Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 14: Przestrzenie afiniczne II

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 14

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T14.1. Rozważamy przestrzeń afiniczną ${\mathbb{ℝ}}^3$ o kierunku ${\mathbb{ℝ}}^3$. Niech $A=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;2x_1+x_2-3x_3=5\}$, $B=\{(-1+t-2s,1+t+5s,1+t+s);t,s\in \mathbb{ℝ}\}$.

$A$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną w ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$. {F}

$A$ i $B$ są równoległe. {T}

$V_0:=\{(2t,t,-t);t\in \mathbb{ℝ}\}$ jest kierunkiem $A$. {F}

T14.2. Rozważamy przestrzeń afiniczną ${\mathbb{ℝ}}^3$ o kierunku ${\mathbb{ℝ}}^3$. Dane są zbiory Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 5x_1+3x_2+2x_3 =1 \}} , $L=\{(1+t,2-t,-1-t);t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$P$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$L$ jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$L$ jest równoległa do $P$. {T}

$L\subset P$. {F}

T14.3. Dany jest układ równań

$(U)\{\begin{array}{r}x+y-z=2\\ 2x-y+5z=3.\end{array}$

Zbiór rozwiązań układu $(U)$ jest pusty. {F}

Zbiór rozwiązań układu $(U)$ jest prostą afiniczną. {T}

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z $(U)$ jest prostą wektorową prostopadłą
do $lin\{(1,1,-3),(2,-1,5)\}$. {T}

Jeśli $(x,y,z)$ oraz $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ są rozwiązaniami układu$(U)$, to $(x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime })$ jest rozwiązaniem $(U)$. {F}

T14.4. Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych. Mamy dane dwa zbiory $A,B\subset V$, punkt $c\in V$ oraz liczbę $\lambda \in \mathbb{ℝ}$.

Jeżeli $A$ i$B$ są wypukłe, to $A+B:=\{a+b;a\in A,b\in B\}$ jest wypukły. {T}

Jeżeli $A$ jest wpukły, to $c+A:=\{c+a;a\in A\}$ jest wypukły. {T}

Jeżeli $A$ i$B$ są wypukłe, to $A\cup B$ jest wypukły. {F}

Jeżeli $A$ jest wpukły, to $\lambda A:=\{\lambda a;a\in A\}$ jest wypukły. {T}

T14.5. Niech $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_1$. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^n$ ze standardowym iloczynem skalarnym, który oznaczamy symbolem $<,>$. Niech $a\in {\mathbb{ℝ}}^n$ i niech $\alpha \in \mathbb{ℝ}$.

Zbiór $\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n;<x,a>\ge \alpha \}$ jest wypukły. {T}

Zbiór $\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n;<x,a>\ne \alpha \}$ jest wypukły. {F}

Zbiór $\{\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^n;<x,a>>\alpha \}$ jest wypukły. {T}

Zbiór $\{\mathbf{𝐱}=(x_1,...,x_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n;x_1\cdot ...\cdot x_n>0\}$ jest wypukły. {F}

T14.6. Niech $a,b,c\in \mathbb{ℝ}$ i niech

$f_{(a,b,c)}:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (a{x}_1^2+x_3+c,x_1+b{x}_1{x}_2+c{x}_3-7+b)\in {\mathbb{ℝ}}^2$

Dla dowolnych $a,b,c{f}_{(a,b,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {F}

Dla dowolnego $c{f}_{(0,0,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {T}

Dla dowolnych $b,c{f}_{(0,b,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {F}

Dla dowolnych $a,c{f}_{(a,0,c)}$ jest odwzorowaniem afinicznym. {F}