Ćwiczenie 1

Obliczenie energii sygnału $S a$ w dziedzinie czasu jest bardzo skomplikowane. Bez trudu możemy ją natomiast obliczyć w dziedzinie częstotliwości, korzystając z widma energii tego sygnału.
Energię dyskretnego sygnału wykładniczego można obliczyć wprost z definicji. Korzystamy przy tym ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

Moc (czynna) sygnału okresowego jest równa energii zawartej w jednym okresie sygnału odniesioną do jego okresu. W obliczeniach korzystamy z elementarnego wzoru trygonometrycznego na kwadrat sinusa, rozbijając całkę na dwie całki. Zauważmy, że druga całka, jako całka za okres z funkcji kosinus, jest równa zeru.
Ponieważ rozpatrywany sygnał jest $N$ -okresowy o okresie równym $12$ , w sumie definicyjnej występuje $12$ składników, z których dwa dla $n = 0$ i $n = 6$ są równe zeru. Zauważmy, że składniki o numerach $n$ oraz $12 - n$ są sobie równe. Dlatego początkową sumę możemy zastąpić podwojoną sumą składników o numerach od $1$ do $5$ .

Sygnał $x (t) = s g n t$ jest sygnałem o ograniczonej mocy. Jego widmo w sensie zwykłym nie istnieje. Aby wyznaczyć widmo tego sygnału w sensie granicznym, należy skonstruować odpowiedni ciąg aproksymujący ten sygnał. W obliczeniach widma w sensie zwykłym wyrazów tego ciągu rozbijamy całkę definicyjną na dwie całki w granicach $(- \infty, 0)$ i $(0, + \infty)$ .

Jak widzimy, dyskretny sygnał wykładniczy jest sygnałem dolnopasmowym . Jego widmo jest tym węższe, im większa jest wartość parametru $a$ . Dla $a \to 0$ sygnał dąży do dyskretnego skoku jednostkowego. Dokonując odpowiedniego przejścia granicznego można stąd wyznaczyć widmo dyskretnego skoku jednostkowego. Należy przy tym wziąć pod uwagę, że dla pulsacji unormowanej $θ = 0$ otrzymujemy składnik dystrybucyjny. Dla $a \to 0$ sygnał dąży do delty Kroneckera. Przejście graniczne w dziedzinie widmowej jest w tym przypadku oczywiste i prowadzi do widma stałego.

Transformata Fouriera dystrybucji grzebieniowej $δ_{T_{0}} (t)$ w dziedzinie czasu, o okresie $T_{0}$ i jednostkowych wielkościach (polach) tworzących ją impulsów Diraca, jest również dystrybucją grzebieniową (w dziedzinie częstotliwości). Okresem tej dystrybucji jest $ω_{0} = 2 π / T_{0}$ , a wielkości tworzących ją dystrybucji Diraca są równe $ω_{0}$ . Aby wykazać to, należy obliczyć współczynniki rozwinięcia dystrybucji $δ_{T_{0}} (t)$ w zespolony szereg Fouriera. W obliczeniach uwzględniamy, że całka określająca te współczynniki obejmuje jeden okres (tylko jeden środkowy impuls). Korzystamy przy tym z właściwości próbkowania impulsu Diraca.

Uogólnione twierdzenie Rayleigha stanowi, iż iloczyny skalarne w przestrzeni sygnałów i przestrzeni widm są równe (z dokładnością do stałego współczynnika $1 / 2 π$ ). Obliczenie iloczynu skalarnego w dziedzinie widmowej nie nastręcza trudności. Wystarczy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu względem pary transformat dla nieprzesuniętego sygnału $S a$ .

Jeśli jako miary czasu trwania sygnału i szerokości jego widma przyjmiemy równoważny czas trwania sygnału i równoważną szerokość widma, wówczas zasada nieoznaczoności stanowi, że iloczyn tych miar jest ograniczony i równy $2 π$ . Równoważny czas trwania rozpatrywanego impulsu jest w tym przypadku równy $Δ t_{x} = 2 / α$ . Można go zmniejszać, zwiększając parametr $α$ . Jednak jednocześnie proporcjonalnie wzrasta równoważna szerokość widma, która dla rozpatrywanego sygnału wynosi $Δ ω_{x} = π α$ .

Menu nawigacyjne