Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 11: Formy kwadratowe

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw}

\setcounter{zestaw}{124}

TESTY 11

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T11.1. Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ będzie dana wzorem

$f(x_1,x_2,x_3)=5x_1{x}_2+3x_2{x}_3+x_1{x}_3.$

Niech ponadto

$\mathrm{\Phi }((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=3x_1{y}_2+2x_2{y}_1+3x_2{y}_3+y_1{x}_3$

i niech

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{5}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{5}{2}& 0& \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2}& 0\end{array}\right].$

$\mathrm{\Phi }$ indukuje $f$. {T}

$\mathrm{\Phi }$ jest skojarzone z $f$. {F}

rk\, $f=3$. {T}

$A$ jest macierzą $f$ przy bazie kanonicznej. {T}

T11.2. Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\mathbb{ℝ}$, niech $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }:V\times V\to \mathbb{ℝ}$ będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech $f:V\ni v\to \mathrm{\Phi }(v,v)\in \mathbb{ℝ}$.

Jeśli dla każdego $v\in V\mathrm{\Phi }(v,v)=\mathrm{\Psi }(v,v)$, to $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Psi }$. {F}

Jeśli $\mathrm{\Phi }$ i $\mathrm{\Psi }$ są symetryczne oraz dla każdego $v\in V\mathrm{\Phi }(v,v)=\mathrm{\Psi }(v,v)$, to $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Psi }$. {T}

Odwzorowanie $f$ jest formą kwadratową. {T}

Macierz $f$ w dowolnej bazie jest symetryczna. {T}

T11.3. Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to x_1^2-x_2^2-x_3^2\in \mathbb{ℝ}$.

rk\, $f=3$. {T}

Para (2,1) jest sygnaturą $f$. {F}

$f$ jest określona ujemnie. {F}

$f$ jest półokreślona dodatnio. {F}

T11.4. Dana jest forma kwadratowa $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to x_1^2+2x_2^2+4x_3^2+2x_1{x}_2-2x_2{x}_3\in \mathbb{ℝ}$.

$f$ jest zapisana w postaci kanonicznej. {F}

$f$ jest określona dodatnio. {T}

Para (3,0) jest sygnaturą $f$. {T}

Istnieje wektor $x\in {\mathbb{ℝ}}^3\setminus \{0\}$ taki, że $f(x)=0$. {F}

T11.5. Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x_1,x_2)\to x_1^2-x_1{x}_2\in \mathbb{ℝ}$, $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\to x_1{y}_1-\frac{1}{2}(x_1{y}_2+x_2{y}_1)\in \mathbb{ℝ}$. Niech ponadto

$A=\left[\begin{array}{rr}1& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right].$

$\mathrm{\Phi }$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z $f$. {T}

$A$ jest macierzą $f$ przy bazie kanonicznej. {T}

$B$ jest macierzą $f$ przy bazie $(1,0),(1,2)$. {T}

Para (1,1) jest sygnaturą $f$. {T}

T11.6. Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x_1,x_2,x_3)\to (3x_1-x_3,2x_2+x_3,-x_1+x_2+5x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ i niech $\cdot$ oznacza standardowy iloczyn skalarny w ${\mathbb{ℝ}}^3$.

$f$ jest symetryczne. {T}

Macierz $f$ w bazie kanonicznej jest diagonalna. {F}

Odzorowanie ${\mathbb{ℝ}}^3\ni x\to f(x)\cdot x\in \mathbb{ℝ}$ jest formą kwadratową. {T}

Odzorowanie ${\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\ni (x,y)\to f(x)\cdot y\in \mathbb{ℝ}$ jest dwuliniowe symetryczne. {T}