Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 14: Przestrzenie afiniczne II

Zadanie 14.1

Wykazać, że zbiór

$A:=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:2x-3y+z=5,x-z=2\}$

jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ i wyznaczyć jej kierunek.

Wskazówka

Kierunek $A$ wyznaczymy ustalając dowolny punkt $a\in A$ i biorąc

$V_0=\{\overrightarrow{ab};b\in A\}=\{b-a;b\in A\}$

Rozwiązanie

Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że niepusty zbiór rozwiązań układu równań liniowych o $n$ niewiadomych jest podprzestrzenią afiniczną ${\mathbb{ℝ}}^n$. Aby skorzystać z tego faktu zauważmy, że nasz zbiór $A$ jest zbiorem rozwiązań następującego

układu równań liniowych:

$\{\begin{array}{rcrccc}2x& -& 3y& +& z& =5,\\ x& & & -& z& =2\end{array}$

Zauważmy, że liczby $x=0$, $y=-\frac{7}{3}$ oraz $z=-2$ stanowią rozwiązanie tego układu, co oznacza, że zbiór $A$ jest niepusty i jest podprzestrzenią afiniczną ${\mathbb{ℝ}}^3$. Rozwiązujemy teraz stowarzyszony z naszym układem układ jednorodny, czyli

$\{\begin{array}{rcrccc}2x& -& 3y& +& z& =0,\\ x& & & -& z& =0\end{array}$

i otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań tego układu jednorodnego jest podprzestrzeń

$V_0=\text{ lin }\{(1,1,1)\}$

Oznacza to, że

$A=(0,-\frac{7}{3},-2)+\text{ lin }\{(1,1,1)\}$,

czyli kierunkiem naszej podprzestrzeni afinicznej $A$ jest $V_0=\text{ lin }\{(1,1,1)\}$.

Zadanie 14.2

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $(1,0,2)$ i równoległej do płaszczyzny

$\mathrm{\Pi }=\{(3+a-b,2-a+b,1-b):a,b\in \mathbb{ℝ}\}$

Wskazówka

Trzeba wyznaczyć kierunek $\mathrm{\Pi }$, a następnie dokonać translacji tej podprzestrzeni o wektor $(1,0,2)$.

Rozwiązanie

Niech $R$ będzie szukaną płaszczyzną.

Aby wyznaczyć kierunek płaszczyzny $\mathrm{\Pi }$ zauważmy, że punkt $(x,y,z)\in \mathrm{\Pi }$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$(x,y,z)=(3,2,1)+a(1,-1,0)+b(-1,1,-1)$

dla pewnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$. Wynika stąd, że

$\mathrm{\Pi }=(3,2,1)+\text{ lin }\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}$,

zatem $\mathrm{\Pi }$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $V_0=\text{ lin }\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}$. Oznacza to, że

$R=(1,0,2)+\text{ lin }\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}$

Poszukując układu równań liniowych opisującego płaszczynę $R$ zauważmy, że $V_0$ jest zbiorem rozwiązań równania

$x+y=0$

o niewiadomych $(x,y,z)$. Otrzymujemy stąd, że

$x+y=1$

jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez punkt $(1,0,2)$ i równoległej do płaszczyzny $\mathrm{\Pi }$.

Zadanie 14.3

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami

$\begin{array}{rlrlrl}2x-y+3z-6& =0& \text{i}& & x+2y-z+3& =0\end{array}$

oraz przez punkt $A=(1,2,4)$.

Wskazówka

Szukamy płaszczyzny zawierającej prostą i punkt nie leżący na tej prostej, a więc taka płaszczyzna będzie tylko jedna. Można ją opisać równaniem $ax+by+cz=d$, przy stosownie dobranych $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$.

Rozwiązanie

Poszukujemy rówania płaszczyzny postaci

$ax+by+cz=d$

Prosta przechodząca przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami $2x-y+3z-6=0$ i $x+2y-z+3=0$ musi być opisana przez układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcr} 2x &-& y&+& 3z &= 6,\\ x &+&2y&-& z &= -3 \end{array} \right}

Rozwiązując go otrzymujemy równanie kierunkowe tej prostej w postaci

$L=(\frac{9}{5},-\frac{12}{5},0)+\text{ lin }\{(-1,1,1)\}$

W szczególności poszukiwana przez nas płaszczyzna musi poza punktem $A=(1,2,4)$ zawierać także punkty $B=(\frac{9}{5},-\frac{12}{5},0)$ oraz $C=(\frac{4}{5},-\frac{7}{5},1)$. Oznacza to, że poszukiwane współczynniki równania naszej płaszczyzny muszą spełniać układ równań

