Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Zadanie 9.1

Dane są macierze

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned A &= \left [ \begin{array} {rr} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right],& B &=\left [ \begin{array} {rr} 15 & 5 \\ -34 & -11 \end{array} \right],\\ C&=\left [ \begin{array} {rr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right],&D&=\left [ \begin{array} {rr} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{array} \right], \\E&=\left [ \begin{array} {rr} 2 & 1 \\ -3 & -1 \end{array} \right]. \endaligned}

Obliczyć $E^{-1}AE$ i zbadać, które z macierzy $A,B,C,D$ są podobne.

Wskazówka

Jeśli macierze są podobne, to mają równe wyznaczniki i równe ślady.

Rozwiązanie

Wykonując odpowiednie obliczenia możemy zauważyć, że

$E^{-1}AE=B.$

Oznacza to, że macierze $A$ i $B$ są podobne. Z drugiej strony

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \det A&= 5,&\tr A&= 4\\ \det C&= 1,&\tr C&= 4\\ \det D&= 5,&\tr D&= 1 . \endaligned}

w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \det A&\neq \det C,&\tr A&\neq\tr D,& \det C&\neq\det D, \endaligned}

co oznacza, że relacja podobieństwa zachodzi tylko między macierzami $A$ i $B$.

Zadanie 9.2

Znaleźć wszystkie wartości własne macierzy

$A=\left[\begin{array}{rrr}1& 2& 1\\ 0& 3& -1\\ 0& 2& 0\end{array}\right].$

Wskazówka

Trzeba znaleźć zera wielomianu charakterystycznego.

Rozwiązanie

Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ dany jest

wzorem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned p_A(\lambda)&=\det(A-\lambda I)\\ &=\det\left( \left[ \begin{array} {rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right]-\lambda \left[ \begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \right)\\ &=\det\left( \left[ \begin{array} {ccc} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 0 & 3-\lambda & -1 \\ 0 & 2 & -\lambda \end{array} \right] \right)\\ &=-{\lambda}^{3}+4{\lambda}^{2}-5\lambda+2\\ &=-\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-1\right)^{2}. \endaligned}

Oznacza to, że wartościami własnymi macierzy $A$ są liczby $2$ i $1$.

Zadanie 9.3

Rozważmy odwzorowanie liniowe $f:{\mathbb{𝕂}}^3\to {\mathbb{𝕂}}^3$ dane wzorem

$f(x,y,z)=(x-y+2z,x-z,x+y+2z).$

Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne endomorfizmu $f$, gdy

1. $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$,
2. $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$.

Wskazówka

Należy wyznaczyć zera wielomianu charakterystycznego macierzy $f$ w dowolnej bazie przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^3$ (może to być baza kanoniczna). Potem wystarczy rozwiązać równanie

$f(x,y,z)=(\lambda x,\lambda y,\lambda z),$

gdzie niewiadomą jest wektor $(x,y,z)$, a $\lambda$ oznacza jedną z wartości własnych.

Rozwiązanie

Niech $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$ będą

wektorami bazy kanonicznej w ${\mathbb{𝕂}}^3$. W obu przypadkach, to jest gdy $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$, jak również, gdy $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$ macierzą naszego endomorfizmu w bazie kanonicznej jest macierz

$\left[\begin{array}{rrr}1& -1& 2\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 2\end{array}\right].$

Wartości i wektory własne macierzy $A$ są także wartościami własnymi odwzorowania $f$. Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ dany jest wzorem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned p_A(\lambda)&=\det(A-\lambda I)\\ &=\det\left( \left[ \begin{array} {ccc} 1-\lambda & -1 & 2 \\ 1 & -\lambda & -1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{array} \right] \right)\\ &=-{\lambda}^{3}+3{\lambda}^{2}-2\lambda+6\\ &=- \left( \lambda-3\right)\left({\lambda}^{2}+2\right). \endaligned}

