Test GR3

--- przykładowo jak zrobić pierwsze pytanie z pierwszego modułu ---

Dowolna kategoria składa się ze zbioru obiektów i zbioru morfizmów, które spełniają odpowiednie aksjomaty dotyczące złożenia, identyczności, dziedzin i kodziedzin morfizmów.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Poniższe zdania twierdzące mogą być albo prawdziwe (oznaczone jako "+"), albo fałszywe (oznaczane "-"). Zbiór wszystkich pytań podzielono na 15 części, odpowiadających kolejnym modułom.

Pyt.1

<option>Prawda</option> <option>Fałsz</option> </quiz>

----------------------------------------------------

Pyt.2

---

Pyt.3

---

Pyt.4

Zbiory skończone i funkcje tworzą kategorię kartezjańsko zamkniętą.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Przestrzenie topologiczne i funkcje ciągłe tworzą kategorię kartezjańsko zamkniętą.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Lambda rachunek (z dodanym elementem końcowym) jest kategorią kartezjańsko zamkniętą.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Algebry Boole'a jako kategorie są kozupełne.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Algebry Boole'a są dystrybutywne.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Algebry Heytinga jako kategorie są kartezjańsko zamknięte.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Grupy abelowe i homomorfizmy grup są kartezjańsko zamknięte.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Kategorie dyskretne są kartezjańsko zamknięte.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Algebra Heytinga jest algebrą Boole'a wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element posiada element przeciwny.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Dla dowolnej topologii krata zbiorów otwartych jest algebrą Heytinga.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Dla dowolnej topologii krata zbiorów otwartych jest algebrą Boole'a.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Zbiory otwarte, regularne w dowolnej topologii tworzą algebrę Boole'a.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem podzbiorów pewnego zbioru.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Monomorfizmy o wspólnej kodziedzinie uporządkujmy relacją "faktoryzacji", tj. $f\le g$ wtw, gdy istnieje $h$ tak, że $g\circ h=f$. Zdefiniujmy relację równoważności $R$ między monomorfizmami o wspólnej kodziedzinie jako: $f\equiv g$ wtw, gdy $f\le g$ i $g\le f$. Uporządkujmy zbiór klas abstrakcji tej relacji jako: $[f]⊑[g]$ wtw, gdy $f\le g$. Czy ten częściowy porządek jest algebrą Heytinga?

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kategoria funkcji między zbiorami ${\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}^{\to }$ jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kategoria porządków liniowych i funkcji monotonicznych jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

W kategorii kartezjańsko zamkniętej $\mathbf{𝐂}$ funktor podnoszenia do potęgi $[A,-]$ zachowuje koprodukty (tutaj $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$).

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

W kategorii kartezjańsko zamkniętej $\mathbf{𝐂}$ funktor podnoszenia do potęgi $[A,-]$ zachowuje obiekt końcowy (tutaj $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$).

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

---

Pyt.5

Funktory tego samego typu wraz z ich transformacjami naturalnymi tworzą kategorię.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$ jest konkretna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\mathbf{𝐑}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐥}$ jest konkretna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ zachowuje koprodukty.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ zachowuje obiekt końcowy.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ zachowuje obiekt początkowy.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor zapominania $\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest pełny.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Kontrawariantny funktor potęgowy jest pełny.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda rama jest algebrą Heytinga.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Operacja przypisująca danej przestrzeni topologicznej jej zbiory otwarte może być rozszerzona do funktora kontrawariantnego.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kontrawariantny funktor potęgowy jest zawsze wierny.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Transformacja naturalna dwóch funktorów, której komponentami są izomorfizmy jest izomorfizmem w pewnej kategorii funktorów.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieją dwa funktory, których złożenie jest transformacją identycznościową w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$, ale które nie są izomorficzne.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Operacja, która przestrzeni wektorowej $V$ przypisuje jej przestrzeń podwójnie dualną $V^{**}$ jest naturalnym izomorfizmem.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Operacja, która przestrzeni wektorowej $V$ przypisuje jej przestrzeń podwójnie dualną $V^{**}$ jest naturalnym izomorfizmem, o ile $V$ jest skończenie wymiarowa.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kowariantny homfunktor zachowuje produkty dowolnej mocy.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Dla dowolonych zbiorów $X,Y$ istnieje następująca bijekcja:
${𝒫}(X\times Y)\cong {𝒫}(X)\times {𝒫}(Y)$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Operacja $F:\mathbf{𝐂}\times \mathbf{𝐃}\to \mathbf{𝐄}$ jest bifunktorem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych obiektów $C\in {\mathbf{𝐂}}_0$, $D\in {\mathbf{𝐃}}_0$ operacje $F(C,-):\mathbf{𝐃}\to \mathbf{𝐄}$ oraz $F(-,D):\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐄}$ są funktorami.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Inkluzja $\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ zachowuje eksponenty.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

