Analiza matematyczna 2/Wykład 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.

Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.

Punkty regularne poziomicy

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X,Y, Z} będą przestrzeniami Banacha i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle U\subset X\times Y} będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: X\times Y\supset U\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in Z }

oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}=\{(x,y)\in U: F(x,y)=0\}. }

Ustalmy pewien punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle P=(a,b)\in \{F=0\}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in X} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b\in Y} , na tej poziomicy.

Definicja 9.1.

Mówimy, że punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle P\in \{F=0\}} jest punktem regularnym zbioru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} , jeśli różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_P F} jest suriekcją przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X\times Y} na przestrzeń Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Z} . Punkt poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} , który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.

=======

Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:

Uwaga 9.2.

W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=\mathbb{R}^n} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y=\mathbb{R}^m} odwzorowanie liniowe Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle L:X\times Y\mapsto Y} jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle L} jest maksymalny, tj. równy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle m} .

=======

Przykład 9.3.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=Y=\mathbb{R}} . Rozważmy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y)=x^2+y^2-1} i poziomicę zerową tej funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}=\{x^2+y^2=1\}, }

czyli okrąg o środku w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0)} i promieniu jednostkowym. Różniczka

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned d_{(x_0, y_0)}F&=\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy\\&=2x_0 dx+2y_0 dy\endaligned }

w dowolnym punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x_0, y_0)\in\{F=0\}} ma rząd maksymalny. Rząd różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x_0, y_0)}F} nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial x}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial y}} zerują się, czyli gdy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned 2x_0=0\\2y_0=0,\endaligned\right. }

ale punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0)} nie leży na okręgu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} .

=======

Przykład 9.4.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=Y=\mathbb{R}} i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y)=x^3+y^3-3xy} . Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}=\{x^3+y^3=3xy\} }

jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x_0, y_0)}F=3(x_0^2-y_0)dx+3(y_0^2-x_0)dy}
nie ma maksymalnego rzędu, gdy
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\alignedx_0^2-y_0=0\\y_0^2-x_0=0,\endaligned\right. }

czyli w punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0)} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (1, 1)} . Stąd punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0)} jest punktem nieregularnym

liścia Kartezjusza. Drugi punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (1,1)} nie leży na poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} .

=======

Przykład 9.5.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=Y=\mathbb{R}} i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)} . Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}=\left\{(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\right\} }

nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned d_{(x_0,y_0)}F&=\left(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0\right)dx+\left(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0\right)dy \\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\endaligned }

nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0\\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\endaligned\right. }

czyli w trzech punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0)} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (-1, 0)} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (1,0)} , spośród których tylko pierwszy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0)} leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.

=======

Przykład 9.6.

Poziomicą zerową funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:\mathbb{R}^3\ni(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\in\mathbb{R} }

jest sfera o środku w początku układu współrzędnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} i promieniu jednostkowym:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}. }

Różniczka odwzorowania Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} dana wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned d_{(x,y,z)}F&=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)dz\\&= 2xdx+2ydy+2zdz\endaligned }

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^3} do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}} i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^3} poza początkiem układu współrzędnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} , w którym rząd ten wynosi zero. Punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} nie należy jednak do sfery Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} , stąd każdy jej punkt jest regularny.

=======

Rysunek am2w09.0040 a, b, c - przecięcie dwóch walców

Przykład 9.7.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:\mathbb{R}^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)\in \mathbb{R}^2} . Wówczas poziomicą zerową funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} jest zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3, x^2+z^2=1, y^2+z^2=1\}, }

który powstaje z przecięcia walca Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+z^2=1} o osi obrotu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle OY} z walcem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle y^2+z^2=1} o osi obrotu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle OX} . Zauważmy, że różniczka

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y,z)} F=(2x dx+0dy+2z dz, 0dx+2ydy+2zdz) }

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^3} do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^2} . Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle A=\left[\begin{array}{rrr} 2x &0 &2z\\ 0 &2y &2z \end{array} \right] }

wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle A} wynosi zero, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x=y=z=0} (punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} nie należy do poziomicy zerowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} ). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned &&x=y=0, z\neq0,\\ &\text{lub}&\\ &&x=z=0, y\neq0, \\ &\text{lub}& \\ &&y=z=0,x\neq0,\endaligned }

co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} , a mianowicie w punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0, 1)} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0, -1)} . Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x, y, z)} F} w pozostałych punktach poziomicy jest

maksymalny (tj. wynosi Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 2} ).

