Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 7

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Zadanie 1

Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka , w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu mając daną jego dystrybuantę?

Zadanie 2

Oblicz wariancję rozkładu wykładniczego.

Zadanie 3

Uzasadnij nieformalne stwierdzenie, że rozkład wykładniczy jest "ciągłą wersją" rozkładu geometrycznego. W tym celu porównaj dystrybuanty tych rozkładów.

Zadanie 4 (brak pamięci)

Pokaż, że zmienna losowa o wartościach nieujemnych spełnia warunek dla wszystkich rzeczywistych wtw, gdy ma rozkład wykładniczy.

Wskazówka: Aby pokazać wynikanie w prawą stronę, zastanów się jak musi wyglądać funkcja dla spełniającego warunek powyżej.

Zadanie 5

Oblicz wariancję rozkładu normalnego.

Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)

Niech niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, . Pokaż, że ma rozkład wykładniczy z parametrem . Niech będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że . Pokaż też, że zmienne i są niezależne.

Zadanie 7 (igła Buffona)

Mamy igłę (odcinek o długości ). Na kartce rysujemy równoległe linie (jak na kartce papieru w linie), tak, aby odległość między dwiema kolejnymi liniami była równa . Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona losowo na kartkę przetnie którąś z linii?

Zadanie 8 (losowy trójkąt)

Losujemy trójkąt w ten sposób, że (niezależnie) losujemy dwa jego z boków z rozkładu i kąt między nimi z rozkładu . Jaka jest wartość oczekiwana pola wylosowanego w ten sposób trójkąta?

Zadanie 9 (próbkowanie z rozkładu normalnego)

W jaki sposób można próbkować z rozkładu normalnego?

Wskazówka: Metoda z Zadania 1 nie bardzo daje się tu zastosować, bo (odwrotna) dystrybuanta rozkładu normalnego nie jest funkcją elementarną. Ten sam problem wystąpił przy dowodzie, że całka z funkcji gęstości rozkładu normalnego jest 1 -- na wykładzie poradziliśmy sobie z tym w ten sposób, że wzięliśmy dwie zmienne z rozkładem normalnym i przeszliśmy ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowej. Z tego samego triku można skorzystać w tym zadaniu.

Zadanie 10 (próbkowanie ze sfery)

W jaki sposób można wylosować punkt ze sfery (jednostajnie -- prawdopodobieństwo wylosowania punktu z podzbioru sfery ma być proporcjonalne do jego powierzchni)?

Wskazówka: Są co najmniej 3 różne sposoby rozwiązania tego zadania.