Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Zadanie 6.1

Znaleźć macierz odwzorowania $f:{\mathbb{ℝ}}^4\to {\mathbb{ℝ}}^2$, danego wzorem

$f((x_1,x_2,x_3,x_4))=(x_1+3x_2-2x_3,x_1-x_2+x_3-x_4)$,

w bazach $u_1,u_2,u_3,u_4$ oraz $v_1,v_2$, gdy

$\begin{array}{rlrl}{u}_1& =(2,0,1,0),& & \\ u_2& =(-1,1,0,3),v_1& =(1,1),\\ u_3& =(0,1,1,0),v_2& =(-1,0),\\ u_4& =(1,-1,2,3).& & \end{array}$

Wskazówka

Dla $j=1,2,3,4$ obliczyć wartości odwzorowania $f$ na wektorze $u_j$, a następnie przedstawić $f(u_j)$ jako kombinację liniową wektorów $v_1$ i $v_2$. Współczynniki takiego przedstawienia wektora $f(u_j)$ utworzą $j$-tą kolumnę szukanej macierzy.

Rozwiązanie

Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w podanych bazach musimy:

1. Wyznaczyć wartość odwzorowania $f$ na podanej bazie dziedziny, czyli wyznaczyć $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)$.
2. Znaleźć współrzędne wektorów $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ w podanej bazie ${\mathbb{ℝ}}^2$, czyli bazie złożonej z wektorów $v_1$, i $v_2$.

Otrzymane współrzędne wpisujemy do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie ${\mathbb{ℝ}}^2$ odpowiadające obrazowi pierwszego wektora z podanej bazy ${\mathbb{ℝ}}^4$ przez odwzorowanie $f$ utworzą pierwszą kolumnę, drugiego drugą itd.

W naszej sytuacji wykonując elementarne rachunki otrzymujemy:

$\begin{array}{rlrl}f(u_1)=f((2,0,1,0))& =(0,3),& f(u_2)=f((-1,1,0,3))& =(2,-5),\\ f(u_3)=f((0,1,1,0))& =(1,0),& f(u_4)=f((1,-1,2,3))& =(-6,1).\end{array}$

Aby wyznaczyć współrzędne wektorów $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)$ w bazie złożonej z wektorów $v_1$ i $v_2$ musimy rozwiązać cztery układy równań, których lewe strony są identyczne natomiast za prawe strony podstawiamy kolejno wyliczone wektory $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)$, co schematycznie możemy zapisać tak:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left.\begin{array} {rcrccccc} & & & & f(u_1) & f(u_2) & f(u_3) &f(u_4)\\ & & & & \parallel&\parallel&\parallel&\parallel\\ x_1 & - & x_2&= 0 & 2 & 1 &-6\\ x_1 & & &= 3 & -5 & 0 &1 \end{array} \right}

rozwiązując te układy możemy stwierdzić, że w podanych bazach macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:

$\left[\begin{array}{rrrr}3& -5& 0& 1\\ 3& -7& -1& 7\end{array}\right]$

Zadanie 6.2

Niech $\mathbb{𝕂}$ oznacza dowolne ciało, niech $n,m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_1$ i niech $a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{m1},\dots ,a_{mn}\in \mathbb{𝕂}$. Znaleźć macierz odwzorowania

$f:{\mathbb{𝕂}}^n\to {\mathbb{𝕂}}^m,$

danego wzorem

$f(x_1,\dots ,x_n)=(a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n,\dots ,a_{m1}{x}_1+\dots +a_{mn}{x}_n)$

w bazach kanonicznych przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$ i odpowiednio ${\mathbb{𝕂}}^m$.

Wskazówka

Zadanie można rozwiązać postępując podobnie jak przy zadaniu 6.1, tylko teraz należy rozważać wektory baz kanonicznych w ${\mathbb{ℝ}}^n$ i odpowiednio w ${\mathbb{ℝ}}^m$. Jaki jest związek między współczynnikami występującymi we wzorze definiującym odwzorowanie $f$ a wierszami otrzymanej macierzy?