=======

Rysunek am2w09.0010

Przykład 9.8.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: \mathbb{R}^3\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2-3xyz\in \mathbb{R}.} Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{(x,y,z)=\{(x, y,z)\in \mathbb{R}^3: (x^2+y^2+z^2)^2=3xyz\}. }

Różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x, y, z)} F=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz} jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^3} do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}} , nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x, y, z)} , w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial x}=0, \frac{\partial F}{\partial y}=0, \frac{\partial F}{\partial z}=0} , tzn. gdy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz\\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz\\ 4z(x^2+y^2+z^2)=3xy\endaligned \right. }

Układ ten spełnia punkt o współrzędnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} a także punkty o współrzędnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x,y,z)} , które spełniają układ

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned x^2&=y^2\\y^2&=z^2\\z^2&=x^2,\endaligned\right. }

czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle |x|=|y|=|z|} . Spośród punktów poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} warunek ten spełniają poza punktem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} także punkty Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,a,a)} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (-a,-a,a)} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (-a,a,-a)} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,-a,-a)} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a=\frac{1}{3}} . Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} ma w nich rząd maksymalny (równy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 1} ).

=======

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y} będą przestrzeniami Banacha i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: U\mapsto Y} będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle U\subset X\times Y} . Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)\in\{F=0\}} będzie punktem poziomicy zerowej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in X, b\in Y} . Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)} można przedstawić jako wykres pewnej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f: X\mapsto Y} takiej, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} w pewnym otoczeniu otwartym punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in X} .

Rozważmy dwa proste przykłady.

Przykład 9.9.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)} będzie punktem okręgu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+y^2=1} , który stanowi poziomicę zerową funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R} \ni (x,y)\mapsto F(x,y)=x^2+y^2-1\in\mathbb{R}. }

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b>0} , to w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in (-1,1) } można określić funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1: x\mapsto f_1(x)=\sqrt{1-x^2} }

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,f_1(x))=x^2+(\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b. }

Z kolei, jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b<0} , to w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in (-1,1) } znajdziemy funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2: x\mapsto f_2(x)=-\sqrt{1-x^2} }

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \f_2(a)=b. }

Jedynymi punktami Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)} okręgu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+y^2=1} , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f: x\mapsto f(x)} takiej, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f(a)=b} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} , są punkty Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (-1,0)} oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (1,0)} . Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial y}} .

=======

Przykład 9.10.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a=(a_1,a_2)\in \mathbb{R}^2} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b\in \mathbb{R}} . Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)\in \mathbb{R}^3} będzie punktem sfery Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_1^2+x_2^2+z^2=1} , która stanowi poziomicę zerową funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x_1, x_2 , z)=x_1^2+x_2^2+z^2-1} . Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b>0} , to w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a=(a_1, a_2) } wewnątrz okręgu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_1^2+x_2^2 <1} można określić funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1: (x_1, x_2)\mapsto f_1(x_1,x_2)=\sqrt{1-x_1^2-x_2^2} }

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b. }

Z kolei, jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b<0} znajdziemy funkcję

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2: (x_1, x_2)\mapsto f_1(x_1, x_2)=-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2} }

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } \f_2(a)=b. }

Jedynymi punktami Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)} sfery Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_1^2+x_2^2+z^2=1} , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f: (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)} takiej, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f(a)=b} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x_1, x_2, f(x_1,x_2))=0} , są punkty okręgu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_1^2+x_2^2=1} zawartego w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle z=0} . Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial z}=2z} .

