złożeniem dwóch funkcji nieparzystych: $x \mapsto c t g x$ oraz $u \mapsto a r c t g u$ . Jest okresowa o okresie $π$ wystarczy więc rozważyć ją np. na przedziale $0 < x < π$ . Ze wzoru redukcyjnego mamy $c t g x = t g (\frac{π}{2} - x)$ , stąd

$a r c t g (c t g x) = a r c t g (t g (\frac{π}{2} - x)) = \frac{π}{2} - x$ ,

dla $0 < x < π$ .

Podobnie $x \mapsto a r c c t g (t g x)$ jest nieparzysta, okresowa o okresie $π$ . Wystarczy więc rozważyć ją np. w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , gdzie zachodzi równość:

a r c c t g (t g x) = a r c c t g (c t g (\frac{π}{2} - x)) = \frac{π}{2} - x

d) Pamiętając, że $t g u = \frac{1}{c t g u}$ , otrzymamy $t g (a r c c t g x) = \frac{1}{c t g (a r c c t g x)} = \frac{1}{x}$ , dla $x \neq 0$ .

Podobnie: $c t g (a r c t g x) = \frac{1}{t g (a r c t g x)} = \frac{1}{x}$ , dla $x \neq 0$ .
e) Z jedynki hiperbolicznej $\sinh (u) = \sqrt{\cosh^{2} u - 1}$ dla $u \geq 0$ . Po podstawieniu $u : = a r c o s h x$ , dostajemy $\sinh (a r c o s h x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , dla $x \geq 1$ .

Z kolei $\cosh^{2} v = 1 + \sinh^{2} v$ . Funkcja $x \mapsto \cosh (a r s i n h x)$ jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i jest parzysta. Mamy równość:

\cosh (a r s i n h x) = \sqrt{1 + \sinh^{2} (a r s i n h x)} = \sqrt{1 + x^{2}}

,

prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ .

Ćwiczenie 2.4.

Wykazać, że dla dowolnych liczb $x$ , $y$ zachodzą równości:
a) $\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$ ,
b) $\sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ .

Wskazówka

a) Warto przekształcić wpierw prawą stronę równości, skorzystać z definicji funkcji $\sinh$ oraz $\cosh$ , wykonać mnożenie i zredukować wyrazy podobne.
b) Należy postąpić podobnie jak w punkcie a) zadania.

Rozwiązanie

a) Z definicji funkcji $\sinh$ i $\cosh$ mamy:

\begin{aligned} 4 (\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y) & = (e^{x} + e^{- x}) (e^{y} + e^{- y}) (e^{x} - e^{- x}) (e^{y} - e^{- y}) \\ = e^{x + y} + e^{x - y} + e^{- x + y} + e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} - e^{- x + y} + e^{- x - y} \\ = 2 (e^{x + y} + e^{- (x + y)}) \\ = 4 \cosh (x + y), \end{aligned}

stąd $\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y = \cosh (x + y)$ .

b) Dokonując podobnych przekształceń jak w punkcie a), otrzymujemy:

\begin{aligned} 4 (\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y) & = (e^{x} - e^{- x}) (e^{y} + e^{- y}) (e^{x} + e^{- x}) (e^{y} - e^{- y}) \\ = e^{x + y} + e^{x - y} - e^{- x + y} - e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} +^{- x + y} - e^{- x - y} \\ = 2 (e^{x + y} - e^{- (x + y)}) \\ = 4 \sinh (x + y), \end{aligned}

stąd $\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y = \sinh (x + y)$ .

Ćwiczenie 2.5.

a) Niech $T_{n} (x) : = \cos (n \arccos x)$ dla $n = 0, 1, 2, .$ ... Wykaż, że $T_{0} (x) = 1$ , $T_{1} (x) = x$ oraz

T_{n + 2} (x) = 2 x T_{n + 1} (x) - T_{n} (x)

,

dla $n \geq 0$ .
b) Wykazać, że funkcja $T_{n} (x) = \cos (n \arccos x)$ jest wielomianem zmiennej $x$ , dla $n = 0, 1, 2, 3, .$ ...

