Analiza matematyczna 2/Wykład 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Uogólniamy znane z analizy matematycznej I pojęcie pochodnej na przypadek funkcji wielu zmiennych. Definiujemy pochodną funkcji o wartościach wektorowych oraz różniczkę zupełną w sensie Frecheta. Dowodzimy własności różniczki zupełnej i wyrażamy ją za pomocą pochodnych cząstkowych. Definiujemy także różniczki wyższych rzędów.

Pochodna funkcji jednej zmiennej o wartościach wektorowych

Wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji poprzedziliśmy przypomnieniem dwóch wielkości fizycznych: prędkości średniej i prędkości chwilowej w ruchu prostoliniowym. Zwróćmy uwagę na to, że w otaczającym nas świecie ruch po prostej jest rzadkością, gdyż większość obiektów, które obserwujemy, porusza się po drodze na płaszczyźnie dwuwymiarowej, bądź w przestrzeni trójwymiarowej. Wprowadźmy więc pojęcie pochodnej, które odpowiada m.in. potrzebie opisu ruchu w realnym świecie.

Niech $f:(a,b)\ni t\mapsto f(t)\in Y$ będzie funkcją określoną na przedziale otwartym o wartościach w przestrzeni unormowanej $Y$. Możemy mieć na myśli na przykład przestrzeń unormowaną $Y={\mathbb{ℝ}}^n$, w której długość wektora $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ wyraża norma $\Vert y\Vert =\sqrt{|y_1{|}^2+|y_2{|}^2+\dots +|y_n{|}^2}$.

Definicja 7.1.

Mówimy, że funkcja $f:(a,b)\mapsto Y$ jest różniczkowalna w punkcie $t_0\in (a,b)$, jeśli istnieje wektor $y_0\in Y$ taki, że iloraz różnicowy $\frac{1}{h}(f(t_0+h)-f(t_0))$ zmierza do $y_0$ w normie przestrzeni $Y$, to znaczy

$\Vert \frac{1}{h}(f(t_0+h)-f(t_0))-y_0\Vert \to 0,\text{ gdy }h\to 0.$

Wektor $y_0\in Y$ nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $t_0$ i oznaczamy

symbolem $\frac{d}{dt}f(t_0)$ lub $f^{\prime }(t_0)$.

Uwaga 7.2.

W szczególnym przypadku, gdy $Y={\mathbb{ℝ}}^n$, funkcja

$f:(a,b)\ni t\mapsto f(t)=(f_1(t),f_2(t),\dots ,f_n(t))\in {\mathbb{ℝ}}^n$

jest zestawieniem $n$ funkcji $f_k:(a,b)\ni t\mapsto f_k(t)\in \mathbb{ℝ}$ o wartościach liczbowych. Stąd istnienie pochodnej $\frac{d}{dt}f(t_0)$ jest równoważne istnieniu pochodnych wszystkich składowych funkcji $f$ w punkcie $t_0$. Wówczas też pochodna $f$ jest zestawieniem pochodnych swoich składowych, tzn.

$\frac{d}{dt}f(t_0)=(\frac{d}{dt}{f}_1(t_0),\frac{d}{dt}{f}_2(t_0),\dots ,\frac{d}{dt}{f}_n(t_0)).$

Przykład 7.3.

Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned x(t)=a\cos t\\ y(t)=b \sin t\endaligned \right . \ \ \ \ \text{ gdzie }a\geq b>0.}

Jak łatwo zauważyć punkt

porusza się po elipsie o równaniu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

gdyż (na podstawie jedynki trygonometrycznej)

mamy równość $\frac{x(t{)}^2}{a^2}+\frac{y(t{)}^2}{b^2}={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1.$

Ruch ten jest okresowy, wystarczy więc ograniczyć zbiór wartości parametru $t$ do przedziału $[0,2\pi ]$. Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych

$v(t)=(\frac{d}{dt}x(t),\frac{d}{dt}y(t))=(-a\sin t,b\cos t).$

{ Rysunek, ANIMACJA am1w09.0100}

Długość wektora prędkości $v(t)$ jest pierwiastkiem z sumy kwadratów składowych tego wektora:

$|v(t)|=\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t}=\sqrt{(a^2-b^2){\sin }^{2}t+b^2}$

i jest największa wówczas, gdy funkcja $t\mapsto {\sin }^{2}t$ przyjmuje wartość największą (równą jedności), a więc w przedziale $0\le t\le 2\pi$ w chwili $t=\frac{\pi }{2}$ oraz $t=\frac{3\pi }{2}$, tj. w punktach $(0,b)$ oraz $(0,-b)$ elipsy. Z kolei prędkość $|v(t)|$ jest najmniejsza wówczas, gdy funkcja $t\mapsto {\sin }^{2}t$ osiąga wartość najmniejszą (równą zeru). W przedziale $0\le t\le 2\pi$ zachodzi to w chwili $t=0$ oraz $t=\pi$, co odpowiada położeniu w punktach $(a,0)$ oraz $(-a,0)$. Rozwiązanie zadania jest intuicyjnie oczywiste: chcąc bezpiecznie pokonać ostrzejszy zakręt musimy zwolnić. Na łagodnym łuku (na łuku o małej krzywiźnie) można przyśpieszyć.

Przykład 7.4.

Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\aligned x(t)=\cos^3 t\\ y(t)= \sin^3 t\endaligned \right . .}

Punkt ten porusza się po krzywej zwanej asteroidą o

równaniu $|x{|}^{\frac{2}{3}}+|y{|}^{\frac{2}{3}}=1,$

gdyż (na mocy jedynki trygonometrycznej) mamy równość $|x(t){|}^{\frac{2}{3}}+|y(t){|}^{\frac{2}{3}}={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$. Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych

$v(t)=(\frac{d}{dt}x(t),\frac{d}{dt}y(t))=(-3{\cos }^{2}t\sin t,3{\sin }^{}t\cos t).$

Długość wektora prędkości $v(t)$ jest pierwiastkiem z sumy kwadratów jego składowych:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned |v(t)|&=\sqrt{9\cos^4 t\sin^2 t+9\sin^4 \cos^2t}\\ &=\sqrt{9\cos^2 t\sin^2 t(\cos^2 t+\sin^2 t)}=3|\cos t\sin t|=\frac{3}{2}|\sin 2t|.\endaligned }

{ Rysunek, ANIMACJA am1w09.0120 }

Podobnie jak w poprzednim przykładzie ruch ten jest okresowy o okresie $2\pi$, wystarczy więc zbadać go w przedziale $0\le t\le 2\pi$. Zauważmy, że w opisanym ruchu prędkość jest największa wówczas, gdy $t\mapsto |\sin 2t|$ przyjmuje największą wartość (równą jedności), co w przedziale $0\le t\le 2\pi$ ma miejsce w czterech chwilach: gdy $t=\frac{\pi }{4}$, $t=\frac{3\pi }{4}$, $t=\frac{5\pi }{4}$, $t=\frac{7\pi }{4}$. Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z punktów $(a,a)$, $(-a,a)$, $(-a,-a)$, $(a,-a)$, gdzie $a=\frac{1}{2\sqrt{2}}$, które -- jak nietrudno zauważyć -- leżą w środku łagodnego łuku asteroidy. Z kolei w chwili $t=0$, $t=\frac{\pi }{2}$, $t=\pi$, $t=\frac{3\pi }{2}$ funkcja $t\mapsto |\sin 2t|$ osiąga wartość najmniejszą równą zeru. Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z ostrzy asteroidy: w punkcie $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ lub $(0,-1)$. Zerowa prędkość punktu w tych położeniach jest również intuicyjnie oczywista: chcąc gładko pokonać tak ostry zakręt, na którym wręcz trzeba zawrócić, należy się na chwilę

zatrzymać.

W ramach kursu analizy matematycznej I określiliśmy pojęcie pochodnej w punkcie $a$ funkcji $f$ jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych, a na początku tego wykładu rozszerzyliśmy pojęcie pochodnej na przypadek funkcji jednej zmiennej o wartościach w dowolnej przestrzeni wektorowej $Y$ za pomocą granicy ilorazu różnicowego

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$

którą (o ile istnieje) oznaczamy symbolem $f^{\prime }(x_0)$ lub $\frac{d}{dt}f(x_0)$. Zwróćmy uwagę, że w przypadku, gdy funkcja $f:\mathbb{ℝ}\supset (a,b)\mapsto Y$ osiąga wartości w przestrzeni wektorowej $Y$, pochodna $f^{\prime }(x_0)\in Y$ jest wektorem.

Różniczka zupełna

Uwaga 7.5.

Funkcja $f:(a,b)\mapsto Y$ o wartościach w przestrzeni unormowanej $Y$ ma pochodną w punkcie $x_0\in (a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor $y_0\in Y$ taki, że

$\Vert f(x_0+h)-f(x_0)-h{y}_0\Vert =o(|h|)$, czyli $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Vert f(x_0+h)-f(x_0)-h{y}_0{\Vert }_Y}{|h|}=0.$

Dowód 7.6.

Jeśli iloraz różnicowy $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

zmierza do $f^{\prime }(a)\in Y$ w normie

przestrzeni $Y$, to $\Vert \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f^{\prime }(x_0)\Vert \to 0,\text{ gdy }h\to 0,$ czyli $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Vert f(x_0+h)-f(x_0)-h{y}_0{\Vert }_Y}{|h|}=0,$

gdy $y_0=f^{\prime }(x_0)$. Z kolei z istnienia wektora $y_0\in Y$ takiego, że istnieje

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Vert f(x_0+h)-f(x_0)-h{y}_0{\Vert }_Y}{|h|}=0$

wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

i jest równa $y_0$, a więc $f^{\prime }(x_0)=y_0$, gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma

granicę określoną jednoznacznie.

Zauważmy, że funkcja

$\mathbb{ℝ}\ni h\mapsto h{y}_0\in Y$

jest liniowa. Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia pojęcia pochodnej funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na przestrzeni unormowanej $X$ o wartościach w przestrzeni unormowanej $Y$.

Niech $X$ oraz $Y$ będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio $\Vert \cdot {\Vert }_X$ oraz $\Vert \cdot {\Vert }_Y$. Niech $U$ będzie podzbiorem otwartym przestrzeni $X$.

Definicja 7.7.

Mówimy, że funkcja $f:U\mapsto Y$ jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie $a\in U$ (lub krótko: jest różniczkowalna w punkcie $a$), jeśli istnieje odwzorowanie $L$ liniowe i ciągłe przestrzeni $X$ w $Y$ takie, że $\Vert f(a+h)-f(a)-L(h){\Vert }_Y=o(\Vert h{\Vert }_X)$, to znaczy

$\frac{\Vert f(a+h)-f(a)-L(h){\Vert }_Y}{\Vert h{\Vert }_X}\to 0,\text{ gdy }\to 0.$

Odwzorowanie liniowe i ciągłe $L$ nazywamy różniczką zupełną (lub różniczką (w sensie) Frecheta, bądź pochodną (w sensie) Frecheta) funkcji $f$ w punkcie $a$ i oznaczamy symbolem $d_{a}f$ bądź $f^{\prime }(a)$. Wartość różniczki funkcji $f$ w punkcie $a$ na wektorze $h\in X$ oznaczamy symbolem $d_{a}f(h)$ lub $d_{a}f.h$, albo też $f^{\prime }(a).h$

Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym przywykliśmy do faktu, że

Uwaga 7.8.

Każde odwzorowanie liniowe $f:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^m$ określone

na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe.

Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego $L$ w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.

Uwaga 7.9.

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami unormowanymi. Niech $L:X\mapsto Y$ będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i jednorodnym). Następujące warunki są równoważne

1) $L$ jest ciągłe

2) $L$ jest ciągłe w zerze

3) $L$ jest ograniczone, tzn. $\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Lx\Vert }{\Vert x\Vert }<\mathrm{\infty }.$

Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym wymiarze.

Przykład 7.10.

Zbiór $X$ wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym $[0,1]$ o wartościach w $\mathbb{ℝ}$ z normą

$\Vert x\Vert =\sup \{|x(t)|,t\in [0,1]\}$

stanowi przestrzeń Banacha, gdyż jest przestrzenią unormowaną z normą $\Vert \cdot \Vert$ (co łatwo sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica (w podanej normie) ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Rozważmy odwzorowanie $L:f\mapsto f^{\prime }$, które funkcji ciągłej $f$ i różniczkowalnej w $X$ przyporządkowuje jej pochodną $f^{\prime }$. Z własności pochodnej wynika, że odwzorowanie $L$ jest

-- addytywne, tj. $L(f_1+f_2)=L{f}_1+L{f}_2$, dla dowolnych funkcji różniczkowalnych $f_1$, $f_2$,

-- jednorodne, tj. $L(\lambda f)=\lambda L(f)$, dla dowolnej funkcji różniczkowalnej $f$ i stałej $\lambda$,

jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest ograniczone. Weźmy na przykład ciąg jednomianów $x^n$:

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:\Vert x^n\Vert =1.$

Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez $1$. Gdyby odwzorowanie $L$ było ciągłe, normy $L(x^n)$ byłyby ograniczone,

lecz nie są gdyż Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|L(x^n)\|=\|nx^{n-1}\|=n\to\infty, \text{ gdy }n\to\infty.}

Wynika stąd, że $L:f\mapsto f^{\prime }$ nie jest ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.

Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki Frecheta.

Twierdzenie 7.11.

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha.

a) Odwzorowanie afiniczne $F:X\ni x\mapsto x_0+\mathrm{\Lambda }(x)\in Y,\text{ gdzie }\mathrm{\Lambda }\in L(X,Y),$

jest różniczkowalne w sensie Frecheta w dowolnym punkcie $x\in X$, a jego różniczką w każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego $F$, tzn.

$\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\exists }{d}_{x}F=\mathrm{\Lambda }.$

W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest tym samym odwzorowaniem:

$d_x\mathrm{\Lambda }=\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Lambda }\in L(X,Y).$ b) Zestawienie funkcji $F:X\ni x\mapsto F(x)=(f_1(x),f_2(x))\in Y_1\times Y_2$

jest różniczkowalne w punkcie $a\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie $a$ są składowe $f_1:X\mapsto Y_1$ oraz $f_2:X\mapsto Y_2$. Zachodzi wówczas równość

$d_{a}F=(d_a{f}_1,d_a{f}_2).$

Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku, gdy

$F:X\ni x\mapsto (f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x))\in {\mathbb{ℝ}}^n$

mamy równość

$d_{a}F=(d_a{f}_1,d_a{f}_2,\dots ,d_a{f}_n).$

c) Suma funkcji różniczkowalnych $f:X\mapsto Y$, $g:X\mapsto Y$ w punkcie $a$ jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma różniczek, tzn.

$d_a(f+g)=d_{a}f+d_{a}g.$

d) Iloczyn stałej $C$ i funkcji różniczkowalnej $f:X\mapsto Y$ w punkcie $a\in X$ jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy czym

$d_a(Cf)=C{d}_{a}f.$

Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.

e) Jeśli funkcja $f:X\mapsto Y$ jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie $a$, to w tym punkcie jest ciągła.

Dowód twierdzenia 7.11.

Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.

Szczegółowe uzasadnienia pomijamy.

Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.

Twierdzenie 7.12.

Niech $X,Y,Z$ będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja $f:X\mapsto Y$ jest różniczkowalna w punkcie $a$, a funkcja $g:Y\mapsto Y$ jest różniczkowalna w punkcie $f(a)$, to złożenie $g\circ f:X\mapsto Z$ jest różniczkowalne w punkcie $a$ i

zachodzi równość: $d_a(g\circ f)=d_{f(a)}g\circ d_{a}f.$

Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich

różniczek.

Dowód twierdzenia 7.12.

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a$, a funkcja $g$ -- w punkcie $y=f(a)$, więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\|f(a+h)-f(a)-d_a f(h)\|_Y&=o(\|h\|_X)\\ &\|g(y+k)-g(y)-d_y g(k)\|_Z&=o(\|k\|_Y). \endaligned }

Stąd wobec ograniczoności różniczek $d_{a}f$ oraz $d_{y}g$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|g(f(a+h))-g(f(a))-(d_y g\circ d_a f)(h)\|_Z=o(\|h\|_X), \text{ gdzie }y=f(a),}

co dowodzi różniczkowalności złożenia $g\circ f$ w punkcie $a$ oraz równości $d_a(g\circ f)=d_{f(a)}g\circ d_{a}f.$ Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).

Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.

Twierdzenie 7.13.

Niech $f:X\supset U\ni x\mapsto f(x)\in Y$ będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze $U$ przestrzeni Banacha $X$ o wartościach w przestrzeni Banacha $Y$. Jeśli w pewnym otoczeniu

$U_1$ punktu $a\in X$ funkcja $f$ ma ciągłą różniczkę $U_1\ni x\mapsto d_{x}f\in L(X,Y)$

oraz różniczka $d_{a}f\in L(X,Y)$ jest izomorfizmem przestrzeni $X$ i $Y$, to

1) w pewnym otoczeniu $U_2\subset U_1$ punktu $a$ funkcja $f:U_2\mapsto Y$ jest różnowartościowa;

2) funkcja odwrotna $g:Y\supset f(U_2)\mapsto U_2\subset X$ do funkcji $f$ (zacieśnionej do zbioru $U_2$) jest ciągła;

3) funkcja odwrotna $g$ jest różniczkowalna w punkcie $f(a)$ i

zachodzi równość $d_{f(a)}g=(d_{a}f{)}^{-1}.$

Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.