=======

Uogólnijmy to spostrzeżenie formułując

Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:U\mapsto Y} będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle U\subset X\times Y} . Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)\in \{F=0\}} (gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in X, b\in Y} ) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} takim, że zacieśnienie różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(a,b)}F_{|Y}} do podprzestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y\subset X\times Y} jest izomorfizmem. Wówczas

1) istnieje pewne otoczenie otwarte Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle V\subset X} punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f:V\mapsto Y} taka, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f(a)=b} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x\in V} . Ponadto

2) funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle V} daną wzorem
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_x f=-\big(d_{(x,y)}F_{|Y} \big)^{-1}\circ \big(d_{(x,y)}F_{|X}\big),}
gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle y=f(x)} , natomiast

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F_{|X}} oznacza zacieśnienie różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F} do podprzestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X\subset X\times Y} a Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}} jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F_{|Y}} .

=======

Dowód 9.11.

(szkic) Pominiemy dowód istnienia funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} . Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy

wpierw jednak, że

=======

Uwaga 9.12.

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y=\mathbb{R}^n} , to odwzorowanie liniowe Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle L:Y\mapsto Y} jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \det L\neq 0} .

=======

Przypadek I. Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=Y=\mathbb{R}} i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: \mathbb{R}^2\ni(x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb{R}.} Jeśli funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} } spełnia równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{d}{dx}F(x, f(x))=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\frac{df}{dx}(x), \text{ gdzie } y=f(x). }

Stąd

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle -\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial,F}{\partial y}(x,y)\frac{df}{dx}(x). }

Z założenia zacieśnienie różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F_{|Y}} jest izomorfizmem przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}} do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}} , co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial F}{\partial y}\neq 0} . Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{df}{dx}(x)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}(x,y), \text{gdzie } y=f(x). }

Przypadek II. Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: \mathbb{R}^3\ni(x_1, x_2, y)\mapsto F(x_1, x_2, y)\in \mathbb{R}.} Jeśli funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R} } spełnia równanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x_1, x_2, f(x_1,x_2))=0} , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x_1, x_2, y)} poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}}

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial }{\partial x_1}F\big(x_1, x_2, f(x_1, x_2)\big) =\frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_1}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial F}{\partial x_1}+0+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_1} }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial }{\partial x_2}F\big(x_1, x_2, f(x_1, x_2)\big) =\frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_2}=0+\frac{\partial F}{\partial x_2}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x_2} }

Izomorficzność zawężenia różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x_1, x_2, y)}F_{|Y}} również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\neq 0} . Wówczas z powyższych równości dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}(x_1, x_2, y) }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, x_2)=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x_1, x_2, y)\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_2}(x_1, x_2, y), }

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle y=f(x_1, x_2)} . Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}}

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial f}{\partial x_2}=-\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_2}. }

Przypadek III. Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=\mathbb{R}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y=\mathbb{R}^2} i niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: \mathbb{R}\times \mathbb{R}^2 \ni (x, y_1, y_2)\mapsto F(x, y_1, y_2)=\left(F_1(x, y_1, y_2), F_2(x, y_1, y_2)\right)\in \mathbb{R}^2. }

Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f: \mathbb{R}\ni x\mapsto (f_1(x), f_2(x))\in\mathbb{R}^2 }

taka, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=F(x,f(x))=\bigg(F_1\big(x, f_1(x), f_2(x)\big), \ F_2\big(x, f_1(x), f_2(x)\big)\bigg), }

to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x))\\ 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x)).\endaligned \right. }

Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned 0=\frac{d}{dx}F_1(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_1}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\endaligned }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned 0=\frac{d}{dx}F_2(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_2}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_2}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2'.\endaligned }

Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1'} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2'} , które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f=(f_1, f_2)} :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned -\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\\ -\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' . \endaligned\right. }

Zapiszmy ten układ w formie macierzowej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \displaystyle-\left[\begin{array}{r} \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right] \, \left[\begin{array}{r} f_1' \\ \\f_2 '\end{array} \right]. }

W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F} do podprzestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y\subset X\times Y} oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)F_{|Y}}=======} :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left[\begin{array}{rr} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right] }

jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left[\begin{array}{r} \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array} \right] }

reprezentuje zacieśnienie różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F} do podprzestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X\subset X\times Y} . Macierz niewiadomych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1'} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2'} :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left[\begin{array}{r} f_1' \\ \\f_2'\end{array} \right] }

reprezentuje różniczkę Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_x f} funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f=(f_1, f_2)} . Stąd układ równań z niewiadomymi Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1'} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2'} przedstawia równanie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle -d_{(x,y)}F_{|X}=d_{(x,y)}F_{|Y}\circ d_x f, \ \ \ \ \ \text{ gdzie }y=f(x), }

w którym niewiadomą jest różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_x f} . Izomorficzność zacieśnienia Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F_{|Y}} gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}} , dzięki czemu otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_xf=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}. }

