Zadanie 12.1
Obliczyć wyznacznik Grama układu wektorów
Wskazówka
Skorzystać z definicji wyznacznika Grama.
Rozwiązanie
Zgodnie z definicją wyznacznik Grama układu wektorów
dany jest wzorem
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle G(v_1,v_2,v_3,v_4)=\det\left[ \begin{array} {cccc} 2&4&2&2\\4&30&6&4\\2&6&3&3\\2&4&3&6\end{array} \right]=100.\qedhere }
Zadanie 12.2
Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ze standardowym iloczynem skalarnym.
Niech
i niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \textnormal lin \{u,v\}}
. Obliczyć .
Wskazówka
Wystarczy skorzystać z definicji .
Rozwiązanie Liczba
jest z definicji równa
, gdzie
jest składową wektora
w rozkładzie przestrzeni
na sumę prostą
. Aby wyznaczyć składowe wektora
w tym rozkładzie, wystarczy znaleźć bazę przestrzeni
, której wektory należą do
. Z określenia przestrzeni
wynika, że bazą dla
są wektory
i
oraz
. Wnioskujemy stąd, że
i jako bazę dla podprzestrzeni
możemy przyjąć dowolne niezerowe rozwiązanie
układu
który, przyjmując, że , możemy równoważnie zapisać w następujący sposób
(Inna metoda na wyznaczenie wektora prostopadłego
równocześnie do wektorów i podana jest
w zadaniu 12.3). Łatwo sprawdzić, że wektor
jest niezerowym rozwiązaniem naszego układu. Jeżeli teraz przyjmiemy
za bazę przestrzeni wektory , oraz
, to znajdując wektor współrzędnych
wektora w tej bazie, a następnie przyjmując ,
wyznaczymy składową wektora w rozkładzie przestrzeni na
sumę prostą . Aby wyznaczyć współrzędne wektora
w tej bazie, rozważmy równanie
które jest równoważne układowi równań
Rozwiązaniem tego układu są liczby
Oznacza to, że wektor
jest szukaną składową. Ponieważ
zatem otrzymaliśmy, że
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle d(w,U)=3.\qedhere }
Zadanie 12.3
W przestrzeni ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory i
. Definiujemy wektor
Wykazać, że wektor jest prostopadły do
podprzestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal lin \{\mathbf{x},\mathbf{y}\}}
oraz że Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \parallel \mathbf{x}\times \mathbf{y}\parallel = \textnormal vol (\mathbf{x},\mathbf{y}) }
. Wektor nazywamy iloczynem wektorowym wektorów i .
Wskazówka
Skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.
Rozwiązanie Aby wykazać, że wektor
jest prostopadły do podprzestrzeni
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal lin \{\mathbf{x},\mathbf{y}\}}
wystarczy dowieść, że
Korzystając z definicji wektora oraz
definicji standardowego iloczynu skalarnego, otrzymujemy
Podobnie bezpośrednim rachunkiem dowodzimy, że
Oznacza to, że
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \mathbf{x}\times \mathbf{y} \bot \textnormal {lin} \{\mathbf{x},\mathbf{y}\}. }
Wykażemy teraz, że
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle || \mathbf{x}\times \mathbf{y}|| = \textnormal vol (\mathbf{x},\mathbf{y}). }
Skorzystamy przy tym z następującego wzoru podanego na wykładzie
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal{vol}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{G(\mathbf{x},\mathbf{y})}, }
gdzie oznacza wyznacznik Grama wektorów
i . Zauważmy, że
Z drugiej strony
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} (\textnormal vol(\mathbf{x},\mathbf{y}))^2=&{G(\mathbf{x},\mathbf{y})}\\ =&{\det\left [ \begin{array} {cc}\mathbf{x}\cdot \mathbf{x} & \mathbf{x}\cdot \mathbf{y} \\ \mathbf{y}\cdot \mathbf{x} & \mathbf{y}\cdot \mathbf{y} \end{array} \right ]}\\ =&{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2}\\ =&{(x_1y_1)^2+(x_2y_2)^2+(x_3y_3)^2+(x_2y_1)^2+(x_3y_1)^2+}\\ &+(x_1y_2)^2+(x_3y_2)^2+(x_1y_3)^2+(x_1y_3)^2+\\ &-((x_1y_1)^2+(x_2y_2)^2+(x_3y_3)^2)+\\&-2(x_2x_3y_2y_3+x_1x_3y_1y_3+x_1x_2y_1y_2)\\ =&{( x_2y_3)^2-2x_2x_3y_2y_3+(x_3y_2)^2+ (x_3y_1)^2}\\ &-2x_1x_3y_1y_3+(x_1y_3)^2+(x_1y_2)^2+\\& -2x_1x_2y_1y_2+(x_2y_1)^2. \end{align}}
Wykazaliśmy zatem, że
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle || \mathbf{x}\times \mathbf{y}||^2=(\textnormal {vol}(\mathbf{x},\mathbf{y}))^2, }
co oznacza, że
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle || \mathbf{x}\times \mathbf{y}||=\textnormal {vol}(\mathbf{x},\mathbf{y}).\qedhere }
Zadanie 12.4
W przestrzeni ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory
Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach
oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal {vol} (u,v,w)}
.