Dowód twierdzenia 7.13.

(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że jeśli funkcja $g$ jest odwrotna do $f$, to złożenie $g(f(x))=x$, dla każdego $x\in X$, tzn. $g\circ f:X\mapsto X$ jest identycznością na przestrzeni $X$. Ponieważ $\mathrm{i}\mathrm{d}:X\mapsto X$ odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest $\mathrm{i}\mathrm{d}$. Stąd na mocy twierdzenia o różniczce

złożenia mamy $d_{f(a)}g\circ d_{a}f=d_a(g\circ f)=d_a\mathrm{i}\mathrm{d}=\mathrm{i}\mathrm{d}.$

Wobec założenia o izomorficzności $d_{a}f\in L(X,Y)$ istnieje odwzorowanie odwrotne $(d_{a}f{)}^{-1}\in L(Y,X)$, które jest różniczką funkcji odwrotnej $g$ w punkcie $f(a)$, czyli

$d_{f(a)}g=(d_{a}f{)}^{-1}$.

Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania lub twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie.

Wyrażenie różniczki Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych

W poprzednim module zdefiniowaliśmy pochodną kierunkową funkcji $f:X\mapsto \mathbb{ℝ}$ w punkcie $a$ w kierunku $v\ne 0$. Możemy tę samą definicję powtórzyć również w przypadku funkcji $f:X\mapsto Y$, w przypadku, gdy zbiorem wartości funkcji $f:X\mapsto Y$, jest dowolna przestrzeń unormowana $Y$:

${\partial }_{v}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)}{t},$

gdzie $t\in \mathbb{ℝ}$, a zbieżność ilorazów różnicowych do granicy ${\partial }_{v}f(a)\in Y$ przy $t\to 0$ rozumiemy w sensie zbieżności w normie przestrzeni $Y$.

Uwaga 7.14.

Niech $v\in X$ będzie dowolnym wektorem jednostkowym z przestrzeni $X$, tzn. $\Vert v\Vert =1$. Jeśli funkcja $f:X\mapsto Y$ jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie $a$, to istnieje pochodna kierunkowa ${\partial }_{v}f(a)$ w dowolnym kierunku $v$,

przy czym zachodzi równość ${\partial }_{v}f(a)=d_{a}f(v)\text{ dla }\Vert v\Vert =1.$

Ponadto funkcja $v\mapsto {\partial }_{v}f(a)$ jest

liniowa i ciągła.

Dowód uwagi 7.14.

Skoro $\frac{\Vert f(a+h)-f(a)-d_{a}f(h)\Vert }{\Vert h\Vert }\to 0,\text{ przy }\Vert h\Vert \to 0,$

więc w

szczególności dla $h=tv$ mamy $\frac{\Vert f(a+tv)-f(a)-d_{a}f(tv)\Vert }{\Vert tv\Vert }\to 0.$

Wobec liniowości różniczki $d_{a}f(tv)=t{d}_{a}f(v)$ oraz faktu, że $\Vert tv\Vert =|t|$, mamy

$\Vert \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-d_{a}f(v)\Vert \to 0,$

czyli iloraz różnicowy $\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$ zmierza przy $t\to 0$ do granicy $d_{a}f(v)$, więc istnieje pochodna kierunkowa ${\partial }_{v}f(a)$ i jest równa wartości różniczki zupełnej funkcji $f$ w

punkcie $a$ na wektorze $v$. Stąd funkcja $v\mapsto {\partial }_{v}f(a)=d_{a}f(v)$ jest liniowa i ciągła.

Uwaga 7.15.

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $a\in X$. Wówczas $d_{a}f=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się

pochodna kierunkowa ${\partial }_{v}f(a)=0$ w dowolnym kierunku.

Powstaje pytanie o istnienie różniczki Frecheta funkcji $f:X\mapsto Y$ w punkcie, w którym istnieją pochodne kierunkowe w dowolnym kierunku. Negatywną odpowiedź na to pytanie podaje

Przykład 7.16.

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\root{3}\of{x^3+y^3}} ma w punkcie $0\in {\mathbb{ℝ}}^2$ pochodne kierunkowe ${\partial }_{v}f(0)$ w dowolnym kierunku $\Vert v\Vert =1$, nie jest jednak różniczkowalna w sensie Frecheta w tym punkcie. Zauważmy, że dowolny wektor $\Vert v\Vert =1$ można na płaszczyźnie ${\mathbb{ℝ}}^2$ jednoznacznie przedstawić w postaci $v=(\cos \phi ,\sin \phi )$, gdzie $0\le \phi <2\pi$. Stąd $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(0+tv)-f(0)}{t}=\sqrt{{\cos }^3\phi +{\sin }^3\phi }$.

Jednak funkcja $v\mapsto {\partial }_{v}f(0)$ nie jest liniowa.

Przykład 7.17.

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\left\{\aligned \frac{x^2 y}{x^2+y^2}, \text{ dla } (x,y)\neq 0\\ 0, \text{ dla } (x,y)=0\endaligned \right.}

ma w punkcie $0$ pochodną kierunkową w każdym kierunku,

nie ma jednak różniczki Frecheta w tym punkcie.

Z praktycznego punktu widzenia w zastosowaniach najważniejsza jest możliwość wyrażenia różniczki w sensie Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych.

Twierdzenie 7.18.