W języku algebry nieosobliwość macierzy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left[\begin{array}{rr} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right] }

gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \displaystyle-\left[\begin{array}{r} \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{rr} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right] \, \left[\begin{array}{r} f_1' \\f_2 '\end{array} \right] }

jest

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \displaystyle\left[\begin{array}{r} f_1' \\f_2 '\end{array} \right] =-\left(\left[ \begin{array} {rr}\frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\end{array} \right]\right)^{-1} \left[\begin{array}{r} \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\end{array} \right] }

lub równoważnie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}. }

Ekstrema funkcji uwikłanej

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}} i niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: X\times \mathbb{R}\ni (x_1, x_2,\dots, x_n, y)\mapsto F(x_1, x_2, \dots, x_n, y)\in \mathbb{R} }

będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle U\subset X\times \mathbb{R}} .

Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} uwikłanej równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} . Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.

Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]

Jeśli funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} uwikłana równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,f(x))=0} osiąga ekstremum w pewnym punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in X} takim, że pochodna cząstkowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial y}(a, f(a))\neq 0} , to w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a, f(a))} zerują się pochodne cząstkowe funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} po zmiennych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_1, x_2, \dots, x_n} , tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \displaystyle \foralli\in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a,f(a))=0. }

=======

Dowód

Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} , który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \displaystyle d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circd_{(x,y)}F_{|X}, }

to wobec izomorficzności Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y)}F_{|Y}} która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x, y)\neq 0} ) różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a f} zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(a,f(a))}F_{|X}=0} . Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a, f(a))} pochodnych cząstkowych funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} po zmiennych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_1, x_2, \dots, x_n} , czyli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned &\frac{\partial F}{\partial x_1}(a, f(a))=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial x_2}(a, f(a))=0\\ &\vdots \\ &\frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0.\endaligned \right. }

=======

Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} , aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} osiąga maksimum, minimum, czy też w ogólne nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.

Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:

Przypadek I. Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}} będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} uwikłaną równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} . Różniczkując tę równość po zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x} otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}f' }

Różniczkując względem zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x} powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned 0=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}f'\bigg)&=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}f'\bigg)\\&= \frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}\bigg)f'+\frac{\partial F}{\partial y}f''\\&=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial F}{\partial y}f''.\endaligned }

Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x_0} , w którym Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f'(x_0)=0} . Otrzymamy wówczas równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)f''(x_0), }

z której - wobec założenia, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\neq 0} - otrzymamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f''(x_0)=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\bigg)^{-1}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0), }

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle y_0=f(x_0)} .

Przypadek II. Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}} będzie funkcją uwikłaną równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y, f(x,y))=0} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}} jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}} :

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} }
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y}. }

Policzymy pochodną cząstkową Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial }{\partial x}} po zmiennej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x} obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x}\frac{\partial f }{\partial x} }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\bigg)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x}. }

Wobec tego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned 0=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} \bigg)&=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)\\ &=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}\bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\\&=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x} \bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\endaligned }

W punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x_0, y_0)} , w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)=0} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)=0} , a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0), }

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle z_0=f(x_0, y_0)} . W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} , które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x_0, y_0)} przyjmują postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0), }
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0), }
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 0=\frac{\partial ^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0). }

Stąd - wobec założenia, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\neq 0} - otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left[\aligned &\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)\endaligned\right]=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\aligned &\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)\endaligned\right] }

W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.

Wniosek 9.14.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f: x\mapsto f(x)} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x=(x_1, x_2, \dots,x_n)} będzie funkcją uwikłaną równaniem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x, f(x))=0} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb{R}} jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (a,b)} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle b=f(a)} . Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\neq 0} i niech różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a f=0} . Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a^2 f=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\bigg)^{-1}d_{(a, b)}F_{|X},}
czyli
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\bigg)^{-1}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j}(a,b),}
dla dowolnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle i, j\in\{1,2,\dots, n\}} .

