Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{zestaw} \setcounter{zestaw}{124}

TESTY 10

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T10.1. Niech $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\times {\mathbb{ℝ}}^3\ni ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\to x_1{y}_2+x_2{y}_1-3x_3{y}_3\in \mathbb{ℝ}.\phi$ jest dwuliniowe. {T}

$\phi$ jest symetrczne. {T}

$\phi$ jest iloczynem skalarnym. {F}

$\phi (x,x)=0⟺x=\mathrm{\Theta }$. {F}

T10.2. Rozważamy przestrzeń euklidesową $({\mathbb{ℝ}}^3,\phi )$, gdzie $\phi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=3x_1{y}_1+2x_2{y}_2+x_3{y}_3.(1,0,3)\perp (1,0,-1).$ {T}

$(0,1,-1)\perp (1,1,1).$ {F}

$\parallel (1,1,2)\parallel =3$. {T}

$\parallel (2,2,1)\parallel =3.$ {F}

T10.3. Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^2$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Dany jest endomorfizm $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to (x+2y,y-2x)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

$f$ jest izometrią. {F}

$\mathrm{\forall }u,v\in {\mathbb{ℝ}}^2(u\perp v⟹f(u)\perp f(v))$. {F}

$f(1,1)\perp f(-1,1)$. {T}

$\{v\in {\mathbb{ℝ}}^2;f(u)\perp u\}$ jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. {F}

T10.4. Rozważamy przestrzeń euklidesową ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym. Dane są wektory $u=(1,0,-1),v=(1,2,1)$ oraz $w=(2,-2,2)$.

Wektory $u,v,w$ są wzajemnie prostopadłe. {T}

Wektory $u,v,w$ stanowią bazę ortonormalną przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {F}

Wektory $u,v,w$ są liniowo niezależne. {T}

$w\perp lin\{u,v\}$. {T}

T10.5. W ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym rozważamy podprzestrzenie $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x_1+5x_2-2x_3=0\}$ i $V=\{(t,-5t,2t);t\in \mathbb{ℝ}\}$.

$V\perp U$. {F}

Istnieje wektor $u\in U\setminus \{\mathrm{\Theta }\}$ taki, że dla każdego $v\in Vu\perp v$. {T}

Dla każdego wektora $u\in Uu\perp (1,5,-2)$. {T}

$U^{\perp }\cap V^{\perp }$ jest jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {F}

T10.6. Niech

$A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

det\, $A=-1$. {F}

$A^{*}A=I$. {T}

$A$ jest macierzą pewnej izometrii $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazie kanonicznej. {T}

$A$ jest macierzą ortogonalną. {T}