Niech $f=(f_1,f_2,\dots ,f_m):{\mathbb{ℝ}}^n\supset U\mapsto {\mathbb{ℝ}}^m$ będzie funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie $a\in U$. Istnieją wówczas pochodne cząstkowe

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a), &\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a), &\dots, &\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ &\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a), &\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a), &\dots, &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a)\\ &\vdots &\vdots &\dots &\vdots\\ &\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a), &\frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a), &\dots, &\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a)\endaligned}

i są one wyrazami macierzy odwzorowania liniowego $d_{a}f\in L({\mathbb{ℝ}}^n,{\mathbb{ℝ}}^m)$ w bazie kanonicznej, to znaczy, dla dowolnego wektora $h\in {\mathbb{ℝ}}^n$ wartość $d_{a}f(h)$ odwzorowania $d_{a}f$ na wektorze $h$ jest wektorem z ${\mathbb{ℝ}}^m$ o współrzędnych

$(\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a)h_j,\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a)h_j,\dots ,\sum _{j=1}^n\frac{\partial f_m}{\partial x_j}(a)h_j).$

Dowód twierdzenia 7.18.

Wykazaliśmy, że zachodzi równość ${\partial }_{v}f(a)=d_{a}f(v)$. Ponieważ $d_{a}f=(d_a{f}_1,d_a{f}_2,\dots ,d_a{f}_m)$, więc wystarczy wykazać twierdzenie dla składowych odwzorowania $f$, tj. dla funkcji $f_i:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto \mathbb{ℝ}$. W dalszym ciągu dowodu będziemy pomijać indeks dolny $i$, zakładając, że $f_i=f$ jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Dla dowolnego wektora $e_i$, $i=1,2,\dots ,n$ bazy kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^n$ mamy (z definicji pochodnej cząstkowej) równość ${\partial }_{e_i}f(a)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$, więc dla dowolnego wektora $h=h_1{e}_1+h_2{e}_2+\dots +h_n{e}_n$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned d_a f(h)&=d_a f(h_1e_1+h_2e_2+\dots+h_ne_n)\\ &=h_1 d_a f(e_1)+h_2 d_a f(e_2)+\dots+h_n d_a f(e_n)\\ &=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+h_2\frac{\partial f}{\partial x_2}(a)+\dots+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a).\endaligned }

Uwaga 7.19.

W ramach kursu algebry liniowej zwykliśmy zapisywać wektory $h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ w postaci macierzy kolumnowej:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\endmatrix \right].}

Jeśli w taki sam sposób zapiszemy również zestawienie różniczek funkcji $f=(f_1,f_2,\dots ,f_m)$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix d_a f_1\\d_a f_2\\\vdots\\d_a f_m\endmatrix \right],}

to macierz pochodnych cząstkowych $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$, $i=1,2,\dots ,m$, $j=1,2,\dots ,n$, powinniśmy zapisać następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[ \beginmatrix \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a)\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \endmatrix \right], }

aby móc stosować algorytm mnożenia (składania) macierzy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix d_a f_1\\d_a f_2\\\vdots\\d_a f_m\endmatrix \right]= \left[ \beginmatrix \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a)\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) \endmatrix \right] \, \left[\beginmatrix h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\endmatrix \right], }

który w tym przypadku prowadzi do uzyskanego przez nas wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned d_a f_i(h)&=\frac{\partial f_i}{\partial x_1}(a)h_1+\frac{\partial f_i}{\partial x_2}(a)h_2+\dots+\frac{\partial f_i}{\partial x_n}(a)h_n\\ &=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(a)h_k, \endaligned}

gdzie $i=1,2,\dots ,m$.

Definicja 7.20.

Macierz $[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)]$, $i=1,2,\dots ,m$, $j=1,2,\dots ,n$, tj. macierz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[ \beginmatrix \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_n} \endmatrix \right] }

nazywamy macierzą Jacobiego funkcji (odwzorowania) $f:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^m$ w punkcie $a\in {\mathbb{ℝ}}^n$. Zwróćmy uwagę, że macierz Jacobiego jest macierzą prostokątną o $n$ kolumnach i $m$ wierszach. W szczególnym przypadku, gdy $n=m$ (tj: $f:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^n$) możemy policzyć wyznacznik macierzy Jacobiego,

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \text{jac}_a f: =\det \left[ \beginmatrix \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_n} \endmatrix \right] }

który nazywamy jakobianem funkcji $f$ w punkcie $a$ i oznaczamy symbolami ${\text{jac}}_{a}f$, $\text{jac}f(a)$, $J_{a}f$, $|f^{\prime }(a)|$, $|d_{a}f|$ lub $\det d_{a}f$.

Uwaga 7.21.

Autorzy podręczników używają wielu różnych (często niejednolitych) oznaczeń na oznaczenie macierzy Jacobiego i jakobianu. Pamiętajmy jednak, że jakobian jest liczbą równą wyznacznikowi macierzy Jacobiego, tj. macierzy

pochodnych cząstkowych funkcji $f:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^n$.

Kolejny wniosek dotyczy wyrażenia różniczki złożenia dwóch funkcji. Jest bardzo często wykorzystywany w praktycznych obliczeniach

Wniosek 7.22.

