Analiza matematyczna 2/Test 15: Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Przestrzeń z normą


jest przestrzenią metryczną zupełną

jest przestrzenią Hilberta

ma wymiar skończony.


Jeśli funkcja Lagrange'a nie zależy od zmiennej , to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

, gdzie jest dowolną stałą.

.


W przestrzeni określono normę

Norma funkcji w tej przestrzeni wynosi

.


Jeśli funkcja Lagrange'a nie zależy od zmiennej , to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

, gdzie jest dowolną stałą.

.

.


Równanie , gdzie , przedstawia

okrąg

elipsę

cykloidę.


Funkcjonał wyraża

objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji , , dokoła osi rzędnych

pole powierzchni obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji , , dokoła osi rzędnych

długość krzywej stanowiącej wykres funkcji , .


Jeśli funkcja Lagrange'a nie zależy od zmiennej , to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

gdzie jest dowolną stałą

gdzie jest dowolną stałą.


Ekstremalą funkcjonału , , , jest

łuk okręgu o środku i promieniu

odcinek o końcach ,

odcinek prostej o równaniu .


Ekstremalą funkcjonału , , , jest funkcja