Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne

Jeśli funkcja $h$ jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą Dobrze

różniczkowalną Dobrze

klasy $C^{\mathrm{\infty }}$. Źle

Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji. Dobrze

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu. Źle

Jeśli w chwili $t_0$ mamy $4$ g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie $1$ g. Dobrze

Funkcja $g(t)=-\ln (1-e^t)$ jest rozwiązaniem

równania różniczkowego $x^{\prime }=e^{t+x}$ Dobrze

problemu początkowego Cauchy'ego $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=\exp (x(t))-1\\ x(-\ln 2)=\ln 2\end{array}$ Dobrze

problemu początkowego Cauchy'ego $\{\begin{array}{l}\exp (1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp (t+1)\\ x(1)=0\end{array}$. Źle

Problem początkowy Cauchy'ego

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\end{array}$

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

$t_0=3,x_0=2$ Dobrze

$t_0=2,x_0=3$ Źle

$t_0=3,x_0=3$. Źle

Jednym z rozwiązań równania $t^2{x}^{\prime }=-x$ jest funkcja

$f(t)=-\exp \left(\frac{1}{t}\right)+2$ Źle

$g(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0\\ 3\exp \left(\frac{1}{t}\right),& t>0\end{array}$ Źle

$h(t)=\exp \left(\frac{1}{t}\right)$. Źle

Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=t-x(t),\\ x(0)=0\end{array}$

otrzymujemy

$x_2(t)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{6}{t}^3$ Dobrze

$x_4(t)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{6}{t}^3+\frac{1}{24}{t}^4-\frac{1}{120}{t}^5$ Dobrze

$x(t)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-t{)}^n}{n!}$. Dobrze

Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=t^2+x(t)\\ x(0)=0\end{array}$

w przedziale $[0;2]$ i biorąc $h=0,5$ otrzymujemy

łamaną o węzłach $(0,0),(\frac{1}{2},0),(1,\frac{1}{8}),(\frac{3}{2},\frac{11}{16}),(2,\frac{69}{32})$ Dobrze

wartość łamanej Eulera w punkcie $\frac{3}{2}$ równą $\tilde{x}\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{16}$ Dobrze

wartość łamanej Eulera w punkcie $2$ równą $\tilde{x}\left(2\right)=\frac{47}{32}$. Źle

Jeśli funkcja $x$ jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=x(t)t\\ x(0)=1\end{array}$, to

$x^{\prime }(0)=1$ Źle

$x^{″}(0)=1$ Dobrze

$x^{‴}(0)=2$. Dobrze

Rozważamy równanie $x^{\prime }=\frac{x}{t}$.

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych. Źle

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x=3t$ są do niej równoległe. Dobrze

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $x=0$ są do niej prostopadłe. Źle