---

Pyt.6

-

Każde dwie równoważne kategorie są izomorficzne.

Prawda

Fałsz

+

Każde dwie izomorficzne kategorie są równoważne.

Prawda

Fałsz

-

Każde dwie dualne kategorie są izomorficzne.

Prawda

Fałsz

-

Funktor jest równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy jest

pełny i wierny.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli preporządek jest równoważny porządkowi, to jest

porządkiem.

Prawda

Fałsz

+

Istnieją dwa preporządki równoważne, które nie są

izomorficzne.

Prawda

Fałsz

+

Kategoria zbiorów i funkcji jest dualna do kategorii

zupełnych algebr Boole'a i homomorfizmów.

Prawda

Fałsz

-

Kategoria zbiorów skończonych i funkcji jest dualna do kategorii

algebr Boole'a.

Prawda

Fałsz

-

Każda atomowa algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem

podzbiorów pewnego zbioru.

Prawda

Fałsz

-

Każda zupełna algebra Boole'a jest izomorficzna ze

zbiorem podzbiorów pewnego zbioru.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli algebra Boole'a jest izomorficzna ze zbiorem

podzbiorów pewnego zbioru, to jest zupełna.

Prawda

Fałsz

-

Każda zupełna algebra Boole'a jest atomowa.

Prawda

Fałsz

+

Każda skończona algebra Boole'a jest zupełna.

Prawda

Fałsz

-

Każda atomowa algebra Boole'a jest skończona.

Prawda

Fałsz

+

Każda skończona algebra Boole'a jest atomowa.

Prawda

Fałsz

+

Każda rama jest kratą dystrybutywną.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli $L$ jest kratą dystrybutywną, to $L^{op}$ też.

Prawda

Fałsz

+

W dowolnej kracie $L$ dopełnienie filtra pierwszego jest

ideałem.

Prawda

Fałsz

+

Każdy ultrafiltr w algebrze Boole'a jest pierwszy.

Prawda

Fałsz

-

Każdy filtr pierwszy w kracie dystrybutywnej jest

ultrafiltrem.

Prawda

Fałsz

+

Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni

topologicznej jest filtrem właściwym.

Prawda

Fałsz

+

Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni

topologicznej jest filtrem zupełnie pierwszym.

Prawda

Fałsz

+

Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu w przestrzeni

topologicznej jest filtrem pierwszym.

Prawda

Fałsz

-

W dowolnej kracie $L$, jeśli $F$ jest filtrem, zaś $I$

ideałem, oraz $F\cap I=\mathrm{\varnothing }$, wtedy istnieje filtr pierwszy $F^{\prime }$ taki, że $F^{\prime }\supseteq F$ i $F^{\prime }\cap I=\mathrm{\varnothing }$.

Prawda

Fałsz

+

W kratach dystrybutywnych ultrafiltry są pierwsze.

Prawda

Fałsz

-

W kratach dystrybutywnych filtry pierwsze są maksymalne.

Prawda

Fałsz

+

Każda przestrzeń realna jest $T_0$.

Prawda

Fałsz

-

Każda przestrzeń $T_0$ jest realna.

Prawda

Fałsz

-

Każda przestrzeń $T_1$ jest realna.

Prawda

Fałsz

-

Przestrzenie realne są przestrzeniami Hausdorffa.

Prawda

Fałsz

+

Dziedziny ciągłe w topologii Scotta są realne.

Prawda

Fałsz

+

W porządku specjalizacji przestrzeni realnej istnieją

suprema wszystkich zbiorów skierowanych.

