Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Ćwiczenie 11.1

Policzyć całkę

$\underset{V}{\iiint }{x}^2{y}^3{z}^{4}dxdydz,$

gdzie $V$ jest zbiorem ograniczonym powierzchniami:

$z=xy,y=2x,x=1,z=0.$

Wskazówka

Wykonać rysunek bryły po której całkujemy. Skorzystać z twierdzenia Fubiniego.

Rozwiązanie

<flash>file=AM2.M11.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M11.C.R02

Skorzystamy z twierdzenia Fubiniego. Popatrzmy jak zmieniają się zmienne. W płaszczyźnie $XYx$ zmienia się od $0$ do $1,$ a $y$ od $0$ do wykresu funkcji $y=2x.$

Rysunek AM2.M11.C.R01 (stary numer AM2.11.10)

Równocześnie $z$ zmienia się od $0$ do wykresu funkcji $z=xy.$ Mamy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iiint\limits_Vx^2y^3z^4 dxdydz &= \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^xdy\displaystyle\int\limits_0^{xy}x^2y^3z^4dz\\ &= \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^x\bigg(x^2y^3\frac{z^5}{5}\bigg|_0^{xy}\bigg)dy = \displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^x\frac{1}{5}x^7y^8dy\\ &= \displaystyle\int\limits_0^1\bigg(\frac{1}{5}x^7\frac{y^9}{9}\bigg|_0^x\bigg)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\frac{1}{5\cdot 9}x^{16} dx \ =\ \frac{1}{5\cdot 9\cdot 17} \ =\ \frac{1}{765}. \endaligned}

Ćwiczenie 11.2.

Policzyć objętość kuli w ${\mathbb{ℝ}}^3$ o promieniu $R.$

Wskazówka

Objętość bryły $V$ w ${\mathbb{ℝ}}^3$ obliczyć ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V| \ =\ \iiint\limits_V 1 \ dxdydz. }

Rozwiązanie

Dla kuli $K$ w ${\mathbb{ℝ}}^3$ o promieniu $R$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |K| \ =\ \iiint\limits_K 1 \ dxdydz \ =\ \iiint\limits_Br^2\sin\beta\ dr d\alpha d\beta. }

{ Rysunek AM2.M11.C.R03 (stary numer AM2.11.17)}
Zastosowaliśmy tu zmianę zmiennych na sferyczne (pamiętając o jakobianie, który wynosi $r^2\sin \beta$). $B$ oznacza tu zbiór w układzie współrzędnych sferycznych, który przechodzi na kule $K$ we współrzędnych kartezjańskich.

Tę ostatnią całkę liczymy za pomocą twierdzenia Fubiniego:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iiint\limits_Br^2\sin\beta\ dr d\alpha d\beta &= \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^{\pi}d\beta \displaystyle\int\limits_0^{R}r^2\sin\beta dr \ =\ \frac{R^3}{3}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin\beta d\beta\\ &= \frac{R^3}{3}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg(-\cos \beta\bigg|_0^{\pi}\bigg)d\alpha \ =\ \frac{2R^3}{3}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha=\frac{4}{3}\pi R^3. \endaligned }

Ćwiczenie 11.3.

Policzyć objętość bryły ograniczonej przez powierzchnię stożka

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z \ =\ \sqrt{x^2+y^2}, }

leżącą nad powierzchnią koła

$x^2+y^2\le 1.$

Wskazówka

<flash>file=AM2.M11.C.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M11.C.R04

Bardzo pomocne jest zastosowanie zmiany zmiennych na walcowe.

Rozwiązanie

Musimy policzyć

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V| \ =\ \iiint\limits_Vdxdydz. }

Spróbujmy zastosować twierdzenie Fubiniego nie zmieniając zmiennych. Musimy zatem zobaczyć, w jakich granicach zmieniają się $x,y,z.$ A zatem $z$ zmienia się oczywiście od $0$ do wykresu funkcji $z=\sqrt{x^2+y^2},$ podczas gdy $x$ i $y$ są w kole $x^2+y^2\le 1,$ czyli $x$ zmienia się od $-1$ do $1,$ a $y$ zmienia się od $-\sqrt{1-x^2}$ do $\sqrt{1-x^2}.$

Zauważmy jednak, że nasza bryła jest symetryczna, zatem możemy policzyć jej objętość tylko dla $x,y>0$ i pomnożyć wynik przez $4.$ Ta metoda uprości nieco nasze obliczenia. Dostaniemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned |V| &= 4\displaystyle\int\limits_{0}^{1}dx\displaystyle\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}dy\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{x^2+y^2}}dz \ =\ 4\displaystyle\int\limits_{0}^{1}dx\displaystyle\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy\\ &= 4\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}y\sqrt{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2}x^{2}\ln(y + \sqrt{x^{2} + y^{2}})\right)\bigg|_0^{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &= 4\displaystyle\int\limits_0^1 \frac{1}{2}\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2}x^{2}\ln(\sqrt{1 - x^{2}}+1) - \frac{1}{4}x^{2}\ln(x^{2})dx= \endaligned }

(policzenie tej całki może zająć trochę czasu, należy całkować przez części)

$=4(\frac{1}{6}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{3}\arcsin x-\frac{1}{6}{x}^3\ln x+\frac{1}{6}{x}^3\ln (1+\sqrt{1-x^2})){|}_0^1=4\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}.$

Jak widać, policzenie tej całki jest możliwe, ale skomplikowane.

Zobaczmy, co dostaniemy, stosując najpierw twierdzenie o zmianie zmiennych. Narzucającą się tu zmianą zmiennych jest zmiana zmiennych na współrzędne walcowe. Przypomnijmy, że w tych współrzędnych

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ r\cos \alpha,\quad y \ =\ r\sin\alpha, \ z=z. }

A zatem, jak wygląda $V$ w tych współrzędnych? $x$ i $y$ związane są zależnością

$x^2+y^2\le 1,$

co daje zależność $r\le 1$ i żadnych warunków na $\alpha ,$ a więc $\alpha \in [0,2\pi ].$ Natomiast $z$ zmienia się od $0$ do $\sqrt{x^2+y^2},$ a zatem od $0$ do $r.$ Tak więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V| \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1dr\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^r r^2 dz \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1dr\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}r^3d\alpha \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_0^1r^3 dr \ =\ \frac{2}{3}\pi. }

Jak widać, zastosowanie twierdzenia o zmianie zmiennych bardzo upraszcza obliczenia.

Ćwiczenie 11.4.

Policzyć objętość bryły $V$ ograniczonej przez powierzchnię stożka

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle z \ =\ \sqrt{x^2+y^2}, }

przez powierzchnię walca

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x-1)^2+y^2 \ =\ 1 }

oraz płaszczyznę $Oxy$.

Wskazówka

Zadanie można zrobić, używając całki podwójnej i zmieniając zmienne na biegunowe.

Rozwiązanie

Szukaną objętość znajdujemy, licząc całkę podwójną

$\underset{D}{\iint }\sqrt{x^2+y^2}dxdy$

z funkcji $z(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ nad obszarem koła $(x-1{)}^2+y^2\le 1.$
Rysunek AM2.M11.C.R05 (stary numer AM2.11.12a) Rysunek AM2.M11.C.R06 (stary numer AM2.11.12b) W tym wypadku również opłaca się dokonać zmiany zmiennych - na biegunowe. Jedyny problem polega na wyznaczeniu zakresu, w jakim zmieniają się $r$ i $\alpha .$

Przypomnijmy, że zmiana zmiennych na biegunowe to:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x\ =\ r\cos\alpha, \ \quad y\ =\ r\sin\alpha. }

Zbiór $D$ jest dany nierównością:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x-1)^2+y^2 \ \leq\ 1, }

czyli

$(r\cos \alpha -1{)}^2+(r\sin \alpha {)}^2\le 1,$

co sprowadza się do

$r(r-2\cos \alpha )\le 0.$

Ponieważ zawsze $r\ge 0$ (jako odległość punktu od początku układu współrzędnych), to musi być

$0\le r\le 2\cos \alpha .$

Na $\alpha$ nie mamy żadnych warunków poza jednym - $r$ musi być dodatnie, zatem $\cos \alpha$ musi być dodatni, a zatem $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}]\cup [\frac{3\pi }{2},2\pi ]],$ co można również zapisać, korzystając z okresowości cosinusa

$\alpha \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].$

Tak więc szukana objętość to (pamiętamy o jakobianie równym $r$!)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2} dxdy &= \displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^{2\cos\alpha}r^2dr \ =\ \displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3}r^3\bigg|_0^{2\cos\alpha}d\alpha \ =\ \displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{8}{3}\cos^3\alpha d\alpha\\ &= \frac{1}{3}\cos^2\alpha\sin\alpha+\frac{2}{3}\sin\alpha\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \ =\ \frac{4}{3}. \endaligned}

Ćwiczenie 11.5.

Obliczyć objętość bryły danej powierzchnią o równaniu:

${(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2})}^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},$

gdzie $a,b,c$ są dodatnimi stałymi.

Wskazówka

Zastosować zmianę zmiennych na tak zwane uogólnione współrzędne sferyczne:

$\{\begin{array}{ll}x& =ar\sin \beta \cos \alpha ,\\ y& =br\sin \beta \sin \alpha ,\\ z& =cr\cos \beta ,\end{array}$

gdzie $r\in (0,+\mathrm{\infty }),\alpha \in (0,2\pi ),\beta \in (0,\pi ).$

Rozwiązanie

Zmienimy zmienne na uogólnione współrzędne sferyczne. Jakobian tej zmiany zmiennych, jak nietrudno policzyć, to $abc{r}^2\sin \beta .$

Zobaczmy, jak nasza bryła wygląda we współrzędnych sferycznych:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)^2 \ =\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}, }

{ Rysunek AM2.M11.C.R07 (stary numer AM2.11.13)}
daje po podstawieniu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (r^2\sin^2\beta\cos^2\alpha+r^2\sin^2\beta\sin^2\alpha+r^2\cos^2\beta)^2 \ =\ r^2\sin^2\beta\cos^2\alpha+r^2\sin^2\beta\sin^2\alpha, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r^4 \ =\ r^2\sin^2\beta, }

czyli $r^2={\sin }^2\beta ,$ a zatem (skoro $\sin \beta$ jest dodatni)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r \ =\ \sin\beta. }

To jest, w uogólnionych współrzędnych sferycznych, równanie powierzchni ograniczającej naszą bryłę. Tak więc $r,\alpha$ i $\beta$ zmieniają się następująco:

$\beta \in [0,\pi ],\alpha \in [0,2\pi ]$

(bo na kąty nie mamy żadnych dodatkowych warunków) oraz

$r\in [0,\sin \beta ].$

Teraz możemy policzyć objętość (pamiętając o jakobianie zmiany zmiennych):

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned |V| &= \iiint\limits_Vdxdydz \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^{\pi}d\beta\displaystyle\int\limits_0^{\sin\beta}abcr^2\sin\beta\ dr\\ &= abc\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\frac{1}{3}r^3\sin\beta\bigg|_0^{\sin\beta}d\ \beta \ =\ \frac{abc}{3}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^4\beta\ d\beta. \endaligned}

Całkę z ${\sin }^4\beta$ liczymy przez części:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\sin^4\beta\ d\beta \ =\ -\sin^3\beta\cos\beta+\frac{3}{4}\int\sin^22\beta\ d\beta. }

Teraz już można łatwo policzyć, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int \sin^4\beta\ d\beta \ =\ -\frac{1}{4}\sin^3\beta\cos\beta-\frac{3}{8}\cos\beta\sin\beta+\frac{3}{8}\beta. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V| \ =\ \frac{abc}{3}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left(-\frac{1}{4}\sin^3\beta\cos\beta-\frac{3}{8}\cos\beta\sin\beta+\frac{3}{8}\beta\right)\bigg|_0^{\pi}d\alpha \ =\ \frac{abc}{3}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\frac{3}{8}\pi\ d\alpha=\frac{abc}{4}\pi^2. }

Ćwiczenie 11.6.

Wykonać czytelny rysunek bryły, po której całkujemy w poniższej całce oraz rzuty bryły na płaszczyzny układu.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{y^2}{\int }}dz\underset{0}{\overset{yz}{\int }}f(x,y,z)dx.$

Wskazówka

Należy zwrócić uwagę na kolejność zmiennych. Można użyć programu Maple (lub Mathematica) do wykonania rysunku.

Rozwiązanie

Wypiszmy jak zmieniają się zmienne. W płaszczyźnie $Oyz$

zmienna $y$ zmienia sie od $0$ do $1$. Zmienna $z$ zmienia się wtedy od $0$ do $y^2$, czyli w tej płaszczyźnie mamy obszar $D$ ograniczony przez oś $Oz$, wykres funkcji $z=y^2$ i prostą $y=1$. Nad obszarem $D$ zmienna $x$ zmienia się od $0$ do $yz$.

Rysunki bryły, po której całkujemy oraz rzuty na poszczególne płaszczyzny wyglądają następująco:
{ Rysunek AM2.M11.C.R08a (stary numer AM2.11.14a)}
{ Rysunek AM2.M11.C.R08b (stary numer AM2.11.14b)}
{ Rysunek AM2.M11.C.R08c (stary numer AM2.11.14c)}
{ Rysunek AM2.M11.C.R08d (stary numer AM2.11.14d)}
{ Rysunek AM2.M11.C.R08e (stary numer AM2.11.14e)} Stosując zmianę kolejności całkowania, można także przekształcić naszą całkę na kilka następujących sposobów:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned && \int_0^1\,dy\int_0^{y^2}\,dz\int_0^{yz} f(x,y,z)\,dx \ =\ \int_0^1\,dx\int_{\sqrt[3]{x}}^1\,dy\int_{\frac{x}{y}}^{y^2}f(x,y,z)\,dz\\ &= \int_0^1\,dy\int_0^{y^3}\,dx\int_{\frac{x}{y}}^{y^2} f(x,y,z)\,dz \ =\ \int_0^1\,dz\int_{\sqrt{z}}^1\,dy\int_0^{yz} f(x,y,z)\,dx\\ &= \int_0^1\,dz\int_0^{z\sqrt{z}}\,dx\int_{\sqrt{z}}^1 f(x,y,z)\,dy + \int_0^1\,dz\int_{z\sqrt{z}}^z\,dx\int_{\frac{x}{z}}^1 f(x,y,z)\,dy\\ &= \int_0^1\,dx\int_x^{x^{\frac{2}{3}}}\,dz\int_{\frac{x}{z}}^1 f(x,y,z)\,dy + \int_0^1\,dx\int_{x^{\frac{2}{3}}}^1\,dz\int_{\sqrt{z}}^1 f(x,y,z)\,dy. \endaligned}

Ćwiczenie 11.7.

Mamy daną powierzchnię płaską $D.$ Niech funkcja $\rho :D\to \mathbb{ℝ}$ zadaje gęstość na $D,$ to znaczy w każdym punkcie $(x,y)\in D$ mamy gęstość (masy) równą $\rho (x,y).$ Wtedy masa całej powierzchni $D$ wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M \ =\ \iint\limits_D\rho(x,y)dxdy. }

Policzyć masę krążka o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $R,$ jeśli gęstość w każdym jego punkcie jest proporcjonalna do odległości od środka i równa $\zeta >0$ na brzegu.

Wskazówka

Skoro gęstość jest proporcjonalna do odległości od środka, to funkcja $\rho (x,y)$ wyraża się wzorem $\rho (x,y)=c\sqrt{x^2+y^2},$ gdzie $c$ jest stałą proporcjonalności. Znając $\rho$ na brzegu krążka, wyznaczymy $c.$
{ Rysunek AM2.M11.C.R09 (stary numer AM2.11.15)}

Rozwiązanie

Mamy $\rho (x,y)=c\sqrt{x^2+y^2},$ gdzie $c$ jest stałą proporcjonalności. Wiemy poza tym, że dla $(x,y)$ takich, że $x^2+y^2=R^2$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle cR \ =\ \rho(x,y)=\zeta, }

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle c \ =\ \frac{\zeta}{R}. }

Teraz wystarczy podstawić do wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M \ =\ \iint\limits_D\frac{\zeta}{R}\sqrt{x^2+y^2} dxdy. }

Tę całkę wygodnie policzyć, zmieniając zmienne na biegunowe:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ r\cos\alpha,\quad y \ =\ r\sin\alpha. }

W naszym krążku $r$ zmienia się od $0$ do $R$ a $\alpha$ od $0$ do $2\pi ,$ mamy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M\ =\ \iint\limits_D\frac{\zeta}{R}\sqrt{x^2+y^2} dxdy \ =\ \frac{\zeta}{R}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^Rr^2 dr \ =\ \frac{2}{3}\frac{\zeta}{R}\pi R^3 \ =\ \frac{2\zeta}{3}\pi R^2. }

Ćwiczenie 11.8.

Mamy daną powierzchnię $D$ o gęstości masy $\rho (x,y).$ Masę $M$ tej powierzchni wyznaczamy ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle M \ =\ \displaystyle\int\limits_D\rho(x,y)\ dxdy, }

(zobacz ćwiczenie 11.7.). Wtedy współrzędne $(x_0,y_0)$ środka ciężkości $D$ wyznaczamy ze wzorów:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_0 &= \frac{1}{M}\iint\limits_Dx\rho(x,y) \ dxdy,\\ y_0 &= \frac{1}{M}\iint\limits_Dy\rho(x,y) \ dxdy. \endaligned}

Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości ćwiartki okręgu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y): x^2+y^2\leq 1, 0\leq x, 0\leq y\}, }

o gęstości

$\rho (x,y)\equiv 1.$

Wskazówka

Po wstawieniu do wzoru, zmienić zmienne na biegunowe.

Rozwiązanie

<flash>file=AM2.M11.C.R10.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M11.C.R10

Oczywiście masa naszej powierzchni to $M=\frac{1}{4}\pi .$ A zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_0 &= \frac{4}{\pi}\iint\limits_Dx\ dxdy,\\ y_0 &= \frac{4}{\pi}\iint\limits_Dy\ dxdy. \endaligned}

Te całki najlepiej policzyć, zmieniając zmienne na biegunowe,

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ r\cos\alpha,\ y=r\sin\alpha. }

Skoro $D$ jest ćwiartką okręgu położoną w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, to kąt $\alpha$ zmienia się od $0$ do $\frac{\pi }{2}.$ Okrąg ma promień $1,$ zatem $r\in [0,1].$

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_0 \ =\ \frac{4}{\pi}\iint\limits_Dx\ dxdy \ =\ \frac{4}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^1r^2\cos\alpha\ dr \ =\ \frac{4}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3}\cos\alpha\ d\alpha \ =\ \frac{4}{3\pi}\sin\alpha\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{3\pi}. }

i analogicznie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle y_0 \ =\ \frac{4}{\pi}\iint\limits_Dy\ dxdy \ =\ \frac{4}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^1r^2\sin\alpha\ dr \ =\ \frac{4}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3}\sin\alpha\ d\alpha \ =\ \frac{4}{3\pi}(-\cos\alpha)\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \ =\ \frac{4}{3\pi}. }

Ćwiczenie 11.9.

Policzyć całkę po $n$-wymiarowej kostce $K=[0,1{]}^n$ z funkcji $x_1^2+\dots +x_n^2.$

Wskazówka

Trzeba wykorzystać twierdzenie Fubiniego. (W razie trudności można spróbować najpierw policzyć dla $n=2,3,\dots$).

Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia Fubiniego. Każde $x_i$ zmienia się od $0$ do $1,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned & \iint\dots\displaystyle\int\limits_K(x_1^2+\ldots+x_n^2)dx_1\dots dx_n \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1dx_1\displaystyle\int\limits_0^1dx_2\dots\displaystyle\int\limits_0^1(x_1^2+\ldots+x_n^2)dx_n\\ &= \displaystyle\int\limits_0^1dx_1\displaystyle\int\limits_0^1dx_2\dots\displaystyle\int\limits_0^1(x_1^2x_n+\ldots+x_{n-1}^2x_n+\frac{1}{3}x_n^3)\bigg|_0^1dx_{n-1}\\ &= \displaystyle\int\limits_0^1dx_1\displaystyle\int\limits_0^1dx_2\dots\displaystyle\int\limits_0^1(x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2+\frac{1}{3})dx_{n-1}\\ &= \displaystyle\int\limits_0^1dx_1\displaystyle\int\limits_0^1dx_2\dots\displaystyle\int\limits_0^1(x_1^2x_{n-1}+\ldots+x_{n-2}^2x_{n-1}+\frac{1}{3}x_{n-1}^3+\frac{1}{3}x_{n-1})\bigg|_0^1dx_{n-2}\\ &= \displaystyle\int\limits_0^1dx_1\displaystyle\int\limits_0^1dx_2\dots\displaystyle\int\limits_0^1(x_1^2+\ldots+x_{n-2}^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3})dx_{n-2} \ =\ \dots \ =\ n\frac{1}{3}. \endaligned}