Matematyka dyskretna 1/Test 6: Permutacje i podziały

Niech $n_{\pi },n_{\sigma },n_{\rho }$ będą kolejno liczbami permutacji w $S_7$ tego samego typu co, odpowiednio, $\pi =(14)(26)(357)$, $\sigma =(1357)(246)$, $\rho =(12)(34)(56)(7)$. Wtedy:

$n_{\pi }⩽n_{\rho }⩽n_{\sigma }$ Źle

$n_{\sigma }⩽n_{\pi }⩽n_{\rho }$ Źle

$n_{\rho }⩽n_{\pi }⩽n_{\sigma }$ Dobrze

$n_{\pi }⩽n_{\sigma }⩽n_{\rho }$ Źle

Dla sprzężonych permutacji $\pi ,\sigma \in S_{13}$ zachodzi:

$\pi$ i $\sigma$ mają tyle samo cykli $4$-elementowych Dobrze

elementy $1$ i $2$ albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach, albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach Źle

$\pi$ i $\sigma$ mają ten sam typ Dobrze

$\pi$ i $\sigma$ mają ten sam znak Dobrze

Dla $n⩾2$, podziałowa liczba Stirlinga $\left\{\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right\}$ wynosi:

$\sum _{k=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!=\sum _{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}$ Źle

$n!\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}$ Źle

$n!\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}$ Źle

$\frac{n!}{2}\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}$ Dobrze

Średnia liczba cykli permutacji $n$-elementowej (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach $n$-elementowych do liczby cykli $n$-elementowych) to:

$2n$ Źle

$\lfloor \frac{n}{\lg n}\rfloor +1$ Źle

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ Dobrze

$\frac{n}{2}$ Źle

Podziałowa liczba Stirlinga$\left\{\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right\}$ wynosi:

$90$ Źle

$140$ Źle

$301$ Źle

$350$ Dobrze

Jednomian $x^n$ jest równy:

$\sum _i\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{x}^{\underset{\_}{i}}$ Dobrze

$B_n{x}^{\underset{\_}{n}}$, gdzie $B_n$ jest $n$-tą liczbą Bella Źle

$\sum _i\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]x^{\bar{i}}$ Źle

$\sum _i\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}(-1{)}^{n-i}{x}^{\bar{i}}$ Dobrze

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ rozróżnialnych obiektów do dokładnie $b$ rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?

$b^a$ Źle

$\left\{\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right\}$ Źle

$b!\left\{\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right\}$ Dobrze

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a-1}{b-1})$ Źle

Na ile sposobów można rozłożyć $a$ nierozróżnialnych obiektów do co najwyżej $b$ rozróżnialnych szuflad?

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a-1}{b-1})$ Źle

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{b+a-1}{b-1})$ Dobrze

$\left\{\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right\}$ Źle

$\sum _{i=1}^b\left\{\begin{array}{c}a\\ i\end{array}\right\}$ Źle

Gdy $P(n,k)$ jest liczbą rozkładów liczby $n$ na sumy dokładnie $k$ nieujemnych całkowitych składników, to $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P(n,k)}{n^k}$ wynosi:

$0$ Dobrze

$\frac{1}{k!(k-1)!}$ Źle

$\frac{1}{k}$ Źle

$1$ Źle

Na ile sposobów można podzielić zbiór $a$ elementowy na $b+c$ bloków, przy czym $b$ bloków jest wyróżnionych?

$\left\{\begin{array}{c}a\\ b+c\end{array}\right\}(\genfrac{}{}{0ex}{}{b+c}{b})$ Dobrze

$\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{k})\left\{\begin{array}{c}k\\ b\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}a-k\\ c\end{array}\right\}$ Dobrze

$\left\{\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}a-b\\ c\end{array}\right\}$ Źle

$\left\{\begin{array}{c}a\\ b+c\end{array}\right\}b!$ Źle