=======

Przykład 9.15.

Wyznaczmy ekstrema funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} danej w postaci uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y, f(x,y))=0} , gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz. }

Obserwacja poziomicy zerowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x,y)} oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima a pozostałe dwie - minima.

Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} szukamy punktów Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x,y)} , których współrzędne spełniają układ równań:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=0\\(x,y,z)\in\{F=0\} \endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned 4x(x^2+y^2+z^2)-3yz=0 \\ 4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0\\ (x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0. \endaligned \right. }

Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} ) wymaga sprawdzenia założenia:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=4z(x^2+y^2+z^2)-3xy\neq 0. }

Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial z}(0,0,0)=0} . Obserwacja poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x,y)\mapsto f(x,y)} z równania Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y, f(x,y))=0} w żadnym otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,0)} . Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned &x=y=\frac{3\sqrt{2}}======={16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ &x=y=-\frac{3\sqrt{2}}======={16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ &x=-y=\frac{3\sqrt{2}}======={16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\\ &x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}======={16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\endaligned }

w których spełniony jest warunek Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\neq 0} . Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle U_1, U_2, U_3, U_4\subset\mathbb{R}^2} odpowiednio punktów

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \aligned &A_1=\big(\frac{3\sqrt{2}}======={16}, \frac{3\sqrt{2}}======={16}\big), \\ &A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}======={16}, -\frac{3\sqrt{2}}======={16}\big), \\ &A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}======={16}, \frac{3\sqrt{2}}======={16}\big), \\ &A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}======={16}, -\frac{3\sqrt{2}}======={16}\big), \endaligned }

istnieją jedyne funkcje Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1: U_1\mapsto\mathbb{R}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2: U_2\mapsto\mathbb{R}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_3: U_3\mapsto\mathbb{R}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_4: U_4\mapsto\mathbb{R}} , które spełniają warunek

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F\big(x, y, f_i(x,y)\big)=0, \text{ gdy } (x,y)\in U_i, \ i\in\{1,2,3,4\} }

oraz odpowiednio Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1(A_1)=f_2(A_2)=\frac{3}{8}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_3(A_3)=f_4(A_4)=-\frac{3}{8}} . Analiza poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{F=0\}} (lub określoności drugiej różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{A_i}^2 f, \ i\in\{1,2,3,4\}} ) pozwala stwierdzić, że funkcje Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2} osiągają w punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle A_1} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle A_2} maksimum, zaś Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_3} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_4} osiągają w punktach Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle A_3} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle A_4} minimum.

=======

Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.

Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange'a

Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle U} przestrzeni unormowanej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X} (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X=\mathbb{R}^n} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle n=1,2,3,\dots} ). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:X\mapsto\mathbb{R}} zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X} .

Przykład 9.16.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y,z)=x -2y +2z }

na sferze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+y^2+z^2=1. }

Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą wnioskujemy, że wielomian Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y,z)=x -2y +2z } osiąga na tej sferze zarówno wartość najmniejszą jak i największą. Nasze dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez odwikłanie zmiennej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle z(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} \text{ lub } z(x,y)=-\sqrt{1-x^2-y^2} }

z równania sfery i zbadania funkcji dwóch zmiennych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (x,y)} danych w kole Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+y^2<1} wzorami:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_1: (x,y)\mapsto F\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\big)=x-2y+2\sqrt{1-x^2-y^2}, }
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f_2: (x,y)\mapsto F\big(x,y,-\sqrt{1-x^2-y^2}\big)=x-2y-2\sqrt{1-x^2-y^2}. }

Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości ekstremalnych funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} na danej sferze.

=======

Podamy jednak pewną metodę, która pozwala wyznaczać ekstremum funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: X\mapsto \mathbb{R}} zacieśnionej do poziomicy zerowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} pewnej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G: X\mapsto Y} również w przypadku, gdy odwikłanie zmiennej z równania Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G=0} nie jest tak proste jak w podanym przykładzie.

Sprecyzujmy jednak wpierw problem.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X, Y} będą przestrzeniami Banacha i niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G: X\mapsto Y} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F:X\mapsto \mathbb{R}} będą funkcjami.