Wskazówka
Skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu. W pierwszej części
można też skorzystać z poprzedniego zadania.
Rozwiązanie
Zauważmy, że
Z wykładu wiadomo, że pole powierzchni równoległoboku wyznaczonego
przez punkty , , oraz jest równe
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal vol\{u,v\}}
. Widać także, że pole pole trójkąta o wierzchołkach
które oznaczamy dalej przez , jest równe połowie pola
wspomnianego równoległoboku, czyli
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P=\frac{1}{2}\textnormal {vol}\{u,v\}. }
Korzystając ze wzoru
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal {vol}\{u,v\}=\sqrt{G(u,v)}, }
otrzymujemy
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} \textnormal {vol}\{u,v\}&=\sqrt{\det\left [ \begin{array} {cc}u\cdot u & u\cdot v \\ v\cdot u & v\cdot v \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{\det\left [ \begin{array} {cc}2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{4}=2, \end{align}}
co oznacza, że
Podobnie
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} \textnormal {vol}\{u,v,w\}&=\sqrt{G(u,v,w)}\\ &=\sqrt{\det\left[ \begin{array} {ccc} u\cdot u & u\cdot v & u\cdot w \\ v\cdot u & v\cdot v & v\cdot w \\ w\cdot u & w\cdot v & w\cdot w \end{array} \right ]}\\ &=\left|\det\left [ \begin{array} {crc} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 10 \end{array} \right ]\right|\\ &=3. \qedhere \end{align}}
Zadanie 12.5
Rozważmy wektorową przestrzeń euklidesową , gdzie
Obliczyć Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \textnormal vol (u,v,w)}
, gdy , .
Wskazówka Wystarczy skorzystać z definicji miary układu wektorów.
Rozwiązanie
Ze wzoru na miarę układu wektorów otrzymujemy
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} \textnormal vol\{u,v,w\}&=\sqrt{G(u,v,w)}\\ &=\sqrt{\det\left[ \begin{array} {ccc} g(u, u) & g(u, v) & g(u, w) \\ g(v, u) & g(v, v) & g(v, w) \\ g(w, u) & g(w, v) & g(w, w) \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{\det\left [ \begin{array} {crc} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 8 & 8\\ 2 & 8 & 12 \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{96}=4\sqrt{6}. \qedhere \end{align}}
Zadanie 12.6
Niech
Niech oznaczają wktory bazy kanonicznej w
. Obliczyć
Wskazówka
Można skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.
Rozwiązanie
Zauważmy, że baza kanoniczna jest bazą ortonormalną. Współrzędne wektora , gdzie
, a jest -tym wektorem bazy kanonicznej możemy łatwo odczytać
z macierzy odwzorowania w bazie kanonicznej. Korzystając z powyższych obserwacji oraz
z twierdzenia z wykładu otrzymujemy, że wyznacznik Grama układu wektorów
jest równy , gdzie oznacza macierz naszego dowzorowania w bazie kanonicznej.
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy
oraz
co oznacza, że
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle G( f (e_1),f( e_2), f(e_3), f(e_4))=36.\qedhere }