Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 15

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T15.1. Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1-2x_2+3x_3=2\}$, $V$ niech oznacza kierunek $X$ i niech $U=\{(t,-2t,3t);t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$X$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {F}

$X$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$U^{\perp }=V$. {T}

$\dim X=2$. {T}

T15.2. W ${\mathbb{ℝ}}^3$ mamy trzy wektory $a=(1,2,1),b=(-1,0,1)$ i $c=(1,4,3)$.

$a,b,c$ są afinicznie niezależne. {T}

$a,b,c$ są liniowo niezależne. {F}

Jeśli $X$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w ${\mathbb{ℝ}}^3$ i $a,b,c\in X$, to $(5,4,-1)\in X$. {T}

Jeśli $X$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w ${\mathbb{ℝ}}^3$ i $a,b,c\in X$, to$(-1,6,3)\in X$. {F}

T15.3. Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle X\colon = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 3x_1 +2x_2 - 4x_3 =1\}, \ k:= \{ (7+2t,2-t,3+t) ; t \in \mathbb{R} \}, \ l:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1 -x_2 - 3x_3 =-1, \ x_1 +3x_2 - x_3 =2\}} .

$l\parallel X$. {T}

$k\parallel X$. {T}

$k\perp l$. {F}

$k\parallel l$. {F}

T15.4. W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są: hiperpłaszczyzna afiniczna $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1-x_2+3x_3=2\}$ oraz punkty $a=(-2,1,4)$ i $b=(-5,4,-5)$.

Punkt $(5,-6,-3)$ jest rzutem prostopadłym punktu $a$ na $X$. {F}

Prosta przechodząca przez $a$ i $b$ jest prostopadła do $X$. {T}

Płaszczyzna $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;3x_1-x_2-x_3=7\}$ jest równoległa do $X$. {F}

Odległość punktu $(-3,2,1)$ od podprzestrzeni $X$ wynosi 2. {F}

T15.5. W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest płaszczyzna $X:=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1-x_2+2x_3-2=0\}$ oraz punkty $a=(1,3,2)$, $b=(5,3,0),c=(2,4,2)$ i $z=(-1,1,0)$.

vol\, $(a,b,c)=\sqrt{6}$. {T}

vol\, $(a,b,c,z)=\frac{4}{3}$. {T}

$a,b,c$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. {F}

$X$ jest najmniejszą (ze względu na inkluzję) podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ zawierającą punkty $a,b$ i $c$. {T}

T15.6. Nech $X,Y$ będą afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi o kierunkach $V$ i $W$ (odpowiednio), a $f:X\to Y$ niech będzie izometrią.

$f$ jest iniekcją. {T}

$\mathrm{\forall }v\in V$ odwzorowanie $g_v:X\ni x\to f(x+v)\in Y$ jest izometrią.{T}

$\mathrm{\forall }w\in W$ odwzorowanie $h_w:X\ni x\to f(x)+w\in Y$ jest izometrią.{T}

$\mathrm{\forall }{x}_0\in X$ odwzorowanie $\phi :V\ni v\to \overrightarrow{f(x_0)f(x_0+v)}\in V$ jest izometrią liniową. {T}