Analiza matematyczna 2/Test 15: Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Przestrzeń $C^1[0,1]$ z normą

$\Vert f\Vert =\max \{|f(t)|,0\le t\le 1\}+\max \{|f^{\prime }(t)|,0\le t\le 1\}$.

jest przestrzenią metryczną zupełną Dobrze

jest przestrzenią Hilberta Źle

ma wymiar skończony. Źle

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $y$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=0$ Dobrze

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą. Źle

$L(f,f^{\prime },t)-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$. Źle

W przestrzeni $C^1[0,1]$ określono normę

$\Vert f\Vert =\max \{|f(t)|,0\le t\le 1\}+\max \{|f^{\prime }(t)|,0\le t\le 1\}$.

Norma funkcji $f(t)=-\exp (-t)$ w tej przestrzeni wynosi

$0$ Źle

$2$ Dobrze

$2e^{-1}$. Źle

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $t$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą. Źle

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)-\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$. Źle

$L(f,f^{\prime },t)-f^{\prime }\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=0$. Źle

Równanie $t\mapsto (x(t),y(t))$, gdzie $x(t)=r(t-\sin t)$, $y(t)=r(1-\cos t)$ przedstawia

okrąg Źle

elipsę Źle

cykloidę. Dobrze

Funkcjonał $J[f]=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{2}dt$ wyraża

objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$, dokoła osi rzędnych Dobrze

pole powierzchni obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$, dokoła osi rzędnych Źle

długość krzywej stanowiącej wykres funkcji $t\mapsto f(t)$, $a\le t\le b$. Źle

Jeśli funkcja Lagrange'a $(x,y,t)\mapsto L(x,y,t)$ nie zależy od zmiennej $x$, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

$\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)=0$ Źle

$\frac{\partial L}{\partial t}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą Źle

$\frac{\partial L}{\partial y}(f,f^{\prime },t)=C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą. Dobrze

Ekstremalą funkcjonału $J[f]=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dt$, $f(0)=1$, $f(1)=2$, jest

łuk okręgu o środku $(1,1)$ i promieniu $1$ Źle

odcinek o końcach $(0,1)$, $(1,2)$ Dobrze

odcinek prostej o równaniu $f(t)=t+1$. Dobrze

Ekstremalą funkcjonału $J[f]=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f\sqrt{1+(f^{\prime }{)}^2}dt$, $f(-\pi )=0$, $f(\pi )=0$, jest funkcja

$f(t)=t^2-{\pi }^2$ Źle

$f(t)=1+\cos t$ Źle

$f(t)=0$. Dobrze