Prawda

Fałsz

-

Funktor $\mathrm{\Omega }:\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to {\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}$

jest prawym sprzężeniem do funktora $\mathrm{p}\mathrm{t}:{\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}\to \mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$.

Prawda

Fałsz

+

Dla dowolnej topologii $X$ przestrzeń

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest przestrzenią $T_0$.

Prawda

Fałsz

+

Dla dowolnej topologii realnej $X$ przestrzeń

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest homeomorficzna z $X$.

Prawda

Fałsz

-

Dla dowolnej topologii $X$ przestrzeń

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest przestrzenią Hausdorffa.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli krata $L$ jest przestrzenną ramą, to topologia

$\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ jest realna.

Pyt.7

Prawda

Fałsz

+

Dla dowolnej kategorii $\mathbf{𝐂}$ kategoria

$[{\mathbf{𝐂}}^{op},\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}]$ jest kartezjańsko zamknięta, zupełna i kozupełna.

Prawda

Fałsz

+

Funktor Yonedy zachowuje izomorfizmy.

Prawda

Fałsz

+

Funktor Yonedy odzwierciedla retrakcje.

Prawda

Fałsz

+

Funktor Yonedy jest reprezentowalny.

Prawda

Fałsz

-

Każde dwa funktory reprezentowalne są izomorficzne.

Prawda

Fałsz

+

Kontrawariantny funktor potęgowy jest reprezentowalny.

Prawda

Fałsz

-

Para $(\mathbb{\mathbb{N}},+),0)$ jest reprezentacją funktora

zapominania $U:\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

+

Każde dwie reprezentacje funktora $F:{\mathbf{𝐂}}^{op}$ (gdzie $\mathbf{𝐂}$ jest dowolną lokalnie małą

kategorią) są izomorficzne.

Prawda

Fałsz

-

Każdy funktor typu ${\mathbf{𝐂}}^{op}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ dla

lokalnie małej kategorii $\mathbf{𝐂}$ jest reprezentowalny.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli ${𝒴}(A)(X)\cong {𝒴}(A)(Y)$, to

$X\cong Y$ dla dowolnych obiektów $X,Y$ lokalnie małej kategorii $\mathbf{𝐂}$.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli ${𝒴}(X)(A)\cong {𝒴}(Y)(A)$, to

$X\cong Y$ dla dowolnych obiektów $X,Y$ lokalnie małej kategorii $\mathbf{𝐂}$.

Pyt.8

Prawda

Fałsz

+

Obiekt końcowy jest stożkiem nad pustym diagramem.

Prawda

Fałsz

+

Obiekt końcowy jest granicą pustego diagramu.

Prawda

Fałsz

-

Obiekt początkowy jest granicą pustego diagramu.

Prawda

Fałsz

+

Dowolny diagram w kategorii zupełniej $\mathbf{𝐂}$

posiada granicę.

Prawda

Fałsz

+

Istnieje kategoria kozupełna $\mathbf{𝐂}$, w której nie ma

obiektu końcowego.

Prawda

Fałsz

+

Produkt jest granicą diagramu nad kategorią dyskretną

(tzn. produkt w $\mathbf{𝐂}$ jest granicą funktora $\mathbf{𝐉}\to \mathbf{𝐂}$, gdzie $\mathbf{𝐉}$ jest kategorią dyskretną.

Prawda

Fałsz

+

Istnieje kategoria, w której koprodukt w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

produktem.

Prawda

Fałsz

-

Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest

kategoria, w której są dokładnie $2$ strzałki.

Prawda

Fałsz

+

Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest

kategoria, w której są dokładnie $4$ strzałki.

Prawda

Fałsz

+

Ekwalizator jest granicą diagramu, którego dziedziną jest

kategoria, w której są dokładnie $2$ strzałki równoległe.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli w danej kategorii istnieją wszystkie pulbaki i co

najmniej jeden obiekt końcowy, to w tej kategorii istnieją wszystkie granice.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli w danej kategorii istnieją wszystkie pulbaki i co

najmniej jeden obiekt końcowy, to w tej kategorii istnieją wszystkie granice skończone.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli w posecie $(P,\le )$ istnieją wszystkie granice, to

poset dualny $(P,\ge )$ jest kratą zupełną.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli w posecie $(P,\le )$ istnieją wszystkie granice, to

poset dualny $(P,\ge )$ jest algebrą Heytinga.

