Analiza matematyczna 1/Test 4: Ciągi liczbowe

\newtheorem*{stre}{Streszczenie} \newtheorem*{wsk}{Wskazówka} \newtheorem*{rozw}{Rozwiązanie} \newtheorem*{textt}{} \newtheorem{thm}{Twierdzenie}[section] \newtheorem{stw}[thm]{Stwierdzenie} \newtheorem{lem}[thm]{Lemat} \newtheorem{uwa}[thm]{Uwaga} \newtheorem{exa}[thm]{Example} \newtheorem{dfn}[thm]{Definicja} \newtheorem{wn}[thm]{Wniosek} \newtheorem{prz}[thm]{Przykład} \newtheorem{zadan}[thm]{Zadanie}

\le{\leqslant} \ge{\geqslant}

Ciągi liczbowe. Test

\bzad

 Ciąg $\{(-1{)}^{n}n\}$ ma podciąg

 (a) rosnący

 (b) rozbieżny do $-\mathrm{\infty }$

 (c) który nie ma granicy

\ezad

 tak, tak, tak

\bzad

 Ciąg $\{a_n\}$ jest rozbieżny do
 $+\mathrm{\infty }.$ Wtedy ciąg $\{a_n+(-1{)}^n\}$ 

 (a) jest rozbieżny do $+\mathrm{\infty }$

 (b) jest zbieżny

 (c) posiada podciąg zbieżny

\ezad

 tak, nie, nie

\bzad

 Ciąg
 $\left\{\sqrt[n]{(-1{)}^n+2^n+3^n}\right\}$ 

 (a) jest zbieżny do $2$

 (b) jest zbieżny do $3$

 (c) jest rozbieżny

\ezad

 nie, tak, nie

\bzad

 Ciąg $\{a_n\}$  zmierza do pewnej liczby $a\ge 0.$
 Rozważmy ciąg $\{b_n\}$ dany przez  $b_n=n{a}_n.$ Ten ciąg

 (a) jest zawsze rozbieżny do $+\mathrm{\infty }$

 (b) może zmierzać do $a$

 (c) może mieć podciąg rozbieżny do $-\mathrm{\infty }$

\ezad

 nie, tak, tak

\bzad

 Granica ciągu
 $\left\{\frac{1}{\ln n}(\sin \frac{1}{n}+{\cos }^{}\frac{1}{n}-4)\right\}$

 (a) jest równa zero

 (b) jest równa $-2$

 (c) nie istnieje

\ezad

 tak, nie, nie

\bzad

 Jeśli ciąg $\{a_n\}$ zmierza do $+\mathrm{\infty }$ oraz $\{b_n\}$ jest
 ciągiem takim, że $b_n\ge n{a}_n$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ to 

 (a) ciąg $\{b_n\}$ jest rozbieżny do $+\mathrm{\infty }$

 (b) ciąg $\{b_n\}$ może być zbieżny 

 (c) dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ zachodzi $b_n\ge a_n$

\ezad

 tak, nie, nie