Oznacza to, że liczba $3$ jest jedyną wartością własną odwzorowania $f$ w przypadku, gdy $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$. Jeżeli $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$, to wartościami własnymi odwzorowania $f$ są liczby zespolone $3$, $\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$ oraz $-\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$. Wektory własne endomorfimu wyznaczymy z równań

$A(x,y,z{)}^{*}={\lambda }_k(x,y,z{)}^{*},k=1,2,3,$

gdzie ${\lambda }_1=3$, ${\lambda }_2=\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$ oraz ${\lambda }_3=-\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$ a niewiadoma $(x,y,z)$ należy do ${\mathbb{ℝ}}^3$, gdy $k=1$, lub do ${\mathbb{ℂ}}^3$, gdy $k=2,3$. Zauważmy, że powyższe równania są równoważne jednorodnym równaniom:

$(A-{\lambda }_{k}I)(x,y,z{)}^{*}=(0,0,0{)}^{*},k=1,2,3,$

które po podstawieniu odpowiednich wartości ${\lambda }_k$ przyjmują jedną z opisanych poniżej postaci.

1. Rozważając ${\lambda }_1=3$ otrzymujemy układ:

$(A-{\lambda }_{1}I)(x,y,z{)}^{*}=(0,0,0{)}^{*},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 1-\lambda_1 & -1 & 2 \\ 1 & -\lambda_1 & -1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda_1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right], \endaligned}

który po podstawieniu odpowiednich wartości przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {rrr} -2&-1&2\\1&-3&-1\\1&1&-1\end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right] \endaligned}

1. Rozważając ${\lambda }_2=\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$ otrzymujemy układ:

$(A-{\lambda }_{2}I)(x,y,z{)}^{*}=(0,0,0{)}^{*},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 1-\lambda_2 & -1 & 2 \\ 1 & -\lambda_2 & -1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right], \endaligned}

który po podstawieniu odpowiednich wartości przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 1-\mathbf{i}\sqrt {2}&-1&2\\1&-\mathbf{i}\sqrt {2}&-1\\1&1&2-\mathbf{i}\sqrt {2}\end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right] \endaligned}

1. Rozważając ${\lambda }_3=-\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$ otrzymujemy układ:

$(A-{\lambda }_{3}I)(x,y,z{)}^{*}=(0,0,0{)}^{*},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 1-\lambda_3 & -1 & 2 \\ 1 & -\lambda_3 & -1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right], \endaligned}

który po podstawieniu odpowiednich wartości przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 1+\mathbf{i}\sqrt {2}&-1&2\\1&\mathbf{i}\sqrt {2}&-1\\1&1&2+\mathbf{i}\sqrt {2}\end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right] \endaligned}

Rozwiązaniami pierwszego układu są wektory postaci $c(1,0,1)$, gdzie $c\in \mathbb{ℝ}$ jest dowolną stałą. Rozwiązaniami drugiego układu są wektory postaci $z(-5-\mathbf{𝐢}\sqrt{2},-1+4\mathbf{𝐢}\sqrt{2},3)$, gdzie $z\in \mathbb{ℂ}$ jest dowolną stałą. Można łatwo zauważyć, że rozwiązania trzeciego układu są sprzężone z rozwiązaniami układu drugiego, czyli rozwiązaniami trzeciego układu są wektory postaci $z(-5+\mathbf{𝐢}\sqrt{2},-1-4\mathbf{𝐢}\sqrt{2},3)$, gdzie $z\in \mathbb{ℂ}$ jest dowolną stałą.

Podsumowywując otrzymaliśmy, że:

1. Jeżeli $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℝ}$, to jedyną wartością własną odwzorowania $f$ jest liczba $3$, a odpowiadającym jej wektorem własnym jest

każdy wektor postaci $c(1,0,1)$, gdzie $c\in \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$.