Rozwiązanie

Niech $e_1,\dots ,e_n$ będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$, a ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m$ będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^m$. Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$ oraz ${\mathbb{𝕂}}^m$ musimy wyznaczyć wartość odwzorowania $f$ na podanej bazie kanonicznej dziedziny, czyli wyznaczyć $f(e_i)$, dla $i=1,\dots ,n$. Łatwo widać, że $f(e_i)=(a_{1i},a_{2i},\dots ,a_{mi})$. Współrzędne wektora $(a_{1i},a_{2i},\dots ,a_{mi})\in {\mathbb{𝕂}}^m$ w bazie ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m$ także łatwo wyznaczyć (patrz zadanie 3.4). Otrzymane współrzędne wpisujemy teraz do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie odpowiadające obrazowi $i$-tego wektora z bazy kanonicznej przez odwzorowanie $f$ utworzą $i$-tą kolumnę, czyli

$f(e_i)=\left[\begin{array}{c}{a}_{1i}\\ a_{2i}\\ ⋮\\ a_{mi}\end{array}\right]$

Oznacza to, że w bazach kanonicznych macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$

Zadanie 6.3

Dana jest macierz

$A=\left[\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ 1& -1& -2\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$

endomorfizmu $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazie $u_1=(1,0,1)$, $u_2=(0,1,1)$ i $u_3=(0,1,0)$. Znaleźć macierz $f$ w bazie kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$.

Wskazówka

Zauważyć, że na mocy zadania 6.2 znalezienie macierzy $f$ w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie $f$ w postaci:

$\begin{array}{rl}f((x_1,x_2,x_3)=(& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3,\\ & a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3,\\ & a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3).\end{array}$

Wiedząc, że $A$ jest macierzą odwzorowania $f$ w bazie złożonej z wektorów $u_1$, $u_2$ i $u_3$ możemy obliczyć wartości odwzorowania $f$ na tych wektorach. Znając wartości odwzorowania liniowego na pewnej bazie przestrzeni możemy wyznaczyć jego wzór postępując np. tak jak w zadaniu 4.5, czyli rozwiązując trzy układy trzech równań o trzech niewiadomych.

Rozwiązanie

Na podstawie zadania 6.2 stwierdzamy, że znalezienie macierzy $f$ w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie $f$ w postaci:

$\begin{array}{rl}f((x_1,x_2,x_3)=(& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3,\\ & a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3,\\ & a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3).\end{array}$

Zauważmy także, że z postaci macierzy $A$ możemy odczytać informacje na temat wartości odwzorowania $f$ na wektorach

$\begin{array}{rlrl}{u}_1& =(1,0,1),u_2& =(0,1,1),u_3& =(0,1,0).\end{array}$

Wiemy, że

$\begin{array}{rl}f(u_1)& =u_1+u_2-2u_3=(1,-1,2),\\ f(u_2)& =2u_1-u_2+u_3=(2,0,1),\\ f(u_3)& =2u_1-2u_2+3u_3=(2,1,0).\end{array}$

Dzięki tym obserwacjom znaleźliśmy się w takiej samej sytuacji jak przy rozwiązaniu zadania 4.5, tzn. znamy wartości $f$ na pewnej bazie przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ i poszukujemy wzoru na $f$. Dlatego wiersze macierzy $f$ w bazie kanonicznej stanowią kolejne rozwiązania następujących trzech układów równań liniowych, których lewe strony są niezmienne a prawe się zmieniają (układy te wyznaczamy analogicznie jak w zadaniu 4.5):

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\{\begin{array} {rcccc} x+z&= 1 & 2 &2 \\ y+z&=-1 & 0 &1 \\ y &= 2 & 1 &0 \end{array} \right}

Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne wiersze szukanej macierzy, tzn. $(1,2,0)$, $(0,1,-1)$, $(1,0,1)$. W rezultacie dostajemy macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych:

$\left[\begin{array}{rrr}1& 2& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

Zadanie 6.4

Niech

$f:M(2,2;\mathbb{ℝ})\ni \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]\in M(2,2;\mathbb{ℝ})$

Wykazać, że $f$ jest odwzorowaniem liniowym i znaleźć jego macierz w bazie

$\begin{array}{rlrlrlrl}{A}_{11}& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],& A_{12}& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],& A_{21}& =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],& A_{22}& =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

uporządkowanej leksykograficznie. Jaki jest rząd tego odwzorowania?

