Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 7

Zadanie 1

Zakładając, że potrafimy próbkować z rozkładem jednostajnym z odcinka $[0,1]$, w jaki sposób można próbkować z dowolnego rozkładu mając daną jego dystrybuantę?

Zadanie 2

Oblicz wariancję rozkładu wykładniczego.

Zadanie 3

Uzasadnij nieformalne stwierdzenie, że rozkład wykładniczy jest "ciągłą wersją" rozkładu geometrycznego. W tym celu porównaj dystrybuanty tych rozkładów.

Zadanie 4 (brak pamięci)

Pokaż, że zmienna losowa $X$ o wartościach nieujemnych spełnia warunek $P(X>s+t|X>t)=P(X>s)$ dla wszystkich rzeczywistych $s,t\ge 0$ wtw, gdy $X$ ma rozkład wykładniczy.

Wskazówka: Aby pokazać wynikanie w prawą stronę, zastanów się jak musi wyglądać funkcja

$1-F_X(t)$

dla

$X$

spełniającego warunek powyżej.

Zadanie 5

Oblicz wariancję rozkładu normalnego.

Zadanie 6 (wyścig zmiennych wykładniczych)

Niech $X_1,...,X_n$ niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym, $X_i\sim \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Exp</mrow>}({\theta }_i)$. Pokaż, że $X=\min X_i$ ma rozkład wykładniczy z parametrem ${\theta }_1+..+{\theta }_n$. Niech $I$ będzie indeksem zmiennej o najmniejszej wartości. Pokaż, że $P(I=k)={\theta }_k/({\theta }_1+...+{\theta }_n)$. Pokaż też, że zmienne $X$ i $I$ są niezależne.