Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 13: Przestrzenie afiniczne I

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 13

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T13.1. Niech $X=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2;3x_1-x_2=5\}$, $V=\{(t,3t);t\in \mathbb{ℝ}\}$ i niech

$\omega :X\times X\ni ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\to (y_1-x_1,y_2-x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2,$ $\delta :X\times V\ni ((x_1,x_2),(v_1,v_2))\to (x_1+v_1,x_2+v_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

$\omega (X\times X)\subset V$.{T}

$\delta (X\times V)\subset X$.{T}

$(X,V,\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną. {T}

$\mathrm{\forall }(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in X{y}_2-x_2=3(y_1-x_1)$. {T}

T13.2. Niech $X=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;2x_1-x_3=1,x_1+x_2=2\}$ i niech

$\omega :X\times X\ni ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\to (y_1-x_1,y_2-x_2,y_3-x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3,$ $\delta :X\times \mathbb{ℝ}\ni ((x_1,x_2,x_3),t)\to (x_1+t,x_2-t,x_3+2t)\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

$(X,\mathbb{ℝ},\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną. {T}

$(0,0,0)\in X$. {F}

$\mathrm{\forall }\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲}\in X\mathbf{𝐱}+\mathbf{𝐲}\in X$. {F}

$\mathrm{\forall }\mathbf{𝐱}\in X\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{ℝ}\lambda \mathbf{𝐱}\in X$. {F}

T13.3. Niech $X=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;2x_1+3x_2-3x_3=1,x_1+x_2-2x_3=-1\}$, $V=\{(3t,-t,t);t\in \mathbb{ℝ}\}$ i niech

$\omega :X\times X\ni (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})\to \mathbf{𝐲}-\mathbf{𝐱}\in {\mathbb{ℝ}}^3,$ $\delta :X\times V\ni (\mathbf{𝐱},v)\to \mathbf{𝐱}+v\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

$X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $V$. {T}

$\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_2+x_3=1\}\subset X$.{F}

Każde trzy punkty $a,b,c\in X$ są afinicznie zależne. {T}

$\mathrm{\forall }\mathbf{𝐱}\in X\mathrm{\forall }v\in V\setminus \{\mathrm{\Theta }\}$ punkty $\mathbf{𝐱}$ oraz $\mathbf{𝐱}+v$ są afinicznie niezależne. {T}

T13.4. Niech $X$ będzie przestrzenią afiniczną o kierunku $V$ i niech $n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_1$.

Jeżeli $\dim V=n$, to każdy $n$-elementowy zbiór punktów przestrzeni $X$ jest afinicznie niezależny. {F}

Jeżeli $\dim V=n$, to istnieje $(n+1)$-elementowy zbiór punktów przestrzeni $X$, który jest afinicznie niezależny. {T}

Jeśli $v_1,v_2,...,v_n$ tworzą bazę $V$, to dla dowolnego $a\in A$ układ $(a;v_1,v_2,...,v_n)$ jest układem bazowym przestrzeni $X$. {T}

Jeżeli $\dim V\ge 2$, to istnieją liniowo zależne wektory $v,w\in V$ oraz punkt $x\in X$ takie, że punkty $x,x+v,x+w$ tworzą zbiór afinicznie niezależny. {F}

T13.5. Niech $X=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;4x_1+3x_2-x_3=3,\}$, $V=\{(\alpha ,\beta ,4\alpha +3\beta );\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}\}$ i niech

$\omega :X\times X\ni (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})\to \mathbf{𝐲}-\mathbf{𝐱}\in V,$ $d:X\times V\ni (\mathbf{𝐱},v)\to \mathbf{𝐱}+v\in X.$

Układ $((2,-1,2);(1,-1,1),(-3,3,-3))$ jest układem bazowym przestrzeni afinicznej $X$. {F}

Układ $((2,-1,2);(-2,2,-2),(1,1,7))$ jest układem bazowym przestrzeni afinicznej $X$. {T}

Dla dowolnych $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲}\in Xd(\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})\in lin\{(1,0,4),(0,1,3)\}$. {T}

Istnieją liczby $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ takie, że $(2+\alpha ,-3+\beta ,1+4\alpha +3\beta )\in X$. {F}

T13.6. Dana jest przestrzeń afiniczna $X$ o kierunku $V\ne \{\mathrm{\Theta }\}$ oraz punkt $x_0\in X$.

Odwzorowanie $X\ni x\to \overrightarrow{x_{0}x}\in V$ jest bijekcją. {T}

Odwzorowanie $V\ni v\to x_0+v\in X$ jest bijekcją. {T}

Odwzorowanie $X\times X\ni (x,y)\to \overrightarrow{xy}\in V$ jest iniekcją. {F}

Odwzorowanie $X\times V\ni (x,v)\to x+v\in X$ jest iniekcją. {F}