$\{\begin{array}{rcrcrc}a& +& 2b& +& 4c& =d,\\ \frac{9}{5}a& -& \frac{12}{5}b& & & =d\\ \frac{4}{5}a& -& \frac{7}{5}b& +& c& =d\end{array}$

Jak można łatwo obliczyć rozwiązania tego układu są postaci

$\begin{array}{rlrlrlrl}a& =\frac{1}{21}d,& b& =-\frac{8}{21}d,& c& =\frac{3}{7}d,& d& \in \mathbb{ℝ}.\end{array}$

Przyjmując np. $d=21$ otrzymujemy jedno z wielu możliwych równań naszej płaszczyzny, czyli

$x-8y+9z=21$

Zadanie 14.4

W przestrzeni afinicznej ${\mathbb{ℝ}}^3$ dana jest płaszczyzna

$P=\{(1-2s+3t,2+5s,1-s+3t);s,t\in \mathbb{ℝ}\}$

oraz punkt $A=(3,-2,1)$. Wyznaczyć rodzinę prostych równoległych do $P$ i zawierających punkt $A$.

Wskazówka

Pamiętajmy, że kierunki szukanych prostych muszą się zawierać w kierunku płaszczyzny $P$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$\begin{array}{rl}P& =\{(1-2s+3t,2+5s,1-s+3t):s,t\in \mathbb{ℝ}\}\\ & =\{(1,2,1)+s(-2,5,-1)+t(3,0,3):s,t\in \mathbb{ℝ}\}\\ & =(1,2,1)+\text{ lin }\{(-2,5,-1),(3,0,3)\},\end{array}$

czyli kierunkiem podprzestrzeni $P$ jest $V=\text{ lin }\{(-2,5,-1),(3,0,3)\}$ i wektor kierunkowy każdej prostej równoległej do $P$ musi należeć do $V$. Oznacza to, że rodzina prostych równoległych do $P$ i zawierających punkt $A=(3,-2,1)$ składa się ze wszystkich prostych o równaniu kierunkowym

$(3,-2,1)+t(v_1,v_2,v_3),t\in \mathbb{ℝ}$,

gdzie $(v_1,v_2,v_3)\in V$.

Zadanie 14.5

Niech $V,W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech $(X,V)$ oraz $(Y,W)$ będą przestrzeniami afinicznymi. Niech $f:X\to Y$ będzie odwzorowaniem afinicznym i niech $\phi :V\to W$ oznacza odwzorowanie liniowe indukowane przez $f$. Wykazać, że

a) $f$ jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy $\phi$ jest monomorfizmem,

b) $f$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy $\phi$ jest epimorfizmem,

c) $f$ jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy $\phi$ jest izomorfizmem.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że $f$ jest iniekcją. Wykażemy, że $\phi$ jest monomorfizmem. W tym celu weźmy dowolny wektor $v\in V$ i przypuśćmy że $\phi (v)=0$. Ustalmy dowolny punkt $x\in X$. Wtedy

$\overrightarrow{f(x)f(x+v)}=\phi (v)=0\in W$,

skąd wynika, że

$f(x)=f(x+v)$,

a wobec iniektywności $f$ mamy $x=x+v$, czyli $v=0$.

Przypuśćmy teraz, że $\phi$ jest monomorfizmem. Aby wykazać, że $f$ jest iniekcją weźmy dowolne dwa punkty $x,x^{\prime }\in X$ i załóżmy, że $f(x)=f(x^{\prime })$. Wtedy

$\phi (\overrightarrow{x{x}^{\prime }})=\overrightarrow{f(x)f(x^{\prime })}=0\in W$,

skąd, dzięki założeniu, że $\phi$ jest monomorfizmem, otrzymujemy

$\overrightarrow{x{x}^{\prime }}=0\in V$,

a zatem $x=x^{\prime }$. Wobec dowolności wyboru punktów $x$ i $x^{\prime }$ wnioskujemy, że $f$ jest iniekcją.

b) Załóżmy, że $f$ jest suriekcją i niech $w\in W$ będzie dowolnym wektorem. Wybierzmy dowolny punkt $y\in Y$ i zdefiniujmy punkt $y^{\prime }=y+w\in Y$. Założyliśmy, że $f$ jest suriekcją, zatem istnieją punkty $x,x^{\prime }\in X$ takie, że

$f(x)=y\text{i}f(x^{\prime })=y^{\prime }$

Wówczas z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że

$\phi (\overrightarrow{x{x}^{\prime }})=\overrightarrow{f(x)f(x^{\prime })}=\overrightarrow{y{y}^{\prime }}=w$,

co dowodzi, że $\phi$ jest epimorfizmem.