Wskazówka

a) Przekształcić $T_{n + 2}$ oraz $T_{n + 1}$ , wykorzystując wzory wyrażające sinus i cosinus sumy $x + y$ , analogiczne do tych, które zostały wykazane w ćwiczeniu 2.4., a mianowicie:

\begin{aligned} \cos (x + y) & = \cos x \cos y - \sin x \sin y, \\ \sin (x + y) & = \sin x \cos y + \cos x \sin y . \end{aligned}

b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.

Rozwiązanie

a) Niech $y : = \arccos x$ . Stosując znane wzory na cosinus i sinus sumy $x + y$ oraz jedynkę trygonometryczną, otrzymamy

\begin{aligned} T_{n + 2} (x) & = \cos (n y + 2 y) \\ = \cos (n y) \cos (2 y) - \sin (n y) \sin (2 y) \\ = \cos (n y) (2 \cos^{2} y - 1) - \sin (n y) 2 \sin y \cos y \\ = T_{n} (x) (2 x^{2} - 1) - 2 x \sin (n \arccos x) \sin (\arccos x), \end{aligned}

gdyż $\cos y = \cos (\arccos x) = x$ oraz $\cos n y = \cos (n \arccos x) = T_{n} (x)$ . Przekształćmy także

\begin{aligned} T_{n + 1} (x) & = \cos (n y + y) \\ = \cos (n y) \cos (y) - \sin (n y) \sin (y) \\ = T_{n} (x) x - \sin (n \arccos x) \sin (\arccos x) . \end{aligned}

Stąd $\sin (n \arccos x) \sin (\arccos x) = x T_{n} (x) - T_{n + 1} (x)$ . Wobec tego

\begin{aligned} T_{n + 2} (x) & = T_{n} (x) (2 x^{2} - 1) - 2 x \sin (n \arccos x) \sin (\arccos x) \\ = T_{n} (x) (2 x^{2} - 1) - 2 x (x T_{n} (x) - T_{n + 1} (x)) \\ = 2 x T_{n + 1} (x) - T_{n} (x) . \end{aligned}

b) Formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć $T_{n + 2}$ dla $n = 0, 1, 2, .$ ... Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Funkcje $T_{0} (x) = 1$ oraz $T_{1} (x) = x$ są wielomianami zmiennej $x$ , więc każda kolejna funkcja

\begin{aligned} T_{2} (x) & = 2 x T_{1} (x) - T_{0} (x) = 2 x^{2} - 1, T_{3} (x) & = 2 x T_{2} (x) - T_{1} (x) = 4 x^{3} - 3 x, T_{4} (x) & = 2 x T_{3} (x) - T_{2} (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1, T_{5} (x) & = 2 x T_{4} (x) - T_{3} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x, . . . \end{aligned}

jest również wielomianem zmiennej $x$ .

Ćwiczenie 2.6.

a) Niech $U_{n} (x) : = \cosh (n a r c o s h x)$ dla $n = 0, 1, 2, .$ ... Wykaż, że $U_{0} (x) = 1$ , $U_{1} (x) = x$ oraz

$U_{n + 2} (x) = 2 x U_{n + 1} (x) - U_{n} (x),$
dla $n \geq 0$ .

b) Wykazać, że funkcja $U_{n} (x) = \cosh (n a r c o s h x)$ jest wielomianem zmiennej $x$ , dla $n = 0, 1, 2, 3, .$ ...
c) Wykazać, że dla dowolnej liczby $n = 0, 1, 2, 3, .$ .. istnieje wielomian $W_{n}$ taki, że $U_{n}$ oraz $T_{n}$ są restrykcjami - odpowiednio do przedziałów $[1, \infty)$ oraz $[- 1, 1]$ - wielomianu $W_{n}$ .

Wskazówka

a) Warto uprościć $U_{n + 2}$ oraz $U_{n + 1}$ , wykorzystując wzory wykazane w ćwiczeniu 2.4.
b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.
c) Porównać formuły z punktów b) w ćwiczeniu 2.5. i ćwiczeniu 2.6. Wyznaczyć dziedziny funkcji $T_{n}$ oraz $U_{n}$ .