Wskazówka

Rozwiązując to zadanie można postępować podobnie jak przy zadaniu 6.1, pamiętając jedynie, że w przestrzeni $M(2,2;\mathbb{ℝ})$ wektorami są macierze kwadratowe. Przy obliczaniu rzędu odwzorowania można skorzystać z faktu, że rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy w dowolnych bazach.

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy dane odwzorowanie $f$ jest liniowe. Dla dowolnych skalarów $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ oraz macierzy

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\in M(2,2;\mathbb{ℝ})$

zachodzi:

$\begin{array}{rl}f(\alpha A+\beta B)& =f\left(\left[\begin{array}{cc}\alpha a_{11}+\beta b_{11}& \alpha a_{12}+\beta b_{12}\\ \alpha a_{21}+\beta b_{21}& \alpha a_{22}+\beta b_{22}\end{array}\right]\right)\\ & =\left[\begin{array}{cc}\alpha a_{21}+\beta b_{21}& \alpha a_{22}+\beta b_{22}\\ \alpha a_{11}+\beta b_{11}& \alpha a_{12}+\beta b_{12}\end{array}\right]\\ & =\alpha \left[\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{11}& a_{12}\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{cc}{b}_{21}& b_{22}\\ b_{11}& b_{12}\end{array}\right]\\ & =\alpha f(A)+\beta f(B),\end{array}$

co kończy dowód liniowości odwzorowania $f$.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia macierzy naszego odwzorowania. Obliczamy wartość odwzorowania $f$ na wektorach podanej bazy i otrzymane wyniki rozpisujemy od razu w postaci kombinacji liniowej wektorów tejże bazy:

$\begin{array}{rlr}f(A_{11})& =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]=A_{21},f(A_{12})& =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=A_{22},\\ f(A_{21})& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=A_{11},f(A_{22})& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]=A_{12}.\end{array}$

Ponieważ zachodzi:

$\begin{array}{rl}{A}_{21}& =0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+1\cdot A_{21}+0\cdot A_{22},\\ A_{22}& =0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+1\cdot A_{22},\\ A_{11}& =1\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+0\cdot A_{22},\\ A_{12}& =0\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+0\cdot A_{22},\end{array}$

stwierdzamy, że (w podanej bazie) wektorem współrzędnych wektora $f(A_{11})$ jest $(0,0,1,0)$, wektorem współrzędnych wektora $f(A_{12})$ jest $(0,0,0,1)$, wektorem współrzędnych wektora $f(A_{21})$ jest $(1,0,0,0)$ natomiast wektorem współrzędnych wektora $f(A_{22})$ jest $(0,1,0,0)$. Wpisując otrzymane wektory współrzędnych jako kolumny macierzy otrzymujemy szukaną macierz

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

Zauważmy, że kolumnami tej macierzy są wektory z bazy kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^4$, zatem kolumny są liniowo niezależne i macierz ta ma oczywiście rząd równy $4$. Ponieważ $rkA=rkf$ widzimy, że rząd odwzorowania $f$ jest równy $4$.

Zadanie 6.5

Dane jest odwzorowanie

$f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to {\left(\left[\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)}^{*}\in {\mathbb{ℝ}}^2$

Wykazać, że $f$ jest liniowe i znaleźć jego wartość na wektorze $(\cos \phi ,\sin \phi )$.

Wskazówka

Skorzystać ze wzorów na $\cos (\alpha +\beta )$ oraz $\sin (\alpha +\beta )$.

Rozwiązanie

Korzystając z definicji mnożenia macierzy i operacji transponowania otrzymujemy prostszy wzór na wartość $f$ na wektorze $(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$:

$f((x,y))=((\cos \alpha )x-(\sin \alpha )y,(\sin \alpha )x+(\cos \alpha )y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$

Liniowość odwzorowania $f$ wynika teraz z zadań 4.1 oraz 4.3.