Definicja 9.17.

Mówimy, że funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} osiąga ekstremum warunkowe w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} przy warunku Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in \{G=0\}} , jeśli zacieśnienie funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} do poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} osiąga ekstremum w tym punkcie.

=======

Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę metody mnożników Lagrange'a.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X, Y} będą przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie 9.18.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: X\mapsto \mathbb{R}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G: X\mapsto Y } będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} (co - przypomnijmy - oznacza, że różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a G } jest suriekcją przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X} na Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle Y} ). Jeśli funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} poziomicy zerowej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G} , to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda: Y\mapsto\mathbb{R}} taki, że zachodzi równość Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a F=\Lambda \circ d_a G} .

=======

Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić czy funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a\in\{G=0\}} .

Twierdzenie 9.19.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: X\mapsto \mathbb{R}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G: X\mapsto Y} będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} . Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda: Y\mapsto\mathbb{R}} taki, że zachodzi równość Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a F=\Lambda \circ d_a G} oraz forma kwadratowa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X\ni h\mapsto\big(d^2_a F-\Lambda \circ d_a^2 G \big)(h,h)\in\mathbb{R} }

jest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X_1:=\{h\in X, d_aG(h)=0\}} przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle X} , to funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} osiąga w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe.

=======

Definicja 9.20.

Funkcjonał Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda} , który występuje w wypowiedzi obu powyższych twierdzeń, nazywamy funkcjonałem Lagrange'a.

=======

Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.

Uwaga 9.21.

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f, g : \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}} są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} przy warunku Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} sprowadza się do znalezienia punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} na poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} oraz stałej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \lambda} , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda : \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}} dany wzorem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda (x)=\lambda x} taki, że różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a f=\lambda d_a g} , o ile punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} jest punktem regularnym poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle g: \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}} , punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} jest regularny, jeśli rząd różniczki

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a g=\frac{\partial g(a)}{\partial x}dx+\frac{\partial g(a)}{\partial y}dy }

wynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a g\neq 0} , czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial g(a)}{\partial x}} lub Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial g(a)}{\partial y}} jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Phi(x,y): =f(x,y)-\lambda g(x,y), }

gdzie stałą Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \lambda} (nazywaną tradycyjnie mnożnikiem Lagrange'a) wyznaczamy z układu równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned d_{(x,y)}\Phi=0\\g(x,y)=0\endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\& \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\& \displaystyleg(x,y)=0.\endaligned \right. }

=======

Uwaga 9.22.

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f, g : \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}} są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} przy warunku Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} sprowadza się do znalezienia - podobnie jak w poprzednim przypadku - punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} na poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} oraz stałej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \lambda} , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda : \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}} dany wzorem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda (x)=\lambda x} , taki, że różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a f=\lambda d_a g} , o ile punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} jest punktem regularnym poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle g: \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}} punkt Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} jest regularny, jeśli rząd Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a g} (odwzorowania liniowego z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^3} do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}} ) jest maksymalny, czyli wynosi Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 1} . Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle a} różniczka

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_a g=\frac{\partial g(a)}{\partial x}dx+\frac{\partial g(a)}{\partial y}dy+\frac{\partial g(a)}{\partial z}dz }

nie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial g(a)}{\partial x}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial g(a)}{\partial y}} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \frac{\partial g(a)}{\partial z}} jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Phi(x,y,z): =f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z), }

gdzie stałą Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \lambda} wyznaczamy z układu równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned d_{(x,y,z)}\Phi=0\\g(x,y,z)=0\endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\ & \displaystyleg(x,y,z)=0.\endaligned \right. }

=======

Przykład 9.23.

Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f(x,y,z)=x -2y +2z } na sferze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+y^2+z^2=1} . Rozwiążemy je metodą mnożników Lagrange'a opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1} . Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Phi(x,y,z)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)} . Rozwiązujemy układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}\\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\& \displaystyle g(x,y,z)=0\endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned & \displaystyle 1=2\lambda x \\ & \displaystyle-2=2\lambda y\\ & \displaystyle 2=2\lambda z\\ & \displaystyle x^2+y^2+z^2=1. \endaligned \right. }

Układ ten spełniają liczby

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x=-\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}, z=-\frac{2}{3}, \lambda=-\frac{3}{2} }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x=\frac{1}{3}, y=-\frac{2}{3}, z=\frac{2}{3}, \lambda=\frac{3}{2}. }

Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{g=0\}} . Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f\big(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \big)=-3, \ \ f\big(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \big)=3, }

czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle f} osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle -3} , a w drugim punkcie - wartość największą na sferze równą Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 3} .

=======

Uwaga 9.24.

Jeśli funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F: \mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}} , zaś Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}^2} , zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} przy warunku Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} sprowadza się do znalezienia punktów zbioru Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} , w których zeruje się różniczka funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Phi(x,y,z):=F(x,y,z)-\Lambda \circ G(x,y,z)} . Funkcjonał Lagrange'a Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Lambda } w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}} , jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \lambda_1} , Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \lambda_2} . Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G=(g_1, g_2)} jest zestawieniem dwóch funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle g_1, g_2} o wartościach rzeczywistych, stąd

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \Phi(x,y,z)=F(x,y,z)-\Lambda G(x,y,z)=F(x,y,z)-\lambda_1 g_1 (x,y,z)-\lambda_2 g_2 (x,y,z). }

Metoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned d_{(x,y,z)}\Phi=0\\G(x,y,z)=0\endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} \\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} \\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} \\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\endaligned \right. }

w punktach regularnych poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} , czyli tych, w których rząd różniczki Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y,z)}G} jest maksymalny (tj. równy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 2} , gdyż różniczka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle d_{(x,y,z)}G} jest odwzorowaniem liniowym z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^3} do Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \mathbb{R}^2} ). Zwróćmy uwagę, że funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum.

=======

Przykład 9.25.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(x,y,z)=x-y-2z }

na przecięciu się dwóch walców

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x^2+z^2=1, \ \ y^2+z^2=1. }

Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]} ). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle G(x,y,z)=(x^2+z^2-1, y^2+z^2-1)} . Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} tylko dwa nie są regularne: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0, 1)} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (0,0,-1)} . Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \left\{\aligned & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} \\ & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} \\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} \\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\endaligned \right. \text{ czyli } \left\{\aligned & \displaystyle 1=2\lambda_1 x\\ & \displaystyle -1=2\lambda_2 y\\ & \displaystyle-2=2(\lambda_1+\lambda_2)z\\ & \displaystyle x^2+z^2-1=0\\ & \displaystyle y^2+z^2-1=0. \endaligned\right. }

Układ ten ma dwa rozwiązania

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle -x=y=z=\frac{\sqrt{2}}======={2}, \text{ przy czym } \lambda_1=\lambda_2=-\frac{\sqrt{2}}======={2} }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle x=-y=-z=\frac{\sqrt{2}}======={2}, \text{ przy czym } \lambda_1=\lambda_2=\frac{\sqrt{2}}======={2}. }

Wartość funkcji Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} w tych punktach wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F\big(-\frac{\sqrt{2}}======={2}, \frac{\sqrt{2}}======={2}, \frac{\sqrt{2}}======={2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz } F\big(\frac{\sqrt{2}}======={2}, -\frac{\sqrt{2}}======={2}, -\frac{\sqrt{2}}======={2}\big)=2\sqrt{2}. }

W obu punktach nieregularnych poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F(0,0,-1)=2 \text{ oraz } F(0,0,1)=-2. }

Po porównaniu tych wartości: Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle -2\sqrt{2}<-2<2<2\sqrt{2}} stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle \{G=0\}} równą Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle 2\sqrt{2}} funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle F} osiąga w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (\frac{\sqrt{2}}======={2}, -\frac{\sqrt{2}}======={2}, -\frac{\sqrt{2}}======={2})} , a najmniejszą, równą Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle -2\sqrt{2}} , w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\dispalystyle”): {\displaystyle \dispalystyle (-\frac{\sqrt{2}}======={2}, \frac{\sqrt{2}}======={2}, \frac{\sqrt{2}}======={2}).}

=======

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Wykład_9:_Twierdzenie_o_funkcjach_uwikłanych._Ekstrema_warunkowe&oldid=38615”