Prawda

Fałsz

+

Każda mała kozupełna kategoria jest preporządkiem.

Prawda

Fałsz

+

Każda mała zupełna kategoria jest preporządkiem.

Prawda

Fałsz

-

Każda lokalnie mała kozupełna kategoria jest preporządkiem.

Prawda

Fałsz

-

Każda lokalnie mała zupełna kategoria jest preporządkiem.

Prawda

Fałsz

-

Kategoria zbiorów skończonych i funkcji jest zupełna.

Prawda

Fałsz

+

Kategoria $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest zupełna.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli kategoria $\mathbf{𝐂}$ posiada pulbaki i obiekt

końcowy, to posiada też produkty.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli kategoria $\mathbf{𝐂}$ posiada pulbaki i obiekt

końcowy, to posiada też koprodukty.

Prawda

Fałsz

+

Funktor Yonedy jest ciągły.

Prawda

Fałsz

-

Funktor Yonedy zachowuje dowolne kogranice.

Pyt.9

Prawda

Fałsz

+

Funktor podnoszenia do potęgi $[X,-]:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐂}$, $X\in {\mathbf{𝐂}}_0$ w kartezjańsko

zamkniętej kategorii $\mathbf{𝐂}$ jest prawym sprzężeniem.

Prawda

Fałsz

+

Istnieją funktory posiadające zarówno lewe, jak i prawe

sprzężenia.

Prawda

Fałsz

-

Funktor, który posiada lewe sprzężenie nie może posiadać

prawego sprzężenia.

Prawda

Fałsz

-

Funktory zapominania zawsze posiadają lewe sprzężenie.

Prawda

Fałsz

-

Funktory wolne są prawym sprzężeniem do funktorów

zapominania.

Prawda

Fałsz

+

Funktor $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$

jest funktorem wolnym.

Prawda

Fałsz

-

Nie istnieje lewe sprzężenie funktora zapominania

$\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

-

Operacja przeciwobrazu funkcji jest lewym sprzężeniem operacji

obrazu funkcji.

Prawda

Fałsz

+

Koprodukt jest lewym sprzężeniem lewego sprzężenia

produktu.

Prawda

Fałsz

-

Każdy funktor będący lewym sprzężeniem jest wierny.

Prawda

Fałsz

-

Operacja brania wnętrza zbioru w przestrzeni

topologicznej $X$ jest lewym sprzężeniem inkluzji zbiorów otwartych w podzbiory $X$.

Pyt.10

Prawda

Fałsz

+

Jeśli funktor jest równoważnością kategorii, to posiada

lewe i prawe sprzężenie.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli każdy komponent kojedności sprzężenia jest

retrakcją, to prawe sprzężenie jest funktorem wiernym.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli każdy komponent kojedności sprzężenia jest

epimorfizmem, to prawe sprzężenie jest funktorem pełnym.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli prawe sprzężenie jest funktorem pełnym i wiernym, to

kojedność sprzężenia jest izomorfizmem.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli prawe sprzężenie jest funktorem pełnym i wiernym, to

jedność sprzężenia jest izomorfizmem.

Prawda

Fałsz

+

Prawe sprzężenia zachowują granice, zaś lewe - kogranice.

Prawda

Fałsz

-

Lewe sprzężenia zachowują granice, zaś prawe - kogranice.

Prawda

Fałsz

+

Istnieją prawe sprzężenia, które zachowują kogranice oraz

lewe sprzężenia, które zachowują granice.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli funktor zachowuje granice, to ma lewe sprzężenie.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli funktor między posetami zachowuje granice, to ma

lewe sprzężenie.

Prawda

Fałsz

+

Każda funkcja monotoniczna między kratami zupełnymi, posiadająca lewe

sprzężenie, zachowuje dowolne infima.

Prawda

Fałsz

+

Prawe sprzężenie między posetami jest surjekcją wtedy i

tylko wtedy, gdy jego lewe sprzężenie jest injekcją.

Prawda

Fałsz

-

Prawe sprzężenie między posetami jest injekcją wtedy i

tylko wtedy, gdy jego lewe sprzężenie jest surjekcją.

Prawda

Fałsz

+

Każde dwa prawe sprzężenia danego funktora są

izomorficzne.

