Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).

Ciągi funkcyjne

<flash>file=am2.m04.w.r01.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>am2.m04.w.r01

<flashwrap>file=am2.m04.w.r02.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>am2.m04.w.r02

Definicja 4.1.

Niech $X\ne \mathrm{\varnothing }$ będzie dowolnym zbiorem oraz niech $(Y,\varrho )$ przestrzenią metryczną. Niech $f:X⟶Y$ oraz $f_n:X⟶Y$ będą funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.
(1) Mówimy, że ciąg $\{f_n\}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f$ i piszemy $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{f}_n=f$ lub $f_n⟶f$, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X:\ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ f(x), }

co z kolei (z definicji granicy ciągu w przestrzeniach metrycznych; patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.am1.w.04.0020|) oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X\ \ \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon. }

(2) Mówimy, że ciąg $\{f_n\}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ na zbiorze $X$ i piszemy $f_n\rightrightarrows f,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in \mathbb{N}\ \ \forall n\ge N\ \ \forall x\in X:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon. }

Zauważmy, że definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji zbieżności punktowej $N$ dobierane do $\epsilon >0$ może zmieniać się w zależności od punktu $x$. Natomiast w definicji zbieżności jednostajnej $N$ dobrane do $\epsilon >0$ nie zależy od $x$. Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.2.

Jeśli $X\ne \mathrm{\varnothing }$ jest dowolnym zbiorem, $(Y,\varrho )$ przestrzenią metryczną, $f:X⟶Y$ oraz $f_n:X⟶Y$ funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg[ f_n \ \rightrightarrows f \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ f_n \ \longrightarrow\ f \bigg]. }

Uwaga 4.3.

Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli ciąg funkcyjny $\{f_n\}$ ma granicę punktową $f$, to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji $g$, to $f=g$. Innymi słowy jeśli ciąg $\{f_n\}$ ma granicę punktową $f$, to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja $f$. Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej (patrz uwaga poniżej).

Uwaga 4.4.

Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do implikacji w Twierdzeniu Uzupelnic t.am2.w.02.0020| (czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności jednostajnej).
Aby to zobaczyć rozważmy ciąg funkcji $\{f_n:[0,1]⟶\mathbb{ℝ}\}$ zdefiniowanych przez

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n(x) \ =\ x^n \quad } dla $x\in [0,1].$

Łatwo widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in[0,1),\\ 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x=1. \end{array} \right. }

Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f$. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Weźmy teraz $\epsilon =\frac{1}{3}$. Z naszej hipotezy wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n \ge N_1\ \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f(x)\big| \ <\ \varepsilon \ =\ \frac{1}{3}. }

Ale ponieważ $f_{N_1}(x)=x^{N_1}⟶1$ gdy $x\to 1$, zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x_0\in (0,1):\ \big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \ <\ \frac{1}{3}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \big|f_{N_1}(x_0)-\underbrace{f(x_0)}\limits_{=0}\big| &= \big|f_{N_1}(x_0)-0\big| \ =\ \big|f_{N_1}(x_0)-1+1-0\big| \ \ge\ \big|1-0\big|-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|\\ &= 1-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \ >\ 1-\frac{1}{3} \ =\ \frac{2}{3} \ >\ \varepsilon \ =\ \frac{1}{3}, \endaligned}

co daje sprzeczność z wyborem $N_1$.

Uwaga 4.5.

Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność jednostajna $f_n\rightrightarrows f$. Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji $f$", to dla odpowiednio dużych $n\ge N$, wykresy wszystkich funkcji $f_n$ będą w tym otoczeniu.
Na pierwszym rysunku mamy ciąg funkcji $f_n(x)=x^n$ dla $x\in [0,1]$. Żadna z tych funkcji nie zawiera się w epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej (patrz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.02.0040|)
{ Rysunek AM2.02.09a}
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji $f_n(x)=\frac{1}{n}x$ dla $x\in [0,1]$. Tutaj widać, że dla dowolnie małego $\epsilon >0$, wszystkie funkcje począwszy od pewnego $N\in \mathbb{\mathbb{N}}$ znajdą się w pasie $\mathbb{ℝ}\times (-\epsilon ,\epsilon )$, który jest otoczeniem funkcji granicznej $f\equiv 0$.
{ Rysunek AM2.02.09b}

Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (patrz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.02.0060| oraz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.02.0040|).

