Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe

W zbiorze ${\mathbb{ℝ}}^2$ określamy następujące działania:
$⊞:{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\to (x_1+y_1,x_2+y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$,
$\odot :\mathbb{ℝ}\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni (\alpha ,(x_1,x_2))\to (\alpha x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

$\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^{2}2\odot (x_1,x_2)=(x_1,x_2)⊞(x_1,x_2)$. Źle

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2\\ & (\alpha \beta )\odot (x_1,x_2)=(\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))\end{array}$. Dobrze

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2\\ & \alpha ((x_1,x_2)⊞(y_1,y_2))=\alpha \odot (x_1,x_2)⊞\alpha \odot (y_1,y_2)\end{array}$. Dobrze

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2\\ & (\alpha +\beta )\odot (x_1,x_2)=\alpha \odot (x_1,x_2)⊞\beta \odot (x_1,x_2)\end{array}$. Źle

Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ i niech $w=(1,0,1)$.

$U$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

$(3,0,-1)\in U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }u\in Uu+w\notin U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}(\alpha w\in U⟹\alpha =0)$. Dobrze

Niech $u=(2,1,0),v=(1,-1,1)$ i niech $U=\{\alpha u+\beta v:\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}\}$.

$(1,1,1)\in U$. Źle

$(4,-1,2)\in U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }x,y\in Ux+y\in U$. Dobrze

$\mathrm{\forall }x\in U\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}\alpha x\in U$. Dobrze

Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1-x_2+x_3=0,x_1+2x_2=0\}$,
$W=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:2x_1+x_2-3x_3=0\}$.

$U\cap W=\{\mathrm{\Theta }\}$. Dobrze

${\mathbb{ℝ}}^3=U\oplus W$. Dobrze

$U\cup W={\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

$U+W={\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1=0\}$,
$W=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_2+x_3=0\}$,
$Z=\{(t,-t,t):t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$U\cap W=\{\mathrm{\Theta }\}$. Źle

$U+W={\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

$U\cup W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Źle

$Z\cup W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dobrze

Niech $V={\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}$,  $U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}f(x)=f(-x)\}$,   $W=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}f(x)=-f(-x)\}$,
$Q=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:f\}$ jest wielomianem stopnia parzystego $\}$.

$Q$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. Źle

$U$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. Dobrze

$W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. Dobrze

$V=U\oplus W$. Dobrze