Prawda

Fałsz

+

Każdy homomorfizm krat zupełnych posiada lewe i prawe

sprzężenie.

Prawda

Fałsz

-

Każdy homomorfizm ram posiada lewe i prawe sprzężenie.

Prawda

Fałsz

-

Każdy homomorfizm algebr Boole'a posiada lewe i prawe

sprzężenie.

Prawda

Fałsz

+

Każdy homomorfizm zupełnych algebr Boole'a posiada prawe

i lewe sprzężenie.

Prawda

Fałsz

-

W parze e-p między posetami, projekcja jest lewym

sprzężeniem zanurzenia.

Prawda

Fałsz

+

W parze e-p między posetami, zanurzenie zachowuje dowolne

suprema.

Prawda

Fałsz

+

W parze e-p między posetami, zanurzenie i projekcja

wzajemnie się wyznaczają.

Pyt.11

Prawda

Fałsz

+

Każde sprzężenie $F⊣G$ indukuje monadę

$(GF,\eta ,G{\eta }_F)$.

Prawda

Fałsz

+

Każde sprzężenie $F⊣G$ indukuje komonadę

$(FG,\epsilon ,F{\eta }_G)$.

Prawda

Fałsz

-

Dowolna monada jest monadą indukowaną przez dokładnie

jedno sprzężenie.

Prawda

Fałsz

+

Dowolna monada jest monadą indukowaną przez sprzężenie.

Prawda

Fałsz

+

Każda monada na preporządku jest operacją idempotentną.

Prawda

Fałsz

-

Funktor zapominania $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

częścią sprzężenia, którego algebry monady indukowanej tworzą kategorię równoważną z $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

+

Funktor zapominania $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest

częścią sprzężenia, którego algebry monady indukowanej tworzą kategorię równoważną z $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$.

Prawda

Fałsz

+

Zwarte przestrzenie Hausdorffa i funkcje ciągłę tworzą kategorię algebraiczną.

Prawda

Fałsz

-

Zupełne algebry Boole'a i homomorfizmy tych algebr tworzą

kategorię algebraiczną.

Prawda

Fałsz

+

Kategoria grup jest równoważna kategorii algebr dla

pewnej monady.

Prawda

Fałsz

+

Suma mnogościowa $\bigcup$ jest mnożeniem pewnej monady.

Prawda

Fałsz

+

Operacja dodawania nowego elementu najmniejszego do

częściowego porządku indukuje monadę nad $\mathbf{𝐏}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐬}$.

Pyt.12

Prawda

Fałsz

-

Każda dziedzina ciągła posiada bazę przeliczalną.

Prawda

Fałsz

-

Każdy element bazy dziedziny ciągłej jest zwarty.

Prawda

Fałsz

+

Każda baza posetu algebraicznego zawiera wszystkie

elementy zwarte.

Prawda

Fałsz

+

Każdy poset skończony jest algebraiczny.

Prawda

Fałsz

+

Każdy poset skończony jest dcpo.

Prawda

Fałsz

+

Każda krata skończona jest dcpo.

Prawda

Fałsz

-

Relacja aproksymacji na dowolnym posecie jest

interpolatywna.

Prawda

Fałsz

+

Relacja aproksymacji na dowolnej dziedzinie Scotta jest

interpolatywna.

Prawda

Fałsz

-

Liczby naturalne są dcpo.

Prawda

Fałsz

+

Liczby naturalne są posetem algebraicznym i bc-zupełnym.

Prawda

Fałsz

+

Każda rama jest dcpo.

Prawda

Fałsz

-

Każda krata dystrybutywna jest dcpo.

Prawda

Fałsz

+

Istnieje poset nieskończony, którego każdy element, który

nie jest maksymalny, jest zwarty.

Prawda

Fałsz

-

Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie są domknięte ze względu

na dowolne suprema.

Prawda

Fałsz

+

Zbiory domknięte w sensie Scotta na dowolnym posecie skończonym są domknięte ze względu

na dowolne suprema.

Prawda

Fałsz

+

Stożki górne w posecie $P$ (tj. zbiory typu $\uparrow x$ dla $x\in P$) są zwarte w topologii Scotta.

