Analiza matematyczna 2/Test 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

W całce $\underset{0}{\overset{2}{\int }}dx\underset{0}{\overset{\sqrt{x^2-2x}}{\int }}f(x,y)dy$ całkujemy po zbiorze danym we współrzędnych biegunowych jako

$\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}],0\le r\le \cos \alpha$ Źle

$\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}],0\le r\le 2\cos \alpha$ Dobrze

$\alpha \in [0,\pi ],0\le r\le 2\sin \alpha$ Źle

Całka $\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}dx\underset{0}{\overset{xy}{\int }}f(x,y,z)dz$ jest równa całce

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{0}{\overset{\sqrt{1-x^2}}{\int }}dy\underset{xy}{\overset{0}{\int }}(-f(x,y,z))dz$ Dobrze

$\underset{1}{\overset{0}{\int }}dx\underset{\sqrt{1-x^2}}{\overset{0}{\int }}dy\underset{0}{\overset{xy}{\int }}f(x,y,z)dz$ Dobrze

$\underset{1}{\overset{0}{\int }}dy\underset{\sqrt{1-y^2}}{\overset{0}{\int }}dx\underset{xy}{\overset{0}{\int }}(-f(x,y,z))dz$ Dobrze

Całka $\underset{K}{\iint }2dxdy$, gdzie $K=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2\le 4\}$ wynosi

$8\pi$ Dobrze

$4\pi$ Źle

$16\pi$ Źle

Całka $\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)dxdy$, gdzie $D=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:x^2+y^2\le 4\}$ wynosi

$\frac{3}{4}\pi$ Źle

$8\pi$ Dobrze

$\frac{4}{3}\pi$ Źle

Całka $\underset{W}{\iint }dxdydz$, gdzie $W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:z^2+y^2\le 4,0\le x\le H\}$ (gdzie $H$ jest dane i większe od zera) jest równa

$4\pi H^2$ Dobrze

$\pi H^2$ Źle

$2\pi H^2$ Źle

We współrzędnych biegunowych zbiór $D\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ jest zadany jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \bigg\{(r,\alpha):\ 2<r\leq 4, \ \alpha\in\bigg[\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\bigg]\bigg\}}

We współrzędnych kartezjańskich zbiór $D$ można zapisać jako

$\{(x,y):\sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\le 2,|x|\le y\}$ Dobrze

$\{(x,y):\sqrt{2}<\sqrt{x^2+y^2}\le 2,|y|\le x\}$ Źle

$\{(x,y):2<x^2+y^2\le 4,|x|\le y\}$ Dobrze

Całka po kuli o promieniu $R$ z funkcji $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ jest równa

$\frac{4}{3}\pi R^4$ Źle

$\frac{4}{5}\pi R^5$ Dobrze

$\frac{2}{5}\pi R^5$ Źle

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle K=\underbrace{[-1,1]\times\ldots\times [-1,1]}_{n} razy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle }} , to całka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\idotsint”): {\displaystyle \idotsint\limits_Kdx_1\ldots dx_n} wynosi

$1$ Źle

$n$ Źle

$2^n$ Dobrze

Powierzchnia $D$ ograniczona jest prostymi $y=0,y=\sqrt{3}x,y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$. Na $D$ określona jest gęstość $\rho (x,y)\equiv 1$. Środek ciężkości powierzchni $D$ leży w punkcie:

$(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$ Źle

$(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$ Dobrze

$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ Źle