Twierdzenie 4.6.

(Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych)
Jeśli $(X,d_X)(Y,d_Y)$ są przestrzeniami metrycznymi, $f:X⟶Y$ oraz $f_n:X⟶Y$ są funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, $x_0\in X$ oraz $f_n\rightrightarrows f,{\displaystyle }$
to
(1) jeśli funkcje $f_n$ są ciągłe w punkcie $x_0$, to $f$ jest funkcją ciągłą w punkcie $x_0$;
(2) jeśli funkcje $f_n$ są ciągłe, to $f$ jest funkcją ciągłą.

Dowód twierdzenia 4.6.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje $f_n$ są ciągłe w punkcie $x_0\in X$.
Ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Ponieważ $f_n\rightrightarrows f,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in X:\ d_Y\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \frac{\varepsilon}{3}, }

w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\ge N:\ d_Y\big(f_n(x_0),f(x_0)\big) \ <\ \frac{\varepsilon}{3}. }

Ponieważ funkcja $f_N$ jest ciągła w punkcie $x_0$, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0\ \forall x\in X:\ \big[d_X(x,x_0)<\delta \Longrightarrow d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big) \ <\ \frac{\varepsilon}{3}\big]. }

Niech teraz $x\in X$ będzie taki, że $d_X(x,x_0)<\delta$. Wówczas korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech powyższych nierówności, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) &\le& \displaystyle d_Y\big(f(x),f_N(x)\big) +d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big)\\ &+& \displaystyle d_Y\big(f_N(x_0),f(x_0)\big) < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} \ =\ \varepsilon, \end{array} }

zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ \big[d_X(x,x_0)<\delta \Longrightarrow d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) \ <\ \varepsilon\big], }

a to oznacza ciągłość funkcji $f$ w punkcie $x_0$.
(Ad (2)) Od razu wynika z (1).

Uwaga 4.7.

Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w Uwadze Uzupelnic u.am2.w.02.0040| składał się z funkcji ciągłych oraz miał granicę nieciągłą, więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować, że nie jest on jednostajnie zbieżny.

Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji $\{f_n\}$, to samo dają dwie następujące operacje:
(1) obliczenie granicy $f$ ciągu funkcyjnego $\{f_n\}$, a następnie obliczenie granicy funkcji granicznej $f$ w punkcie $x_0$, oraz
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu $\{f_n\}$ w punkcie $x_0$, a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym ciągiem liczbowym granic.
Innymi słowy zachodzi następujący wzór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x). }

Zwróćmy uwagę, że każdy z symboli "$\lim$" po lewej i prawej stronie oznacza co innego (raz jest to granica ciągu liczbowego, a raz granica funkcji w punkcie). Formalne sformułowanie powyższego wzoru wraz ze wszystkimi założeniami potrzebnymi do jego zachodzenia podane jest w poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Twierdzenie 4.8.

Jeśli $(X,d_X)(Y,d_Y)$ są przestrzeniami metrycznymi, przy czym przestrzeń $(Y,d_Y)$ jest zupełna, $A\subseteq X$, $f:A⟶Y$ oraz $f_n:A⟶Y$ są funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, $f_n\rightrightarrows f,a$ jest punktem skupienia zbioru $A$ oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\ \ \exists\lim_{x\rightarrow a}f_n(x)=b_n, }

to
(1) ciąg $\{b_n\}$ jest zbieżny;
(2) $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{b}_n$.

Szeregi funkcyjne

Definicja 4.9.

Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem oraz niech $f_n:A⟶\mathbb{ℝ}$ będą funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$.
Szeregiem $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ (lub $f_1+f_2+\dots$) nazywamy ciąg (tzw. ciąg sum częściowych) $\{F_n\}$, gdzie $F_n=\sum _{i=0}^n{f}_i$, to znaczy $F_n:A⟶\mathbb{ℝ}$, $F_n(x)=\sum _{i=0}^n{f}_i(x)$ dla $x\in A$.

