Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 7

Zadanie 1

Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka $[0,1]$, w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu mając daną jego dystrybuantę?

Zadanie 2

Oblicz wariancję rozkładu wykładniczego.

Zadanie 3

Uzasadnij nieformalne stwierdzenie, że rozkład wykładniczy jest "ciągłą wersją" rozkładu geometrycznego. W tym celu porównaj dystrybuanty tych rozkładów.

Zadanie 4 (brak pamięci)

Pokaż, że zmienna losowa $X$ o wartościach nieujemnych spełnia warunek $P(X>s+t|X>t)=P(X>s)$ dla wszystkich rzeczywistych $s,t\ge 0$ wtw, gdy $X$ ma rozkład wykładniczy.

Wskazówka: Aby pokazać wynikanie w prawą stronę, zastanów się jak musi wyglądać funkcja

$1-F_X(t)$

dla

$X$

spełniającego warunek powyżej.

Zadanie 5

Oblicz wariancję rozkładu normalnego.

Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)

Niech $X_1,...,X_n$ niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, $X_i\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Exp</mrow>}({\theta }_i)$. Pokaż, że $X=\min X_i$ ma rozkład wykładniczy z parametrem ${\theta }_1+..+{\theta }_n$. Niech $I$ będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że $P(I=k)={\theta }_k/({\theta }_1+...+{\theta }_n)$. Pokaż też, że zmienne $X$ i $I$ są niezależne.

Zadanie 7 (igła Buffona)

Mamy igłę (odcinek o długości $l$). Na kartce rysujemy równoległe linie (jak na kartce papieru w linie), tak, aby odległość między dwiema kolejnymi liniami była równa $l$. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona losowo na kartkę przetnie którąś z linii?

Zadanie 8 (losowy trójkąt)

Losujemy trójkąt w ten sposób, że (niezależnie) losujemy dwa jego z boków z rozkładu $Unif(0,1)$ i kąt między nimi z rozkładu $Unif(0,\pi )$. Jaka jest wartość oczekiwana pola wylosowanego w ten sposób trójkąta?

Zadanie 9 (próbkowanie z rozkładu normalnego)

W jaki sposób można próbkować z rozkładu normalnego?

Wskazówka: Metoda z Zadania 1 nie bardzo daje się tu zastosować, bo (odwrotna) dystrybuanta rozkładu normalnego nie jest funkcją elementarną. Ten sam problem wystąpił przy dowodzie, że całka z funkcji gęstości rozkładu normalnego jest 1 -- na wykładzie poradziliśmy sobie z tym w ten sposób, że wzięliśmy dwie zmienne z rozkładem normalnym i przeszliśmy ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowej. Z tego samego triku można skorzystać w tym zadaniu.

Zadanie 10 (próbkowanie ze sfery)

W jaki sposób można wylosować punkt ze sfery (jednostajnie -- prawdopodobieństwo wylosowania punktu z podzbioru sfery ma być proporcjonalne do jego powierzchni)?

Wskazówka: Są co najmniej 3 różne sposoby rozwiązania tego zadania.