Prawda

Fałsz

+

Każdy stożek dolny $\downarrow x$ w dziedzinie ciągłej $P$ wraz z

porządkiem z $P$ obciętym do $\downarrow x$ jest dziedziną ciągłą.

Prawda

Fałsz

+

Topologia Scotta na dowolnym porządku jest $T_0$.

Prawda

Fałsz

+

Istnieją częściowe porządki dowolnej mocy, dla których

topologia Scotta jest $T_1$.

Prawda

Fałsz

+

Topologia Scotta na porządku jest $T_1$ wtedy i tylko

wtedy, gdy częściowy porządek redukuje się do równości.

Prawda

Fałsz

+

Topologia Scotta na posecie posiadającym element

najmniejszy jest zwarta.

Prawda

Fałsz

+

Topologia Scotta na dowolnej dziedzinie ciągłej jest

realna.

Prawda

Fałsz

-

Topologia Scotta na dowolnym dcpo jest realna.

Prawda

Fałsz

+

Funkcja ciągła w sensie Scotta jest monotoniczna.

Prawda

Fałsz

-

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dowolnym posecie posiada punkt stały.

Prawda

Fałsz

-

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na posecie

posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.

Prawda

Fałsz

+

Każda funkcja ciągła w sensie Scotta na dcpo

posiadającym element najmniejszy posiada najmniejszy punkt stały.

Prawda

Fałsz

+

Każda funkcja monotoniczna na dcpo

posiadającym element najmniejszy posiada punkt stały.

Prawda

Fałsz

+

Porządek specjalizacji topologii Scotta na dziedzinie

ciągłej pokrywa się z porządkiem tejże dziedziny.

Prawda

Fałsz

+

Funkcje ciągłe w sensie Scotta zachowują suprema zbiorów

skierowanych.

Pyt.13

Prawda

Fałsz

-

LISP jest językiem imperatywnym.

Prawda

Fałsz

+

FORTRAN jest językiem imperatywnym.

Prawda

Fałsz

+

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest kategorią zupełną i kartezjańsko

zamkniętą.

Prawda

Fałsz

-

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest zupełna.

Prawda

Fałsz

-

Kategoria dziedzin ciągłych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda

Fałsz

-

Kategoria dziedzin algebraicznych i funkcji ciągłych w sensie

Scotta jest kartezjańsko zamknięta.

Prawda

Fałsz

-

Jeśli $D$ jest dziedziną ciągłą i $E$ jest dziedziną

bc-zupełną, to $[D,E]$ jest dziedziną bc-zupełną.

Prawda

Fałsz

+

Jeśli $D$ jest dziedziną ciągłą i $E$ jest dziedziną

bc-zupełną, to $[D,E]$ jest dcpo.

Prawda

Fałsz

+

Operator $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}:[P,P]\to P$ przypisujący

funkcji ciągłej w sensie Scotta na dcpo posiadającym element najmniejszy jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.

Prawda

Fałsz

+

Operator $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}:[P,P]\to P$ przypisujący

funkcji ciągłej w sensie Scotta na dowolnej kracie zupełnej jej punkt stały jest ciągły w sensie Scotta.

Prawda

Fałsz

+

Pętle $\mathtt{w}\mathtt{h}\mathtt{i}\mathtt{l}\mathtt{e}$ w semantyce denotacyjnej

modelujemy używając operatora punktu stałego.

Pyt.14

Prawda

Fałsz

+

${\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}}_{\mathrm{\perp }}^{EP}$ jest $\omega$-kategorią.

Prawda

Fałsz

+

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest $\omega$-kategorią.

Prawda

Fałsz

+

$\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest $\omega$-kategorią.

Prawda

Fałsz

-

Funktor między kategoriami dziedzin jest ciągły, jeśli

jest funkcją ciągłą w sensie Scotta.

Prawda

Fałsz

-

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ równanie $D\cong [D,D]$ dla $D\in {\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}_0$ nie ma żadnego

rozwiązania.

Prawda

Fałsz

+

W $\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{o}$ istnieje nieskończenie wiele rozwiązań

równania $D\cong [D,D]$.

Prawda

Fałsz

-

Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu $D\cong [D,D]$

mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce operacyjnej nietypowanego rachunku lambda.

Prawda

Fałsz

+

Istnienie kategorii, w której rekursywne równania typu $D\cong [D,D]$

mają rozwiązania, jest wykorzystywane w semantyce denotacyjnej nietypowanego rachunku lambda.

Prawda

Fałsz

+

Przekątna $\mathrm{\Delta }:\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}\to \mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}\times \mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest funktorem

ciągłym i lokalnie ciągłym.

Prawda

Fałsz

+

$\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ jest kategorią zupełną i kozupełną.

Prawda

Fałsz

-

Każdy endomorfizm w $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$ posiada najmniejszy

punkt stały.

Prawda

Fałsz

-

Dowolny endofunktor na $\omega$-kategorii posiada punkt

stały.

Prawda

Fałsz

+

Każdy ciągłe endofunktor na $\omega$-kategorii posiada

punkt stały.

Prawda

Fałsz

-

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ istnieją nietrywialne rozwiązania

rówania $X\cong X+X$.

Prawda

Fałsz

-

Liczby naturalne $\omega$ są rozwiązaniem równania

$X\cong \mathbf{𝟏}\oplus X$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda

Fałsz

-

Liczby naturalne $\omega$ są rozwiązaniem równania

$X\cong X_{\mathrm{\perp }}$ w katetgorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda

Fałsz

-

Leniwe liczby naturalne są rozwiązaniem równania $X\cong X\oplus X$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda

Fałsz

+

Podzbiory liczb naturanych ${𝒫}\omega$

uporządkowane względem inkluzji spełniają rówanie ${𝒫}\omega \cong [{𝒫}\omega ,{𝒫}\omega ]$ w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Prawda

Fałsz

+

Model zbioru Cantora ${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}$ jest rozwiązaniem

pewnego rekursywnego równania w kategorii $\mathbf{𝐃}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐩}\mathbf{𝐨}$.

Pyt.15

Prawda

Fałsz

-

Koalgebrą funktora $T:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$

jest każda para $(X,a:TX\to X)$.

Prawda

Fałsz

+

Algebry początkowe endofunktorów w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ są

jedyne z dokładnością do izomrfizmu.

Prawda

Fałsz

+

Istnieje kategoria, w której para

$(\mathbb{\mathbb{N}},[0,s]:\mathbf{𝟏}+\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}})$ jest obiektem końcowym.

Prawda

Fałsz

+

Nieskończone listy nad alfabetem $A$ są koalgebrą końcową

pewnego endofunktora na $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

-

Nieskończone listy nad alfabetem $A$ są koalgebrą

początkową pewnego endofunktora na $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

-

Każda bisymulacja jest bipodobieństwem, ale nie

odwrotnie.

Prawda

Fałsz

-

Dwie nieskończone listy będące w relacji bisymulacji

muszą być sobie równe.

Prawda

Fałsz

+

Dwie bipodobne nieskończone listy są sobie równe.

Prawda

Fałsz

-

Istnieje bipodobieństwo, które nie jest bisymulacją.

Prawda

Fałsz

+

Koindukcja jest metodą dowodzenia własności list

nieskończonych.

Prawda

Fałsz

-

Metoda dowodzenia przez koindukcję opiera się na

własności uniwersalnej algebr początkowych endofunktorów w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

-

Relacja odwrotna do bisymulacji jest bipodobieństwem.

Prawda

Fałsz

-

$T$-koalgebry dla ustalonego funktora $T:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ wraz z homomorfizmami

tworzą kategorię małą.

Prawda

Fałsz

-

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest

bipodobieństwem.

Prawda

Fałsz

+

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest

bisymulacją.

Prawda

Fałsz

+

Istnieją endofunktory w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$, dla których

kategoria algebr nie posiada obiektu początkowego.

Prawda

Fałsz

-

Dla każdego endofunktora $T$ w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ kategoria

$T$-koalgebr posiada obiekt końcowy.

Prawda

Fałsz

+

Zasada indukcji matematycznej na liczabch naturalnych

jest równoważna faktowi, że liczby naturalne wraz z elementem zero i funkcją następnika tworzą algebrę początkową endofunktora $\mathbf{𝟏}+(-)$ w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

Prawda

Fałsz

+

Każda $T$-algebra początkowa jest izomorfizmem.

Prawda

Fałsz

+

Każda $T$-koalgebra końcowa jest izomorfizmem.

Prawda

Fałsz