Korzystając ponownie z powyższego wzoru oraz ze znanych tożsamości trygonometrycznych obliczamy też wartość $f$ na wektorze $(\cos \phi ,\sin \phi )$:

$\begin{array}{rl}f((\cos \phi ,\sin \phi ))=(& (\cos \alpha )\cos \phi -(\sin \alpha )\sin \phi ,\\ & (\sin \alpha )\cos \phi +(\cos \alpha )\sin \phi )& =(\cos (\phi +\alpha ),\sin (\phi +\alpha )).\end{array}$

Zauważmy, że nasze odwzorowanie działa na wektorze $(\cos \phi ,\sin \phi )$ jak obrót o kąt $\alpha$.

Zadanie 6.6

Wiedząc, że

$A=\left[\begin{array}{rr}1& 2\\ 1& -1\\ 3& 1\end{array}\right]$

jest macierzą odwzorowania liniowego $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazach kanonicznych, wyznaczyć odwzorowanie dualne $f^{*}$ oraz jego macierz w bazach dualnych do kanonicznych.

Wskazówka

Skorzystać z faktu, że macierz dualna do $A$ będzie macierzą odwzorowania $f^{*}$ w bazach dualnych do baz kanonicznych.

Znając macierz $A^{*}$ łatwo można wyznaczyć wzór na odwzorowanie $f^{*}$ w oparciu o zadanie 6.2.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $e_1^{*}$, $e_2^{*}$, $e_3^{*}$ bazę dualną do bazy kanonicznej w ${\mathbb{ℝ}}^3$, a przez $E_1^{*}$, $E_2^{*}$ bazę dualną do bazy kanonicznej w ${\mathbb{ℝ}}^2$. Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że macierzą odwzorowania $f^{*}$ w bazach dualnych do baz kanonicznych jest macierz $A^{*}$, czyli

$A^{*}=\left[\begin{array}{rrr}1& 1& 3\\ 2& -1& 1\end{array}\right]$

Odczytujemy stąd, że wartością odwzorowania $f^{*}$ na formie

$\phi ={\alpha }_1{e}_1^{*}+{\alpha }_2{e}_2^{*}+{\alpha }_3{e}_3^{*},$

czyli formie przyjmującej na wektorze $(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ wartość

$\phi (y_1,y_2,y_3)={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3,$

jest forma $\psi =f^{*}(\phi )$ przyjmująca na wektorze $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ wartość

$\begin{array}{rl}\psi (x_1,x_2)=& ({\alpha }_1+{\alpha }_2+3{\alpha }_3)x_1+(2{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3)x_2,\end{array}$

innymi słowy:

$\psi =({\alpha }_1+{\alpha }_2+3{\alpha }_3)E_1^{*}+(2{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3)E_2^{*}.$

Zadanie 6.7

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to (2x+3y,x+y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$. Wyznaczyć macierz endomorfizmu $f^{*}$ w bazie złożonej z form

$\begin{array}{rl}\phi :{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)& \to x+2y\in \mathbb{ℝ}\\ \psi :{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)& \to x+3y\in \mathbb{ℝ}.\end{array}$

Znaleźć taką bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$, żeby baza złożona z form $\phi$, $\psi$ była do niej dualna.

Wskazówka

Gdyby nasze zadanie polegało tylko na znalezieniu macierzy odwzorowania $f^{*}$ w podanej bazie moglibyśmy po prostu obliczyć $f^{*}(\phi )$ oraz $f^{*}(\psi )$ i przedstawić każdą z otrzymanych form jako kombinację liniową form $\phi$ i $\psi$. Ponieważ mamy jeszcze znaleźć bazę, do której podana baza przestrzeni form liniowych jest dualna możemy najpierw wyznaczyć tę bazę, a potem macierz $f$ w tej bazie. Aby znaleźć macierz $f^{*}$ wystarczy postępować jak w zadaniu 6.6.

Rozwiązanie

Załóżmy, że znamy bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ złożoną z wektorów $v_1$ oraz $v_2$ i taką, że baza do niej dualna składa się z form $\phi$ oraz $\psi$. Wówczas zgodnie z twierdzeniem znanym z wykładu szukana przez nas macierz odwzorowania $f^{*}$ jest równa $A^{*}$, gdzie $A$ jest macierzą $f$ w bazie złożonej z wektorów $v_1$ oraz $v_2$.

