Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 12: Miara układu wektorów

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

         \newcounter{zestaw}

\setcounter{zestaw}{124}

TESTY 12

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T12.1. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(1,0,1),v=(-1,2,0),w=(-2,-1,2)$.

$w\perp u$. {T}

$w\perp v$. {T}

$w=v\times u$. {F}

$\parallel w\parallel =3$. {T}

T12.2. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(3,2,1),v=(-2,1,-1),w=(7,0,3)$.

$(u\times v)\perp w$. {T}

$G(v,u,w)>0$. {F}

$u,v,w$ są liniowo niezależne. {F}

$lin\{u\times v\}=lin\{u\times w\}$. {T}

T12.3. W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory $v=(1,2)$ i $w=(1,-1)$.

Pole trójkąta o wierzchołkach $(0,0),(1,2),(1,-1)$ wynosi $\frac{3}{2}$. {T}

$G(v,w)=9$. {T}

Dla dowolnego wektora $u\in {\mathbb{ℝ}}^{2}G(v,w,u)=0$. {T}

Dla dowolnego wektora $u\in {\mathbb{ℝ}}^{2}G(v,u)>0$. {F}

T12.4. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech $u=(2,1,0),v=(1,0,-1),w=(-1,2,1),z=(3,5,-1)$ i niech $U=lin\{u,v\}$.

$d(z,U)=6$. {F}

$z-w\in U$. {T}

$u,v,w$ są ortogonalne. {F}

$G(u,v,w)=6G(u,v)$. {T}

T12.5. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle u = (\frac {1}{3},\frac {2}{3},\frac {-2}{3}),\ v = (\frac {2}{3},\frac {1}{3},\frac {2}{3}),\ w=(\frac {-2}{3},\frac {2}{3},\frac {1}{3})} .

$u,v,w$ tworzą bazę ortonormalną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$G(u,v,w)=1$. {T}

$d(w,lin\{u,v\})=\frac{1}{3}$. {F}

$w=u\times v$. {F}

T12.6. Niech $V$ będzie wektorową przestrzenią euklidesową i niech $v_1,...,v_k\in V$.

Jeżeli $v_1,...,v_k$ są ortogonalne, to $G(v_1,...,v_k)=\parallel v_1\parallel ...\parallel v_k\parallel$. {T}

Jeżeli $v_1,...,v_k$ są ortonormalne, to $G(v_1,...,v_k)=1$. {T}

Jeżeli $G(v_1,...,v_k)=1$, to $v_1,...,v_k$ są ortonormalne. {F}

Jeżeli $G(v_1,...,v_k)\ne 0$, to $v_1,...,v_k$ są ortogonalne. {F}