Mówimy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest zbieżny (punktowo) na $A$ do sumy $f:A⟶\mathbb{ℝ}$, jeśli

$F_n⟶f($ punktowo, to znaczy $F_n(x)⟶f(x)$ dla $x\in A).$

Wówczas piszemy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n=f$.

Mówimy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest zbieżny jednostajnie na $A$ do sumy $f$, jeśli $F_n\rightrightarrows f.$

Twierdzenie 4.10.

Jeśli $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest szeregiem funkcyjnym, to

$[$ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jestzbieżny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg] \ \ \Longleftrightarrow\ \ \bigg[\forall x\in A:\ } szeregliczbowy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ jestzbieżny $].$

Dowód twierdzenia 4.10.

Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.

Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna temu, że jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0070|). Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.

Twierdzenie 4.11.

Jeśli $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest szeregiem funkcyjnym, to szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{l}\displaystyle &\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in A:\\ & \displaystyle\bigg[ \big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\ \big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big) \bigg] \end{array} }

Dowód twierdzenia 4.11.

"$⟹$"
Załóżmy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f$ i oznaczmy przez $F_n$ ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Z definicji jednostajnej zbieżności ciągu $\{F_n\}$ wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in A:\ \big|F_n(x)-f(x)\big| \ <\ \frac{\varepsilon}{2}. }

Zatem dla $m>n>N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big| &=&\displaystyle \big|F_m(x)-f(x)+f(x)-F_n(x)\big|\\ &\le &\displaystyle |F_m(x)-f(x)\big|+\big|F_n(x)-f(x)\big| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. \end{array} }

A zatem szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ spełnia warunek Cauchy'ego.

"$⟸$"
Załóżmy teraz, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ spełnia warunek Cauchy'ego. Po pierwsze zauważmy, że wówczas dla dowolnego $x\in A$ szereg liczbowy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych, a zatem jest zbieżny (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0070|) punktowo, powiedzmy do funkcji $f$, to znaczy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)=f(x)$ dla $x\in A$. Pokażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest zbieżny do $f$ jednostajnie.

Niech $\{F_n\}$ ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego szeregu. ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Z warunku Cauchy'ego wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle & \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in A:\\ &\bigg[ \big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\ \big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big) \bigg], \end{array}}

a to oznacza, że dla $m>n>N$ oraz $x\in A$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Przejdźmy w powyższej nierówności do granicy z $m\to +\mathrm{\infty }$ (przy ustalonych $x\in A$ i $n>N$). Dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in A\ \forall n>N:\ \big|f(x)-F_n(x)\big| \ \le\ \varepsilon. }

A zatem ciąg $F_n\rightrightarrows f$, czyli szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest jednostajnie zbieżny do $f$, co należało dowieść.

Analogicznie jak w przypadku ciągów funkcyjnych, zbieżność jednostajna szeregów implikuje zbieżność punktową. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Twierdzenie 4.12. [Zbieżność a jednostajna zbieżność]

Jeśli $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do sumy $f$, to $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n=f$ (to znaczy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest zbieżny (punktowo) do sumy $f$).

Analogicznie do twierdzenia dotyczącego ciągów, dla szeregów także mamy ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.

Twierdzenie 4.13.

(Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych)
Jeśli $A\subseteq \mathbb{ℝ}$, $x_0\in A$, $f_n:A⟶\mathbb{ℝ}$ są funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest jednostajnie zbieżny do sumy $f:A⟶\mathbb{ℝ}$, to
(1) jeśli funkcje $f_n$ są ciągłe w punkcie $x_0$ dla każdego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, to $f$ jest funkcją ciągłą w $x_0$;
(2) jeśli funkcje $f_n$ są ciągłe dla każdego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, to $f$ jest funkcją ciągłą.

Dowód twierdzenia 4.13.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje $f_n$ są ciągłe w punkcie $x_0$ dla każdego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$. Zatem także sumy częściowe $F_n=f_1+f_2+\dots +f_n$ są ciągłe w punkcie $x_0$ (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.08.0170|). Zatem z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0050| wnioskujemy, że granica $f=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{F}_n$ (która istnieje z założenia) jest funkcją ciągłą.
(Ad (2)) Wynika wprost z (1).

