Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe

{article} \input{plzn.tex}

\setlength{\topmargin}{-30mm} \setlength{\textheight}{280mm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{170mm} \setlength{\parindent}{0mm}

TESTY 2

Test sprawdzający. Test z pytaniami rozstrzygnięcia typu TAK/NIE.

Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa. Za każde zadanie można uzyskać $0,5$ punktu (jeśli poprawnie zostaną wskazane trzy odpowiedzi), 1 punkt (jeśli poprawnie zostaną wskazane cztery odpowiedzi) lub $0$ punktów (w pozostałych przypadkach).

Oceny: 3p. - dst, 3,5p.- plus dst, 4p. - db, 4,5 p - plus db, co najmniej 5p. - bdb.

T2.1. W zbiorze ${\mathbb{ℝ}}^2$ okre\'slamy nast\e pujące działania:
$⊞:{\mathbb{ℝ}}^2\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\to (x_1+y_1,x_2+y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$,\
$\odot :\mathbb{ℝ}\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni (\alpha ,(x_1,x_2))\to (\alpha x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$.

$\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^{2}2\odot (x_1,x_2)=(x_1,x_2)⊞(x_1,x_2)$.{F}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ (\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2)))} .{T}

$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2\alpha ((x_1,x_2)⊞(y_1,y_2))=\alpha \odot (x_1,x_2)⊞\alpha \odot (y_1,y_2)$.{T}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ (\alpha +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (x_1,x_2) } .{F} \smallskip

T2.2. Niech $U=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ i niech $w=(1,0,1)$.

$U$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$(3,0,-1)\in U$.{T}

$\mathrm{\forall }u\in Uu+w\notin U$. {T}

$\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}(\alpha w\in U⟹\alpha =0)$. {T} \smallskip

T2.3. Niech $u=(2,1,0),v=(1,-1,1)$ i niech $U=\{\alpha u+\beta v:\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}\}$.

$(1,1,1)\in U$. {F}

$(4,-1,2)\in U$. {T}

$\mathrm{\forall }x,y\in Ux+y\in U$. {T}

$\mathrm{\forall }x\in U\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{ℝ}\alpha x\in U$. {T} \smallskip

T2.4. Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}} .

$U\cap W=\{\mathrm{\Theta }\}$. {T}

${\mathbb{ℝ}}^3=U\oplus W$. {T}

$U\cup W={\mathbb{ℝ}}^3$. {F}

$U+W={\mathbb{ℝ}}^3$. {T} \smallskip

T2.5. Niech Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\}, \ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_2 +x_3 =0 \}, Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}} .

$U\cap W=\{\mathrm{\Theta }\}$. {F}

$U+W={\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

$U\cup W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {F}

$Z\cup W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. {T}

T2.6. Niech $V={\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}},U=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}f(x)=f(-x)\},W=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}f(x)=-f(-x)\},Q=\{f\in {\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{ℝ}}:f$ jest

wielomianem stopnia parzystego $\}$.

$Q$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. {F}

$U$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. {T}

$W$ jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni $V$. {T}

$V=U\oplus W$. {T}