Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 1: Grupy i ciała

Niech $(G,*)$ będzie dowolną grupą, niech $a,b,c\in G$ i niech $e$ będzie elementem neutralnym w $G$.

$a$ jest elementem odwrotnym do $e⟹a=e$. Dobrze

$b,c$ są elementami odwrotnymi do $a⟹b=c$. Dobrze

$ab=ac⟹b=c$. Dobrze

$ab=ca⟹b=c$. Źle

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Int”): {\displaystyle \displaystyle P = \{ 2k \ : \ k\in \Int \} } i niech $+$ oraz $\cdot$ oznaczają zwykłe działania dodawania i mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.

(P,+) jest grupą. Dobrze

$\cdot$ jest działaniem wenętrznym w $P$. Dobrze

$(P,\cdot )$ jest grupą. Źle

Odwzorowanie $P\ni x\to 2x\in P$ jest bijekcją. Źle

W zbiorze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Real”): {\displaystyle \displaystyle X := \Real \setminus \{-1 \}} definiujemy działanie $*$ :

$x*y=x+y+xy.$

Działanie $*$ jest łączne. Dobrze

$0$ jest elementem neutralnym względem działania $*$. Dobrze

Jeśli $x\in X$, to $\frac{-x}{1+x}\in X$. Dobrze

Liczba $\frac{-x}{1+x}\in X$ jest elementem odwrotnym do $x$ w $(X,*)$. Dobrze

Niech $z=1-\mathbf{𝐢}$

$z^2$ jest liczbą rzeczywistą. Źle

$z^4$ jest liczbą rzeczywistą. Dobrze

$z^4$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Źle

$z$ jest pierwiastkiem równania $z^2-(4+\mathbf{𝐢})z+3+3\mathbf{𝐢}=0$. Źle

Niech <math>\displaystyle f : \Complex \ni z \to \bar z \in \Complex </math>, gdzie <math>\displaystyle \bar z = \overline{x+y\mathbf{i}} = x - y\mathbf{i}</math>, i niech <math>\displaystyle I_{\Complex}</math> oznacza identyczność na <math>\displaystyle \Complex</math>. Niech $f:\mathbb{ℂ}\ni z\to \overline{z}\in \mathbb{ℂ}$, gdzie $\overline{z}=\overline{x+y\mathbf{𝐢}}=x-y\mathbf{𝐢}$, i niech $I_{\mathbb{ℂ}}$ oznacza identyczność na $\mathbb{ℂ}$.

$f\circ f=I_{\mathbb{ℂ}}$. Dobrze

$\mathrm{\forall }z\in \mathbb{ℂ}\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{ℂ}f(\lambda z)=\lambda f(z)$. Źle

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Real”): {\displaystyle \displaystyle \forall z \in \Complex \ \forall \alpha \in \Real \ \ f( \alpha z ) = \alpha f(z )} . Dobrze

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{ℂ}(a{z}^2+bz+c=0⟹{\overline{z}}^2+b\overline{z}+c=0)$. Źle

Niech $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{𝐢}$ i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Nat”): {\displaystyle \displaystyle H:= \{ z^n \ : \ n \in \Nat \}} .

$H$ ma nieskończenie wiele różnych elementów. Źle

$H$ ma 6 różnych elementów. Dobrze

$\mathrm{\forall }a,b\in Hab\in H$. Dobrze

$\mathrm{\forall }a,b\in Ha+b\in H$. Źle