Niech $f=(f_1,f_2,\dots ,f_m):{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^m$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $a\in {\mathbb{ℝ}}^n$ i niech $g=(g_1,g_2,\dots ,g_k):{\mathbb{ℝ}}^m\mapsto {\mathbb{ℝ}}^k$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $f(a)$. Wiemy już, że istnieje różniczka złożenia $g\circ f:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^k$ w punkcie $a$ i jest złożeniem różniczek $d_{f(a)}g$ oraz $d_{a}f$. Różniczkę $d_{a}f$ reprezentuje macierz pochodnych cząstkowych:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[ \beginmatrix \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_n} \endmatrix \right], }

a różniczkę $d_{f(a)}g$ macierz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[ \beginmatrix \frac{\partial g_1(b)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_1(b)}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial g_1(b)}{\partial y_m}\\ \frac{\partial g_2(b)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_2(b)}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial g_2(b)}{\partial y_m}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial g_k(b)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_k(b)}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial g_k(b)}{\partial y_m}\\ \endmatrix \right], }

gdzie $b=f(a)$. Złożenie odwzorowań liniowych $d_{f(a)}g\circ d_{a}f$ reprezentuje iloczyn podanych macierzy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[ \beginmatrix \frac{\partial g_1(b)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_1(b)}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial g_1(b)}{\partial y_m}\\ \frac{\partial g_2(b)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_2(b)}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial g_2(b)}{\partial y_m}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial g_k(b)}{\partial y_1} & \frac{\partial g_k(b)}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial g_k(b)}{\partial y_m}\\ \endmatrix \right] } Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle\left[ \beginmatrix \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2(a)}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_n} \endmatrix \right]. }

Stąd pochodną cząstkową $i$-tej składowej złożenia $g\circ f$

wyraża suma $\frac{\partial (g\circ f{)}_i}{\partial x_j}(a)=\sum _{r=1}^m\frac{\partial g_i}{\partial y_r}(f(a))\cdot \frac{\partial f_r}{\partial x_j}(a).$

Uwaga 7.23.

Otrzymany wzór na pochodne cząstkowe złożenia często zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w postaci

$\frac{\partial (g\circ f{)}_i}{\partial x_j}=\sum _{r=1}^m(\frac{\partial g_i}{\partial y_r}\circ f)\cdot \frac{\partial f_r}{\partial x_j}.$

Czasem też wzór ten upraszcza się (gdy nie ma obawy nieporozumienia)

$\frac{\partial g_i}{\partial x_j}=\sum _{r=1}^m\frac{\partial g_i}{\partial y_r}\cdot \frac{\partial f_r}{\partial x_j}.$

lub jeszcze prościej

$\frac{\partial g_i}{\partial x_j}=\sum _{r=1}^m\frac{\partial g_i}{\partial y_r}\cdot \frac{\partial y_r}{\partial x_j},$

gdzie przez $y=(y_1,\dots ,y_r,\dots ,y_m)$ rozumie się zmienną niezależną (po której różniczkuje się funkcję $g_i$ w pierwszym czynniku), a równocześnie $(y_1,\dots ,y_r,\dots ,y_m)=f$ oznacza składowe funkcji $f$.

Uwaga 7.24.

W wielu klasycznych podręcznikach symbolem $d{x}_i:{\mathbb{ℝ}}^n\ni (x_1,x_2,\dots ,x_i,\dots ,x_n)\mapsto x_i\in \mathbb{ℝ}$ oznacza się rzutowanie na $i$-tą współrzędną. Zwróćmy uwagę, że każde z rzutowań $d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z ${\mathbb{ℝ}}^n$ do $\mathbb{ℝ}$. Wobec tego zamiast przedstawiać wartość różniczki na wektorze $h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)$ za pomocą

sumy $d_{a}f(h)=h_1\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}+h_2\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}+\dots +h_n\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}$

możemy zapisać bezargumentowo jako kombinację liniową rzutowań $d{x}_i$ o współczynnikach liczbowych $\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}$, czyli

$d_{a}f=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}d{x}_2+\dots +\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}d{x}_n.$

Wówczas wartość różniczki $d_{a}f$ na wektorze $h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)$ wyraża się tym samym wzorem, co poprzednio:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned d_a f(h) &=\bigg(\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}dx_2 +\dots+\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}dx\bigg)(h)\\ &=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}dx_1(h)+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}dx_2(h) +\dots+\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}dx_n(h)\\ &=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1 } h_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2 } h_2 + \dots + \frac{\partial f(a)}{\partial x_n} h_n .\endaligned }

Wniosek 7.25.

Jeśli $f:{\mathbb{ℝ}}^n\supset U\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest funkcją różniczkowalną w punkcie $a\in U$, to dla dowolnego wektora $h\in {\mathbb{ℝ}}^n$ wartość różniczki $d_{a}f$ na wektorze $h$ jest iloczynem skalarnym gradientu $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)$ funkcji $f$ w punkcie $a$ i

wektora $h$, tj. $d_{a}f(h)=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)|h)=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}{h}_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}{h}_2+\dots +\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}{h}_n,$

gdzie $(x|y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ i $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ w

przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^n$.

Ponieważ iloczyn skalarny wektorów $x$ oraz $y$ oznacza się także często za pomocą kropki: $x.y$ albo $x\cdot y$, stąd wartość różniczki $d_{a}f$ funkcji $f$ w punkcie $a$ na wektorze $h$ oznacza się też czasem symbolem: $d_{a}f.h$ zamiast $d_{a}f(h)$.

Pamiętamy, że dla dowolnych wektorów $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ oraz $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ zachodzi nierówność

Schwarza:

$|(x|y)|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |x_1 y_1+x_2y_2+\dots+x_n y_n|\leq \sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\dots+|x_n|^2} \ \sqrt{|y_1|^2+|y_2|^2+\dots+|y_n|^2},}

przy czym równość w tej nierówności zachodzi wówczas, gdy wektory $x$ oraz $y$ są liniowo zależne. Wnioskiem z nierówności Schwarza jest więc

Uwaga 7.26.

Niech $\Vert v\Vert =1$ będzie wektorem o jednostkowej długości w ${\mathbb{ℝ}}^n$. Pochodna kierunkowa ${\partial }_{v}f(a)$ osiąga największą wartość (co do wartości bezwzględnej) w kierunku wektora

gradientu.

Dowód uwagi 7.26.

Skoro $d_{a}f(v)={\partial }_{v}f(a)$ oraz $d_{a}f(v)=\sum _{k=1}^n\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}{v}_k=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)|v)$, więc ${\partial }_{v}f(a)=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)|v)$. Stąd na mocy nierówności Schwarza:

$|{\partial }_{v}f(a)|=|(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)|v)|\le \Vert \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)\Vert \Vert v\Vert ,$

przy czym funkcja $S^{n-1}\supset v\mapsto |{\partial }_{v}f(a)|$ osiąga wartość największą na sferze jednostkowej $S^{n-1}=\{v\in {\mathbb{ℝ}}^n:(v|v)=1\}$, gdy wektor $v$

jest równoległy do wektora gradientu $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(a)$.

Powstaje naturalne pytanie o warunki, jakie powinny spełniać pochodne cząstkowe, aby istniała różniczka. Warunek taki podaje

Twierdzenie 7.27.

(twierdzenie o istnieniu różniczki) Niech $f=(f_1,f_2,\dots ,f_m):{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto {\mathbb{ℝ}}^m$ będzie funkcją określoną w pewnym otwartym otoczeniu $U\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ punktu $\alpha$. Jeśli pochodne cząstkowe $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\alpha )$ istnieją i są ciągłe w otoczeniu punktu $\alpha$, to istnieje

różniczka $d_{\alpha }f$.

Dowód twierdzenia pomijamy (można go znaleźć np. na stronie 175 podręcznika Ryszarda Rudnickiego, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

Interpretacja geometryczna różniczki

Pamiętamy, że jeśli funkcja jednej zmiennej $f:\mathbb{ℝ}\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest różniczkowalna w punkcie $a$, to jej wykres ma styczną w punkcie $(a,f(a))$ o równaniu $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$. Innymi słowy pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie $(a,f(a))$.

Uwaga 7.28.

Jeśli $f:{\mathbb{ℝ}}^2\mapsto \mathbb{ℝ}$ jest funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie $(a,b)\in {\mathbb{ℝ}}^2$, to powierzchnia o równaniu $z=f(x,y)$, która jest wykresem funkcji $f$, ma płaszczyznę styczną w punkcie $(a,b,f(a,b))$ o równaniu

$z-f(a,b)=\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f(a,b)}{\partial y}(y-b).$

Przykład 7.29.

Płaszczyzna styczna do paraboloidy $P=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:z=x^2+y^2\}$

w punkcie $(a,b,a^2+b^2)\in P$ ma równanie

$z-(a^2+b^2)=2(x-a)+2(y-b).$

Różniczki wyższych rzędów

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $f:U\mapsto Y$ będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym $U\subset X$. Załóżmy, że w każdym punkcie $a\in U$ istnieje różniczka $d_{a}f\in L(X,Y)$, która -- przypomnijmy -- jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $X$ do $Y$.

Definicja 7.30.

Mówimy, że funkcja $f:U\mapsto Y$ jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie $a$, jeśli różniczkowalna jest w punkcie $a$ funkcja $d.f:U\ni x\mapsto d_{x}f\in L(X,Y)$. Różniczkę funkcji $d.f$ w punkcie $a$, która jest elementem przestrzeni $L(X,L(X,Y))$, nazywamy drugą różniczką funkcji $f$ (lub różniczką rzędu drugiego funkcji $f$) w punkcie $a$ i oznaczamy symbolem $d_a^{2}f$.

Uwaga 7.31.

W ramach algebry liniowej dowodzi się, że przestrzenie $L(X,L(X,Y))$ oraz $L^2(X,Y)$ (czyli przestrzeń odwzorowań dwuliniowych ciągłych na $X$ o wartościach w $Y$) są izomorficzne. Stąd też często mówimy, że różniczka rzędu drugiego jest odwzorowaniem dwuliniowym ciągłym na $X$ o wartościach w $Y$.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, nazwijmy różniczką rzędu zerowego funkcji $f$ samą funkcję $f$, tzn. $d^{0}f=f$. Ponadto, aby uprościć zapis i wypowiedzi twierdzeń przyjmijmy, że $L^0(X,Y):=Y$.

Załóżmy, że w każdym punkcie $a\in U$ istnieje $d_a^{k}f$ różniczka rzędu $k$ funkcji $f:U\mapsto Y$, $k\ge 0$, która jest elementem przestrzeni $L^k(X,Y)$ odwzorowań $k$ liniowych ciągłych na $X$ o wartościach w przestrzeni $Y$.

Definicja 7.32.

Mówimy, że funkcja $f$ jest $k+1$ krotnie różniczkowalna w punkcie $a\in U$, jeśli w punkcie tym różniczkowalna jest funkcja $d{.}^{k}f:U\ni x\mapsto d_x^{k}f\in L^k(X,Y)$. Różniczkę funkcji $d{.}^{k}f$ w punkcie $a$, która jest elementem przestrzeni (izomorficznej w przestrzenią) $L(X,L^k(X,Y))$, będziemy oznaczać symbolem $d_a^{k+1}f$ i będziemy nazywać różniczką rzędu $k+1$ funkcji $f$ w punkcie $a$ (lub krócej

$k+1$ różniczką funkcji $f$ w punkcie $a$).

Uwaga 7.33.

Dowodzi się, że także przestrzenie $L(X,L^k(X,Y))$ oraz $L^{k+1}(X,Y)$ (czyli przestrzeń odwzorowań $k+1$ liniowych i ciągłych na $X$ o wartościach w przestrzeni $Y$) są izomorficzne, więc często różniczkę rzędu $k+1$ funkcji $f$ w punkcie $a$ będziemy nazywać odwzorowaniem

$k+1$ liniowym i ciągłym na $X$ o wartościach w $Y$.