Dla szeregów zachodzi twierdzenie analogiczne do Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0070|. Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w punkcie, to otrzymamy to samo co licząc granice w punkcie dla poszczególnych wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak otrzymanego szeregu liczbowego. Innymi słowy w szeregu jednostajnie zbieżnym $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ można przejść do granicy w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x). }

Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na Twierdzeniu Uzupelnic t.am2.w.02.0070| zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.

Twierdzenie 4.14.

Jeśli $A\subseteq \mathbb{ℝ}$, $a$ jest punktem skupienia zbioru $A$, $f_n:A⟶\mathbb{ℝ}$ są funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest jednostajnie zbieżny oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \exists \lim_{x\rightarrow a}f_n(x)\ =\ c_n\in\mathbb{R}, }

to
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ jest szeregiem liczbowym zbieżnym;
(2) istnieje granica $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ oraz $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$.

Dla szeregów funkcyjnych podamy jedno kryterium zbieżności. Jest ono odpowiednikiem kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są wspólnie ograniczone przez wyrazy szeregu liczbowego zbieżnego, to szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zauważmy, że kryterium to ma dość silne założenie wspólnej ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność (punktową), ale aż zbieżność jednostajną.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.15. [Kryterium Weierstrassa]

Jeśli $f_n:A⟶\mathbb{ℝ}$ są funkcjami dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jest zbieżny oraz $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}},x\in A:|f_n(x)|\le a_n$, to szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ jest jednostajnie zbieżny na $A$.

Dowód twierdzenia 4.15.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Na mocy Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0100| wiemy, że wystarczy pokazać zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$. W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jako zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0070|), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:\ a_{n+1}+\ldots+a_m<\varepsilon. }

Zatem dla $m>n>N$ oraz dla dowolnego $x\in A$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big| f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x) \big| \ \le\ \big| f_{n+1}(x) \big| +\ldots+ \big| f_m(x) \big| \ \le\ a_{n+1}+\ldots+ a_m\ <\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$ spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów, a zatem jest jednostajnie zbieżny.

W kolejnym przykładzie wykorzystamy kryterium Weierstrassa do zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.

Przykład 4.16.

Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{nx}{1+n^5{x}^2}$. Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na $\mathbb{ℝ}$.

Rozwiązanie

Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^5{x}^2}$ są ograniczone przez wyrazy pewnego zbieżnego szeregu liczbowego. Wyznaczmy ekstrema funkcji $f_n$. Obliczamy pochodne:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n'(x) \ =\ \frac{n\cdot(1+n^5x^2)-nx\cdot 2n^5x}{(1+n^2x^2)^2} \ =\ \frac{n(1-n^5x^2)}{(1+n^2x^2)^2} \qquad\forall\ n\ge 1. }

Z warunku koniecznego istnienia ekstremum (zauważmy, że funkcje $f_n$ są klasy $C^{\mathrm{\infty }}$), otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n'(x) \ =\ 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ =\ \pm \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \qquad\forall\ n\ge 1. }

Zauważając ponadto, że $\underset{n\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=0$, stwierdzamy, że funkcja $f_n$ ma ekstrema globalne w punktach $\pm \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}$. Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}\big|f_n(x)\big| \ \le\ \left|f_n\left(\pm\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}\right)\right| \ =\ \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}} \qquad\forall\ n\ge 1. }

{ Rysunek AM2.02.03}
{ Rysunek AM2.02.04: Animacja}

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\alpha =\frac{3}{2}>1$; patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.am1.w.07.0140|), zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny (i to bezwzględnie) dla każdego $x\in \mathbb{ℝ}$ oraz z kryterium Weierstrassa (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.02.0140|) jest zbieżny jednostajnie w $\mathbb{ℝ}$.

Korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.02.0120|) otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego szeregu jest ciągła.

Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale nie koniecznego zbieżności szeregów funkcyjnych. Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.

Przykład 4.17.

