Analiza matematyczna 2/Test 14: Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych

Równanie $\dot{x}-\sqrt{x}t=0$ jest równaniem

o zmiennych rozdzielonych Dobrze

Bernoullego Dobrze

liniowym Źle

Równanie $(\dot{x}{)}^2+x=t$ jest równaniem różniczkowym

rzędu pierwszego Dobrze

rzędu drugiego Źle

liniowym niejednorodnym Źle

Funkcja $x(t)=\cos t$ jest rozwiązaniem równania różniczkowego

$\ddot{x}+x=0$ Dobrze

$\dot{x}+x=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}-t)$ Dobrze

$(\dot{x}{)}^2+x^2=1$ Dobrze

Równanie charakterystyczne dla równania $x^{(4)}+2x=-t$

ma pierwiastek podwójny równy $-1$ Źle

ma cztery pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych równych $0$ Źle

ma cztery pierwiastki zespolone o niezerowych częściach rzeczywistych Dobrze

Rozwiązaniem ogólnym równania $\dot{x}-x=\cos t$

jest $x(t)=C{e}^{-t}-\cos t,$ gdzie $C$ jest stałą dowolną Źle

jest $x(t)=C{e}^t,$ gdzie $C$ jest stałą dowolną Źle

jest $x(t)=C{e}^t-0.5\cos t,$ gdzie $C$ jest stałą dowolną Źle

Rozwiązaniem równania $\sqrt{1-t^2}\dot{x}+\sqrt{1+x^2}=0$ jest funkcja $x(t)$ zadana równaniem

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x-\arcsin t=0$ Dobrze

$\ln |x+\sqrt{1+x^2}|=\arcsin t$ Dobrze

$\ln |x+\sqrt{1+x^2}|=\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|$ Źle

Dane jest równanie różniczkowe $x^{(n)}+a_1{x}^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}x=t^4$ mające $n$ różnych pierwiastków równania charakterystycznego. Rozwiązania szczególnego (metodą przewidywań) szukamy w postaci

$x(t)=a_1{t}^4+a_2{t}^3+a_3{t}^2+a_{4}t+a_5$ Źle

$x(t)=e^t(a_1{t}^4+a_2{t}^3+a_3{t}^2+a_{4}t+a_5)$ Źle

$x(t)=a_1{t}^5+a_2{t}^4+a_3{t}^3+a_4{t}^2+a_{5}t$ Dobrze

W rozwiązaniu ogólnym równania $\dot{x}-x=0$ bierzemy stałą $C$ tak, by rozwiązanie równania przechodziło przez punkt $(\ln 2,1).$ Ta stała jest równa

$-2$ Źle

$2$ Dobrze

$\frac{1}{2}$ Źle

Weźmy rozwiązanie ogólne równania $\ddot{x}+x=1$ ze stałymi dowolnymi $C_1$ i $C_2.$ Jeśli to rozwiązanie oraz jego pochodna przechodzą przez punkt $(\frac{\pi }{2},\pi ),$ to stałe $C_1$ i $C_2$ należą do zbioru

$\{\pi ,1\}$ Źle

$\{-\pi ,\pi -1\}$ Dobrze

$\{1-\pi ,\frac{\pi }{2}\}$ Źle