Pamiętamy, że jeśli $X={\mathbb{ℝ}}^n$ i $Y=\mathbb{ℝ}$, to wartość różniczki $d_{a}f\in L({\mathbb{ℝ}}^n,\mathbb{ℝ})$ na wektorze $h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ wyraża suma

$d_{a}f(h)=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}{h}_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}{h}_2+\dots +\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}{h}_n.$

Sumę tę można także wyrazić bez argumentu $h$

$d_{a}f=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}d{x}_2+\dots +\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}d{x}_n,$

gdzie

$d{x}_i:{\mathbb{ℝ}}^n\ni h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)\mapsto d{x}_i(h)=h_i\in \mathbb{ℝ}$

jest rzutowaniem na $i$-tą współrzędną.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej definiujemy funkcje klasy $C^k$.

Definicja 7.34.

Mówimy, że $f:X\supset U\mapsto Y$ jest klasy $C^k$ w zbiorze $U$ ($k=0,1,2,\dots$), jeśli w każdym punkcie $a\in U$ istnieje różniczka rzędu $k$ funkcji $f$ i odwzorowanie $U\ni a\mapsto d_a^{k}f\in L^k(X,Y)$ jest ciągłe.

Wniosek 7.35.

Jeśli $f$ jest klasy $C^2(U)$, to w każdym punkcie tego zbioru pochodne cząstkowe mieszane są równe, tzn. zachodzi równość

$\frac{\partial }{\partial x_j}\frac{\partial }{\partial x_i}f(a)=\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial x_j}f(a)$

dla dowolnych $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$ w dowolnym punkcie $a\in U$.

Innymi słowy: druga różniczka $d_a^{2}f$ jest odwzorowaniem

dwuliniowym symetrycznym.

Załóżmy, że $f\in C^m(U)$, gdzie $U\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni skończenie wymiarowej ${\mathbb{ℝ}}^n$. Wówczas różniczkę rzędu $m$ można wyrazić efektywnie za pomocą pochodnych cząstkowych rzędu $m$.

Twierdzenie 7.36.

Jeśli $f\in C^m(U)$, to w dowolnym punkcie $a\in U$ wartość różniczki rzędu $m$ na $m$-ce jednakowych wektorów $h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$, wyraża suma

$d_a^{m}f\underset{m\text{ wektorów }h}{\underbrace{(h,h,\dots ,h)}}=\sum _{|\alpha |=m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\alpha })\frac{{\partial }^m}{\partial x^{\alpha }}f(a)h^{\alpha },$

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich

możliwych wielowskaźnikach ($n$-wskaźnikach) $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0^n$

o długości

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n=m,$

natomiast

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\alpha }):=\frac{m!}{(m-|\alpha |)!\alpha !},$

jest uogólnieniem symbolu Newtona, w którym silnię wielowskaźnika $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$ definiujemy za pomocą iloczynu silni jego współrzędnych, tj.

$\alpha !={\alpha }_1!{\alpha }_2!\dots {\alpha }_n!$

oraz

$h^{\alpha }=h_1^{{\alpha }_1}{h}_2^{{\alpha }_2}\dots h_n^{{\alpha }_n}.$

Uwaga 7.37.

Wzór $d_a^{m}f(h,h,\dots ,h)=\sum _{|\alpha |=m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\alpha })\frac{{\partial }^m}{\partial x^{\alpha }}f(a)h^{\alpha },$

który podaliśmy w tezie twierdzenia czasem zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w następującej postaci

$d_a^{m}f=\sum _{|\alpha |=m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\alpha })\frac{{\partial }^{m}f(a)}{\partial x^{\alpha }}d{x}^{\alpha }$ lub $d_{.}^{m}f=\sum _{|\alpha |=m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\alpha })\frac{{\partial }^{m}f}{\partial x^{\alpha }}d{x}^{\alpha }$

gdzie $d{x}^{\alpha }:{\mathbb{ℝ}}^n\mapsto \mathbb{ℝ}$

definiujemy na wektorze $h\in {\mathbb{ℝ}}^n$ wzorem $d{x}^{\alpha }(h):=h^{\alpha }=h_1^{{\alpha }_1}{h}_2^{{\alpha }_2}\dots h_n^{{\alpha }_n}\in \mathbb{ℝ}.$

Dowód uwagi 7.37.

Wykażemy podany wzór w przypadku funkcji dwóch zmiennych, aby uprościć notację. W ogólnym przypadku uzasadnienie jest podobne. Jeśli $f:{\mathbb{ℝ}}^2\supset U\ni (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)$ jest różniczkowalna, to wartość jej różniczki w punkcie $a\in U$ na

wektorze $h=(h_1,h_2)$ wyraża suma $d_{a}f(h)=\frac{\partial }{\partial x_1}f(a)h_1+\frac{\partial }{\partial x_2}f(a)h_2.$

Jeśli $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna, to

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned d^2 f & =d\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\bigg) \\&=\frac{\partial }{\partial x_1} \bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\bigg)dx_1 +\frac{\partial }{\partial x_2}\big(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\big)dx_2\\&= \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_1}dx_1dx_1+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial x_1}dx_2dx_1+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}dx_1dx_2+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial x_2}dx_2dx_2\\&= \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}dx_1^2+2\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}dx_1dx_2+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}dx_2^2\\&= \binom{2}{0}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}dx_1^2+\binom{2}{1}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}dx_1dx_2+\binom{2}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}dx_2^2\\&=\sum_{|\alpha|=2}\binom{2}{\alpha}\frac{\partial^\alpha f}{\partial x^\alpha}dx^\alpha,\endaligned}

gdyż pochodne cząstkowe mieszane $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}$ oraz $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}$ są równe wobec założenia o klasie funkcji $f$. Następnie zakładając, że wzór zachodzi dla różniczki rzędu $2\le k<m$ dowodzimy go dla

różniczki rzędu $k+1$. Szczegółowe przekształcenia pomijamy.