Załóżmy, że $\phi$ jest epimorfizmem i niech $y^{\prime }\in Y$ będzie dowolnym punktem. Istnieje punkt $y$ taki, że $y=f(x)$ dla pewnego $x\in X$ (obraz zbioru $X$ przez odwzorowanie $f$ musi zawierać co najmniej jeden punkt). Zdefiniujmy wektor $w=\overrightarrow{y{y}^{\prime }}\in W$. Założyliśmy, że $\phi$ jest epimorfizmem, zatem istnieje taki wektor $v\in V$, że $\phi (v)=w$. Niech $x^{\prime }=x+v\in X$. Wówczas z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że

$f(x^{\prime })=f(x+v)=f(x)+\phi (v)=y+w=y+\overrightarrow{y{y}^{\prime }}=y^{\prime }$,

co dowodzi, że dla każdego punktu $y^{\prime }\in Y$ istnieje punkt $x^{\prime }\in X$ taki, że $f(x^{\prime })=y^{\prime }$, zatem odwzorowanie $f$ jest iniekcją.

c) Ten punkt wynika natychmiast z dwóch poprzednich.

Zadanie 14.6

Niech $V$ i $W$ będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech $f:V\to W$. Wykazać, że $f$ jest afiniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: odwzorowanie liniowe $\phi :V\to W$ oraz wektor $a\in W$ takie, że $f(v)=a+\phi (v),v\in V$.

Wskazówka

Jako $a$ trzeba wziąć $f(0)$ i skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.

Rozwiązanie

Przypuśćmy najpierw, że $f$ jest odwzorowaniem afinicznym. Wtedy istnieje odwzorowanie liniowe $\phi :V\to W$ takie, że dla dowolnych $x\in V,v\in V$ mamy $f(x+v)=f(x)+\phi (v)$. Stąd w szczególności dla $x=\mathrm{\Theta }$, gdzie $\mathrm{\Theta }\in V$ jest wektorem zerowym i dla dowolnego wektora $v\in V$ mamy

$f(v)=f(\mathrm{\Theta }+v)=f(\mathrm{\Theta })+\phi (v)$

Wystarczy teraz położyć $a:=f(\mathrm{\Theta })$.

Niech $\phi :V\to W$ będzie odwzorowaniem liniowym, niech $a\in W$ i niech $f(v)=a+\phi (v)$, dla $v\in V$. Wtedy dla dowolnych $x,v\in V$ mamy

$f(x+v)=a+\phi (x+v)=a+\phi (x)+\phi (v)=f(x)+\phi (v)$

A więc, zgodnie z definicją, $f$ jest afiniczne.

Zadanie 14.7

Niech $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_1$. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^n$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Ustalmy wektor $\mathbf{𝐚}\in {\mathbb{ℝ}}^n$ oraz liczbę rzeczywistą $\alpha$. Wykazać wypukłość następującyh zbiorów:

a) $A=\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n:\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚}\le \alpha \}$,

b) $B=\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n:\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚}<\alpha \}$,

c) $C=\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n:\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚}=\alpha \}$.

Wskazówka

Potraktujmy ${\mathbb{ℝ}}^n$ jako przestrzeń afiniczną o kierunku ${\mathbb{ℝ}}^n$.

Rozwiązanie

Niech $\mathbf{𝐚}=(a_1,\dots ,a_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$. Ustalmy

wektory $\mathbf{𝐱}=(x_1,\dots ,x_n)$ i $\mathbf{𝐲}=(y_1,\dots ,y_n)$ oraz liczby nieujemne $\mu ,\nu$ takie, że $\mu +\nu =1$.

a) Załóżmy, że $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲}\in A$, gdzie

$A=\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n:\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚}\le \alpha \}$.

Policzymy

$\begin{array}{rl}(\mu \mathbf{𝐱}+\nu \mathbf{𝐲})\cdot \mathbf{𝐚}& =(\mu \mathbf{𝐱})\cdot \mathbf{𝐚}+(\nu \mathbf{𝐲})\cdot \mathbf{𝐚}\\ & =\mu (\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚})+\nu (\mathbf{𝐲}\cdot \mathbf{𝐚})\\ & \le \mu \alpha +\nu \alpha \\ & =(\mu +\nu )\alpha \\ & =\alpha ,\end{array}$

co oznacza, że $\mu \mathbf{𝐱}+\nu \mathbf{𝐲}\in A$ i zbiór $A$ jest wypukły.

b) Załóżmy, że $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲}\in B$, gdzie

$B=\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n:\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚}<\alpha \}$.

Policzymy

$\begin{array}{rl}(\mu \mathbf{𝐱}+\nu \mathbf{𝐲})\cdot \mathbf{𝐚}& =(\mu \mathbf{𝐱})\cdot \mathbf{𝐚}+(\nu \mathbf{𝐲})\cdot \mathbf{𝐚}\\ & =\mu (\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚})+\nu (\mathbf{𝐲}\cdot \mathbf{𝐚})\\ & <\mu \alpha +\nu \alpha \\ & =(\mu +\nu )\alpha \\ & =\alpha ,\end{array}$

co oznacza, że $\mu \mathbf{𝐱}+\nu \mathbf{𝐲}\in B$ i zbiór $B$ jest wypukły. Nierówność silna zachowała się dzięki temu, że $\mu >0$ lub $\nu >0$.

b) Załóżmy, że $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲}\in C$, gdzie

$C=\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n:\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚}=\alpha \}$.

Policzymy

$\begin{array}{rl}(\mu \mathbf{𝐱}+\nu \mathbf{𝐲})\cdot \mathbf{𝐚}& =(\mu \mathbf{𝐱})\cdot \mathbf{𝐚}+(\nu \mathbf{𝐲})\cdot \mathbf{𝐚}\\ & =\mu (\mathbf{𝐱}\cdot \mathbf{𝐚})+\nu (\mathbf{𝐲}\cdot \mathbf{𝐚})\\ & =\mu \alpha +\nu \alpha \\ & =(\mu +\nu )\alpha \\ & =\alpha ,\end{array}$

co oznacza, że $\mu \mathbf{𝐱}+\nu \mathbf{𝐲}\in C$ i zbiór $C$ jest wypukły.

Zadanie 14.8

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{ℝ}$ i niech $C\subset V$. Wykazać, że zbiór $C$ jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego $m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_2$, dla dowolnego ciągu $c_1,\dots ,c_m$ elementów zbioru $C$ i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ spełniających warunek

${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_m=1$

kombinacja liniowa

${\lambda }_1{c}_1+\dots +{\lambda }_m{c}_m$

należy do $C$.

Wskazówka

Można zastosować indukcję ze względu na $m$.

Rozwiązanie

Jeżeli dla dowolnego $m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_2$, dla dowolnego ciągu $c_1,\dots ,c_m$ elementów zbioru $C$ i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ spełniających warunek

${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_m=1$

kombinacja liniowa

${\lambda }_1{c}_1+\dots +{\lambda }_m{c}_m$

należy do $C$, to zbiór ten jest oczywiście wypukły, bo wypukłość jest równoważna powyższemu warunkowi dla $m=2$.

Przeprowadzimy dowód indukcyjny drugiej implikacji. Jak już wspomnieliśmy, dla $m=2$ teza wynika z definicji odcinka łączącego dwa punkty oraz definicji zbioru wypukłego. Załóżmy zatem, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich $k\le m$, gdzie $m\ge 2$. Ustalmy:

i) ciąg $c_1,\dots ,c_m,c_{m+1}$ elementów zbioru $C$;

ii) ciąg liczb rzeczywistych nieujemnych ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,{\lambda }_{m+1}$ spełniających warunek

${\lambda }_1+\dots +{\lambda }_m+{\lambda }_{m+1}=1$.

Chcemy wykazać, że

${\lambda }_1{c}_1+\dots +{\lambda }_m{c}_m+{\lambda }_{m+1}{c}_{m+1}\in C$.

Jeśli ${\lambda }_1=\dots ={\lambda }_m=0$, to ${\lambda }_{m+1}=1$ i

${\lambda }_1{c}_1+\dots +{\lambda }_m{c}_m+{\lambda }_{m+1}{c}_{m+1}=c_{m+1}\in C$.

W przeciwnym razie przyjmijmy $\lambda :={\lambda }_1+\dots +{\lambda }_m$ i zauważmy, że $\lambda >0$. Z założenia indukcyjnego wynika, że

$c=\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{c}_1+\dots +\frac{{\lambda }_m}{\lambda }{c}_m\in C$,

gdyż suma współczynników tej kombinacji wynosi $1$. Teraz dzięki wypukłości zbioru $C$ i dzięki temu, że $\lambda +{\lambda }_{m+1}=1$ mamy

$\begin{array}{rl}{\lambda }_1{c}_1+\dots +{\lambda }_m{c}_m+{\lambda }_{m+1}{c}_{m+1}& =\lambda (\frac{{\lambda }_1}{\lambda }{c}_1+\dots +\frac{{\lambda }_m}{\lambda }{c}_m)+{\lambda }_{m+1}{c}_{m+1}\\ & =\lambda c+{\lambda }_{m+1}{c}_{m+1}\in C.\end{array}$