Pokazać jednostajną zbieżność szeregu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ na przedziale $[0,1]$, gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\ \displaystyle \frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right),\\ \\ \displaystyle 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right].\\ \end{array} \right. }

Zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $\{F_n\}$ ciąg sum częściowych szeregu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$. Ponieważ przedziały $(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n})$ są parami rozłączne, więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\ \displaystyle \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right), \ k=1,\ldots,n,\\ \\ 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\ \end{array} \right. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} F_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & x=0,\\ \\ \displaystyle \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right), \ k=1,2,\ldots,\\ \\ 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\ \end{array} \right. }

{ Rysunek AM2.02.05}
Ponieważ funkcje $x⟼\frac{1}{k}{\sin }^2\left(2^{k+1}\pi x\right)$ na przedziale $(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k})$ są dodatnie i przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące $\frac{1}{k}$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sup_{x\in[0,1]} \big|F(x)-F_n(x)\big| \ =\ \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} 0, }

więc $F_n\rightrightarrows F$ na $[0,1]$ co należało pokazać.
Zauważmy ponadto, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)\big| \ =\ \frac{1}{n}, }

oraz każdy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ taki, że $c_n\ge \frac{1}{n}$, jest rozbieżny z kryterium porównawczego (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0090|). Zatem założenia twierdzenia Weierstrassa nie są spełnione.

Szereg Taylora

Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.10.090|).

Twierdzenie 4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]

Jeśli $I\subseteq \mathbb{ℝ}$ jest przedziałem, $f:I⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją $(n+1)$-krotnie różniczkowalną, $a\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}I$, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \% \forall x\in I\ \exists\vartheta\in(0,1):\ f(x)= f(a) +\frac{1}{1!}f'(a)(x-a) +\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 +\ldots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n +R_n(x), }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle R_n(x) \ =\ \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}\big(a+\vartheta(x-a)\big)(x-a)^{(n+1)}. }

Niech $I\subseteq \mathbb{ℝ}$ oraz niech $f\in C^{\mathrm{\infty }}(I)$. Niech $a\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}I$.
Możemy rozważać szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(a)(x-a{)}^n,$

zwany szeregiem Taylora funkcji $f$ o środku w punkcie $a$ (umowa $f^{(0)}(x)=f(x)$).
W szczególności dla $a=0\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}I$, mamy

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n,$

Colin Maclaurin (1698-1746)
Zobacz biografię

zwany szeregiem Maclaurina.

Z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0170| (o wzorze Taylora) wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora był zbieżny jest aby $R_n⟶0$, gdzie $R_n$ oznacza resztę Lagrange'a we wzorze Taylora.

Twierdzenie 4.19.

Szeregi Maclaurina funkcji: $e^x$, $\sin x$ oraz $\cos x$ są zbieżne w $\mathbb{ℝ}$, a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla $x\in \mathbb{ℝ}$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, }

{ Rysunek AM2.02.06: Animacja}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sin x \ =\ \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, }

{ Rysunek AM2.02.07: Animacja}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \cos x \ =\ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}. }

{ Rysunek AM2.02.08: Animacja}

Dowód twierdzenia 4.19.

Ponieważ wszystkie pochodne funkcji $f(x)=e^x$ wynoszą $f^{(n)}(x)=e^x$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} +R_n(x), }

gdzie $R_n(x)=\frac{e^y}{(n+1)!}{y}^{n+1}$ dla pewnego $y\in [0,x]$ (lub $y\in [x,0]$, gdy $x<0$). Zatem

$|e^x-\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}|=|R_n(x)|.$

Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$ do funkcji $f(x)=e^x$ należy wykazać, że ciąg reszt $\{R_n(x)\}$ zmierza do zera (dla dowolnego $x\in \mathbb{ℝ}$). Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|R_n(x)\big| \ =\ \bigg| \frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1} \bigg| \ \le\ \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}. }

Ostatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym $x\in \mathbb{ℝ}$ zmierza do $0$ gdy $n\to +\mathrm{\infty }$. A zatem $e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$

Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.

Uwaga 4.20.

Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy $C^{\mathrm{\infty }}$ jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jest

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} e^{-\frac{1}{x^2}} & \textrm{dla} \displaystyle & x\ne 0,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0, \end{array} \right. }

Aby to pokazać należy obliczyć pochodne funkcji $f$ w $0$ (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.

Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w $x_0$ nazywamy analitycznymi.