Poszukiwane przez nas wektory $v_1$ i $v_2$ spełniają zależności

$\begin{array}{rlr}\phi (v_1)& =1\phi (v_2)& =0\\ \psi (v_1)& =0\psi (v_2)& =1.\end{array}$

Oznacza to, że $v_1$ oraz $v_2$ są rozwiązaniami dwóch układów równań, których lewe strony są identyczne i składają się z równań wyznaczonych przez wzory na $\phi$ i $\psi$, natomiast za prawe strony podstawiamy odpowiednio wektory $(1,0)$ oraz $(0,1)$.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\{\begin{array} {cccc|cc} x & + & 2y &= 1 & 0\\ x & + & 3y &= 0 & 1 \end{array} \right}

Rozwiązaniami tych układów są wektory $v_1=(3,-1)$ oraz $v_2=(-2,1)$. Baza złożona z form $\phi$, $\psi$ jest dualna do bazy złożonej z wektorów $v_1$, $v_2$.

W celu znalezienia macierzy $f$ w podanej bazie znajdujemy $f(v_1)=(3,2)$ oraz $f(v_2)=(-1,-1)$. Następnie wyznaczamy współczynniki wektorów $f(v_1)=(3,2)$ oraz $f(v_2)=(-1,-1)$ w bazie $v_1$ oraz $v_2$.

W tym celu rozwiązujemy układy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \left\{\begin{array} {rcrc|cc} 3x & - & 2y &= {3}&{-1}\\ -x & + & y &= {2}&{-1} \end{array} \right}

Znajdujemy, że $f(v_1)=(3,2)=7v_1+9v_2$ oraz $f(v_2)=(-1,-1)=-3v_1-4v_2$. Oznacza to, że macierzą $f$ w bazie złożonej z wektorów $v_1$ oraz $v_2$ jest

$A=\left[\begin{array}{cc}7& -3\\ 9& -4\end{array}\right].$

Wobec powyższych obliczeń szukaną macierzą jest macierz:

$A^{*}=\left[\begin{array}{rr}7& 9\\ -3& -4\end{array}\right].$

Zadanie 6.8

Niech $A$ będzie ustaloną rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru $n$. Definiujemy odwzorowanie

$T_A:M(n,n;\mathbb{ℝ})\mapsto M(n,n;\mathbb{ℝ})$

kładąc dla macierzy $X\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$

$T_A(X)=AX-XA$

Udowodnić, że $T$ jest odwzorowaniem liniowym. Czy istnieje taka macierz $A$, aby zdefiniowane przy jej pomocy odwzorowanie $T_A$ było epimorfizmem?

Wskazówka

Badając liniowość odwzorowania $T_A$ wystarczy skorzystać z podstawowych własności działań na macierzach. W drugiej części zadania skorzystajmy z faktu, że $T_A$ jest endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, a zatem $T_A$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem.

Rozwiązanie

Ustalmy macierz $A\in M(n,n;\mathbb{ℝ})$. Dla dowolnych macierzy $X,Y\in M(n,n;\mathbb{ℝ})$ oraz skalarów $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ mamy:

$\begin{array}{rl}{T}_A(\alpha X+\beta Y)& =A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A\\ & =A(\alpha X)+A(\beta Y)-(\alpha X)A-(\beta Y)A\\ & =A(\alpha X)-(\alpha X)A+A(\beta Y)-(\beta Y)A\\ & =\alpha (AX)-\alpha (XA)+\beta (AY)-\beta (YA)\\ & =\alpha (AX-XA)+\beta (AY-YA)\\ & =\alpha T_A(X)+\beta T_A(Y),\end{array}$

co oznacza, że nasze odwzorowanie jest liniowe. Wiemy, że $T_A$ jako endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem. Zatem, gdyby istniała taka macierz $A$, że zadane przez nią odwzorowanie $T_A$ byłoby epimorfizmem, to takie $T_A$ byłoby też monomorfizmem. Ale nie istnieje taka macierz $A$ dla której odwzorowanie $T_A$ jest monomorfizmem, bo zawsze

$T_A(I)=AI-IA=A-A=0,$

zatem macierz jednostkowa $I$ jest niezerowym elementem jądra odwzorowania $T_A$ i $T_A$ nie jest monomorfizmem. Oznacza to, że $T_A$ nie jest też epimorfizmem.