Rozwiązanie

Niech $y : = a r c o s h x$ . Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 2.5. tzn. stosując wykazane w ćwiczeniu 2.4. wzory na cosinus hiperboliczny i sinus hiperboliczny sumy $x + y$ oraz jedynkę hiperboliczną, otrzymamy

\begin{aligned} U_{n + 2} (x) & = \cosh (n y + 2 y) \\ = \cosh (n y) \cosh (2 y) + \sinh (n y) \sinh (2 y) \\ = \cosh (n y) (2 \cosh^{2} y - 1) + \sinh (n y) 2 \sinh y \cosh y \\ = U_{n} (x) (2 x^{2} - 1) + 2 x \sinh (n a r c o s h x) \sinh (a r c o s h x), \end{aligned}

gdyż $\cosh y = \cosh (a r c o s h x) = x$ oraz $\cosh (n y) = \cosh (n a r c o s h x) = U_{n} (x)$ . Przekształćmy także

\begin{aligned} U_{n + 1} (x) & = \cosh (n y + y) \\ = \cosh (n y) \cosh (y) + \sinh (n y) \sinh (y) \\ = U_{n} (x) x + \sinh (n a r c o s h x) \sinh (a r c o s h x) . \end{aligned}

Stąd $\sinh (n a r c o s h x) \sinh (a r c o s h x) = - x U_{n} (x) + U_{n + 1} (x)$ . Wobec tego

\begin{aligned} U_{n + 2} (x) & = U_{n} (x) (2 x^{2} - 1) + 2 x \sinh (n a r c o s h x) \sinh (a r c o s h x) \\ = U_{n} (x) (2 x^{2} - 1) + 2 x (- x U_{n} (x) + U_{n + 1} (x)) \\ = 2 x U_{n + 1} (x) - U_{n} (x) . \end{aligned}

b) Zauważmy, że formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć $U_{n + 2}$ dla $n = 0, 1, 2, .$ ... Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Ponadto funkcje $U_{0} (x) = 1$ oraz $U_{1} (x) = x$ są wielomianami zmiennej $x$ , więc każda kolejna funkcja

\begin{aligned} U_{2} (x) & = 2 x U_{1} (x) - U_{0} (x) = 2 x^{2} - 1, \\ U_{3} (x) & = 2 x U_{2} (x) - U_{1} (x) = 4 x^{3} - 3 x, \\ U_{4} (x) & = 2 x U_{3} (x) - U_{2} (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1, \\ U_{5} (x) & = 2 x U_{4} (x) - U_{3} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x, . . . \end{aligned}

jest również wielomianem zmiennej $x$ .
c) Formuły pozwalające wyznaczyć $T_{n + 2}$ oraz $U_{n + 2}$ są identyczne:

\begin{aligned} T_{n + 2} (x) & = 2 x T_{n + 1} (x) - T_{n}, T_{0} (x) = 1, T_{1} (x) = x, \\ U_{n + 2} (x) & = 2 x U_{n + 1} (x) - U_{n}, U_{0} (x) = 1, U_{1} (x) = x . \end{aligned}

Wielomiany $T_{n}$ oraz $U_{n}$ są więc zacieśnieniem -- odpowiednio do przedziałów $[- 1, 1]$ oraz $[1, \infty)$ - tego samego wielomianu
$W_{n}$ , $n = 0, 1, 2, .$ ... Zwróćmy uwagę na fakt, że dziedziną każdej z funkcji $T_{n} (x) = \cos (n \arccos x)$ jest przedział $[- 1, 1]$ a dziedziną funkcji $U_{n} (x) = \cosh (n a r c o s h x)$ - przedział $[1, + \infty)$ . Stąd formalnie równość funkcji $T_{n} (x) = U_{n} (x)$ ma sens w części wspólnej obu dziedzin, tj. w punkcie $x = 1$ .

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 2: Funkcje elementarne

Funkcje elementarne

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia