Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 13: Przestrzenie afiniczne I

Zadanie 13.1

Niech

$X=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1-3x_2=3,x_3+x_2=5\}.$

Niech

$\omega :X\times X\ni ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\to y_2-x_2\in \mathbb{ℝ};$

$\delta :X\times \mathbb{ℝ}\ni ((x_1,x_2,x_3),\alpha )\to (x_1+3\alpha ,x_2+\alpha ,x_3-\alpha )\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

Wykazać, że $\delta$ jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór $X\times \mathbb{ℝ}$ w zbiór $X$. Wykazać, że $(X,\mathbb{ℝ},\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną.

Wskazówka

$\mathbb{ℝ}$ traktujemy jako przestrzeń wektorową nad ciałem $\mathbb{ℝ}$. Oznaczenie

$\omega (x,y)$ stosujemy zamiast oznaczenia $\overrightarrow{xy}$, a $\delta (x,v)$ zamiast oznaczenia $x+v$ z wykładu XIII.

Rozwiązanie

Sprawdzimy najpierw, czy $\delta$ jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór

$X\times \mathbb{ℝ}$ w zbiór $X$. W tym celu ustalmy dowolną liczbę rzeczywistą $\alpha$ oraz dowolny punkt $\mathbf{𝐱}=(x_1,x_2,x_3)\in X$. Musimy wykazać, że współrzędne punktu

$\delta (\mathbf{𝐱},\alpha )=(x_1+3\alpha ,x_2+\alpha ,x_3-\alpha )$

spełniają układ równań opisujący zbiór $X$, czyli

$\{\begin{array}{ccrc}{x}_1& -& 3x_2& =3\\ x_3& +& x_2& =5.\end{array}$

Zauważmy, że rozwiązania tego równania są postaci

$(3,0,5)+s(3,1,-1).$

Wstawiając współrzędne punktu $\delta (\mathbf{𝐱},\alpha )$ do pierwszego równania powyższego układu otrzymujemy:

$x_1+3\alpha -3(x_2+\alpha )=x_1-3x_2=3$

Wstawiając współrzędne punktu $\delta (\mathbf{𝐱},\alpha )$ do drugiego równania powyższego układu otrzymujemy:

$x_3-\alpha +x_2+\alpha =x_3+x_2=5.$

Wykazaliśmy zatem, że $\delta (\mathbf{𝐱},\alpha )\in X$ dla wszystkich $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ oraz $\mathbf{𝐱}\in X$. Aby udowodnić, że $X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $\mathbb{ℝ}$ musimy uzasadnić, że spełnione są następujące warunki:

i) dla dowolnego $\mathbf{𝐱}\in X$ oraz $\alpha \in \mathbb{ℝ}$ równość

$\delta (\mathbf{𝐱},\alpha )=\mathbf{𝐲}$

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})=\alpha .$

ii) dla dowolnych $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲},\mathbf{𝐳}\in X$

$\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})+\omega (\mathbf{𝐲},\mathbf{𝐳})=\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐳})$

W celu sprawdzenia pierwszego z tych warunków ustalmy dowolny $\mathbf{𝐱}\in X$ oraz $\alpha \in \mathbb{ℝ}$. Mamy wówczas

$\delta (\mathbf{𝐱},\alpha )=(x_1+3\alpha ,x_2+\alpha ,x_3-\alpha )=\mathbf{𝐲}=(y_1,y_2,y_3)$

wtedy i tylko wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_1 + 3\alpha &=y_1,& x_2 + \alpha&=y_2,& x_3 - \alpha&=y_3.\tag{} *Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\endaligned”): {\displaystyle \displaystyle } \endaligned}      (*)

Z definicji przestrzeni $X$ wynika, że współrzędne punktu $\mathbf{𝐲}$ są jednoznacznie wyznaczone przez jedną z nich, np. drugą i wówczas

$\mathbf{𝐲}=(3+3y_2,y_2,5-y_2)$

Wynika stąd, że trzy równości oznaczone (*) są równoważne jednej

$x_2+\alpha =y_2,$

czyli

$y_2-x_2=\alpha .$

Ta ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})=\alpha ,$

co kończy dowód pierwszego z warunków występujących w definicji przestrzeni afinicznej. Dla dowodu drugiego warunku ustalmy $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲},\mathbf{𝐳}\in X$, gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \mathbf{x}&=(x_1,x_2,x_3),&\mathbf{y}&=(y_1,y_2,y_3),&\mathbf{z}&=(z_1,z_2,z_3). \endaligned}

Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})&=(y_2-x_2)+(z_2-y_2)=z_2-x_2\\ &=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z}), \endaligned}

co było do okazania. Udowodniliśmy, że $(X,\mathbb{ℝ},\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną.

Zadanie 13.2

Niech

$X=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x_1-2x_2+x_3=1\}.$

Niech

$\omega :X\times X\ni ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))\to (x_3-y_3,y_2-x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2;$

$\delta :X\times {\mathbb{ℝ}}^2\ni ((\alpha ,\beta ),(x_1,x_2,x_3))\to (x_1+\alpha +2\beta ,x_2+\beta ,x_3-\alpha )\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

Wykazać, że $\delta :X\times {\mathbb{ℝ}}^2\to X$. Wykazać, że $(X,{\mathbb{ℝ}}^2,\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną.

Wskazówka

Oznaczenie $\omega (x,y)$ stosujemy zamiast $\overrightarrow{xy}$, a $\delta (x,v)$ zamiast oznaczenia $x+v$ z wykładu XIII.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned X &= \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + x_3 =1\}\\ &=(1,0,0)+\lin\{(2,1,0),(-1,0,1)\}, \endaligned}

zatem współrzędne punktu $\mathbf{𝐱}=(x_1,x_2,x_3)\in X$ są jednoznacznie wyznaczone przez drugą i trzecią współrzędną wzorem

$x_1=1+2x_2-x_3.$

Sprawdzimy, czy $\delta$ jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór $X\times {\mathbb{ℝ}}^2$ w zbiór $X$. W tym celu ustalmy dowolne liczby rzeczywiste $\alpha$ i $\beta$ oraz dowolny punkt $\mathbf{𝐱}=(x_1,x_2,x_3)\in X$. Wykażemy, że współrzędne punktu

$\delta (\mathbf{𝐱},(\alpha ,\beta ))=(x_1+\alpha +2\beta ,x_2+\beta ,x_3-\alpha )$

spełniają równanie opisujące zbiór $X$, czyli

$x_1+\alpha +2\beta -2(x_2+\beta )+x_3-\alpha =x_1-2x_2+x_3=1.$

Zatem $\delta (\mathbf{𝐱},(\alpha ,\beta ))\in X$ dla wszystkich $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{ℝ}}^2$ oraz $\mathbf{𝐱}\in X$. Aby udowodnić, że $X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku ${\mathbb{ℝ}}^2$ musimy uzasadnić, że spełnione są następujące warunki:

i) dla dowolnego $\mathbf{𝐱}\in X$ oraz $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{ℝ}}^2$ równość

$\delta (\mathbf{𝐱},(\alpha ,\beta ))=\mathbf{𝐲}$

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})=(\alpha ,\beta ).$

ii) dla dowolnych $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲},\mathbf{𝐳}\in X$

$\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})+\omega (\mathbf{𝐲},\mathbf{𝐳})=\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐳})$

Aby sprawdzić, że zachodzi pierwszy z powyższych warunków ustalmy dowolny punkt $\mathbf{𝐱}=(x_1,x_2,x_3)\in X$ oraz $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{ℝ}}^2$. Z definicji odwzorowania $\delta$ mamy

$\delta (\mathbf{𝐱},(\alpha ,\beta ))=(x_1+\alpha +2\beta ,x_2+\beta ,x_3-\alpha )=\mathbf{𝐲}=(y_1,y_2,y_3).$

Na mocy naszej obserwacji na temat zbioru $X$ wnosimy, że powyższa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned x_2 + \beta &=y_2,& x_3 - \alpha&=y_3. \endaligned}

Przekształcając powyższe równości otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned y_2-x_2 &=\beta,& x_3 - y_3&=\alpha, \endaligned}

co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$\omega (\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲})=(\alpha ,\beta ).$

Dowód pierwszego z warunków występujących w definicji przestrzeni afinicznej jest zakończony. Dla dowodu drugiego warunku ustalmy $\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐲},\mathbf{𝐳}\in X$, gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \mathbf{x}&=(x_1,x_2,x_3),&\mathbf{y}&=(y_1,y_2,y_3),&\mathbf{z}&=(z_1,z_2,z_3). \endaligned}

Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})&=((x_3-y_3),(y_2-x_2))+((y_3-z_3),(z_2-y_2))\\ &=((x_3-z_3),(z_2-x_2))\\ &=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z}), \endaligned}

co było do okazania. Udowodniliśmy, że $(X,{\mathbb{ℝ}}^2,\omega ,\delta )$ jest przestrzenią afiniczną.

Zadanie 13.3

W przestrzeni afinicznej ${\mathbb{ℝ}}^3$ ( o kierunku ${\mathbb{ℝ}}^3$) dane są punkty

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a&=(1,0,-3),&b&=(2,1,-3),&c&=(1,1,-2),&d&=(2,0,-2 ). \endaligned}

Wykazać, że są one afinicznie niezależne. Znaleźć współrzędne punktu

$x=(2,-4,-4)$

w układzie bazowym $(a;\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac},\overrightarrow{ad})$.

Wskazówka

Zbadać liniową niezależność wektorów $\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac},\overrightarrow{ad}$.

Rozwiązanie

Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika,

że punkty $a,b,c,d$ są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy utworzonej poprzez dopisanie pierwszego wiersza złożonego z samych jedynek do macierzy, w której kolumnach wpisano współrzędne punktów $a$, $b$, $c$ i $d$ jest różny od zera, czyli

$\det \left[\begin{array}{rrrr}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 2\\ 0& 1& 1& 0\\ -3& -3& -2& -2\end{array}\right]\ne 0.$

Ponieważ wyznacznik powyższej macierzy jest równy $2$, zatem punkty $a$, $b$, $c$ i $d$ są afinicznie niezależne. Aby znaleźć współrzędne $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ punktu $x=(2,-4,-4)$ w układzie bazowym $(a;\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac},\overrightarrow{ad})$ musimy wyznaczyć liczby rzeczywiste $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ takie, że

$x=a+\alpha \overrightarrow{ab}+\beta \overrightarrow{ac}+\gamma \overrightarrow{ad}),$

czyli

$(2,-4,-4)=(1,0,-3)+\alpha (1,1,0)+\beta (0,1,1)+\gamma (1,0,1).$

Oznacza to, że liczby $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ są rozwiązaniami układu równań:

$\{\begin{array}{rcrccc}\alpha & & & +& \gamma & =1\\ \alpha & +& \beta & & & =-4\\ & +& \beta & +& \gamma & =-1\end{array}.$

Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \alpha&= -1,&\beta &=-3,& \gamma&=2.\qedhere \endaligned}

Zadanie 13.4

W przestrzeni afinicznej ${\mathbb{ℝ}}^4$ (o kierunku ${\mathbb{ℝ}}^4$) zbadać afiniczną niezależność punktów

a) $(-1,1,0,1)$, $(0,0,2,0)$, $(3,1,-5,-4)$, $(-2,-2,3,3)$;

b) $(1,1,1,0)$, $(0,0,6,-6)$, $(2,3,6,-6)$, $(3,4,1,0)$.

Wskazówka

Przydatne twierdzenie, z którego można skorzystać znajduje się w wykładzie XIII.

Rozwiązanie

Aby zbadać afiniczną niezależność punktów

$u_0,u_1,u_2,u_3$ tworzymy macierz $V$, której kolumnami są wektory $v_1=\overrightarrow{u_0{u}_1}$, $v_2=\overrightarrow{u_0{u}_2}$, $v_3=\overrightarrow{u_0{u}_3}$, a następnie badamy jej rząd.

1. Niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned u_0&= (-1,1,0,1),&u_1&=(0,0,2,0),\\ u_2&=(3,1,-5,-4),&u_3&=(-2,-2,3,3). \endaligned}

Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned v_1&= (1,-1,2,-1),&v_2&=(4,0,-5,-5),&v_3&=(-1,-3,3,2). \endaligned}

Rząd macierzy

$\left[\begin{array}{rrr}1& 4& -1\\ -1& 0& -3\\ 2& -5& 3\\ -1& -5& 2\end{array}\right]$

jest równy $3$ zatem nasze punkty są afinicznie niezależne.

1. Niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned u_0&= (1,1,1,0),&u_1&=(0,0,6,-6),\\ u_2&=(2,3,6,-6),&u_3&=(3,4,1,0). \endaligned}

Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned v_1&= (-1,-1,5,-6),&v_2&=(1,2,5,-6),&v_3&=(2,3,0,0). \endaligned}

Rząd macierzy

$\left[\begin{array}{rrr}-1& 1& 2\\ -1& 2& 3\\ 5& 5& 0\\ -6& -6& 0\end{array}\right]$

jest równy $2$ zatem nasze punkty nie są afinicznie niezależne.

Zadanie 13.5

W przestrzeni afinicznej ${\mathbb{ℝ}}^3$ dany jest układ bazowy

$((1,-1,2);(3,1,0),(0,1,-1),(3,2,1)).$

Znaleźć punkt $a$, którego współrzędne w powyższym układzie bazowym wynoszą 1,3,-2.

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z definicji współrzędnych względem układu bazowego.

Rozwiązanie

Niech $a=(x,y,z)$. Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (x,y,z)&=(1,-1,2)+1\cdot (3,1,0)+3\cdot (0,1,-1)-2\cdot (3,2,1)\\ &=(1,-1,2)+ (3,1,0)+(0,3,-3)-(6,4,2)\\ &=(-2,-1,-3).\qedhere \endaligned}

Zadanie 13.6

Niech $U$ i $W$ będą przestrzeniami wektorowym nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ i niech $f:U\to W$ będzie odwzorowaniem liniowym. Wykazać, że dla każdego $b\in W$ jeżeli zbiór

$f^{-1}(\{b\})=\{x\in U;f(x)=b\}$

jest niepusty, to jest przestrzenią afiniczną o kierunku $\ker f$.

Wskazówka

Jako $x+v$ przyjąć zwykłą sumę wektorów w przestrzeni $U$, a jako

$\overrightarrow{xy}$ różnicę $y-x$.

Rozwiązanie

Niech $u_0\in U$ będzie wektorem takim, że $f(u_0)=b$.

Wystarczy wykazać, że

$f^{-1}(\{b\})=u_0+\ker f.$

Zauważmy, że jeżeli $u\in (u_0+\ker f)$, to $u=u_0+v$, gdzie $v\in \ker f$ i wówczas

$f(u)=f(u_0+v)=f(u_0)+f(v)=f(u_0)+0=b,$

zatem

$u_0+\ker f\subset f^{-1}(\{b\}).$

Z drugiej strony jeżeli $u\in f^{-1}(\{b\})$, to $u=u_0+(u-u_0)$ i $u-u_0\in kerf$, bo

$f(u-u_0)=f(u)-f(u_0)=b-b=0,$

zatem

$f^{-1}(\{b\})\subset u_0+\ker f.$

Na podstawie udowodnionych wyżej inkluzji wnioskujemy, że

$f^{-1}(\{b\})=u_0+\ker f,$

co było do okazania.