Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Jeśli funkcja jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą

różniczkowalną

klasy .


Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji.

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu.

Jeśli w chwili mamy g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie g.


Funkcja jest rozwiązaniem

równania różniczkowego

problemu początkowego Cauchy'ego

problemu początkowego Cauchy'ego .


Problem początkowy Cauchy'ego

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

.


Jednym z rozwiązań równania jest funkcja

.


Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

otrzymujemy

.


Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

w przedziale i biorąc otrzymujemy

łamaną o węzłach

wartość łamanej Eulera w punkcie równą

wartość łamanej Eulera w punkcie równą .


Jeśli funkcja jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego , to

.


Rozważamy równanie .

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej są do niej równoległe.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej są do niej prostopadłe.