1. Jeżeli $\mathbb{𝕂}=\mathbb{ℂ}$, to wartościami własnymi odwzorowania $f$ są liczby

zespolone $3$, $\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$ oraz $-\sqrt{2}\mathbf{𝐢}$. Wektorami własnymi dla tych wartości własnych są odpowiednio wektory postaci $z(1,0,1)$, $z(-5-\mathbf{𝐢}\sqrt{2},-1+4\mathbf{𝐢}\sqrt{2},3)$, $z(-5+\mathbf{𝐢}\sqrt{2},-1-4\mathbf{𝐢}\sqrt{2},3)$, gdzie $z\in \mathbb{ℂ}\setminus \{0\}$.

Zadanie 9.4

Niech

$f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x,y,z)\to (4x-y-2z,2x+y-2z,x-y+z)\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

Znaleźć wartości własne endomorfizmu $f$. Znaleźć, jeśli to możliwe, bazę ${\mathbb{ℝ}}^3$ taką, żeby w tej bazie macierz endomorfizmu $f$ była diagonalna.

Wskazówka

Wystarczy znaleźć wartości własne macierzy odwzorowania $f$ w bazie kanonicznej. Jeśli uda nam się znaleźć bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ złożoną z wektorów własnych odwzorowania $f$, to macierz $f$ w tej bazie będzie diagonalna.

Rozwiązanie

Niech $A$ będzie macierzą endomorfizmu $f$ w bazach

kanonicznych. Oczywiście

$A=\left[\begin{array}{rrr}4& -1& -2\\ 2& 1& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$

Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ jest równy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned p_A(\lambda)&=-{\lambda}^{3}+6{\lambda}^{2}-11\lambda+6\\ &=-\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-3\right), \endaligned}

co oznacza, że liczby

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \lambda_1&=1,&\lambda_2&=2,&\lambda_3&=3 \endaligned}

są wartościami własnymi endomorfizmu $f$. Co więcej będzie możliwe znalezienie bazy przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ złożonej z wektorów własnych odwzorowania $f$, ponieważ wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. Macierz $f$ w tej bazie będzie macierzą diagonalną. Wektory własne znajdziemy znajdując po jednym niezerowym rozwiązaniu następujących układów równań o niewiadomcyh $(x,y,z)$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 4-\lambda_1 & -1 & -2 \\ 2 & 1-\lambda_1 & -2 \\ 1 & -1 & 1-\lambda_1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right]\\ \left[ \begin{array} {ccc} 4-\lambda_2 & -1 & -2 \\ 2 & 1-\lambda_2 & -2 \\ 1 & -1 & 1-\lambda_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right]\\ \left[ \begin{array} {ccc} 4-\lambda_3 & -1 & -2 \\ 2 & 1-\lambda_3 & -2 \\ 1 & -1 & 1-\lambda_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right]. \endaligned}

Rozwiązaniem pierwszego układu, czyli wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej ${\lambda }_1=1$ jest np. wektor $v_1=(1,1,1)$, rozwiązaniem drugiego układu, czyli wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej ${\lambda }_2=2$ jest np. wektor $v_2=(1,0,1)$, natomiast rozwiązaniem trzeciego układu, czyli wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej ${\lambda }_3=3$ jest np. wektor $v_3=(1,1,0)$. Wektory $v_1$, $v_2$ oraz $v_3$ stanowią bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Macierzą odwzorowania $f$ w tej bazie jest macierz diagonalna:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle D= \left[ \begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right].\qedhere }

Zadanie 9.5

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x,y,z)\to (x+y+z,x+2y-z,x-y+2z)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ i niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned U& = \{ (0,t,-t)  : t \in \mathbb{R} \},\\ W& = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : y=z \}. \endaligned}

Wykazać, że $U$ i $W$ są podprzestrzeniami niezmienniczymi endomorfizmu $f$.

Wskazówka

Trzeba wykazać, że $f(U)\subset U$, a $f(W)\subset W$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned U& = \lin \{ (0,1,-1) \},\\ W& = \lin \{ (1,0,0),(0,1,1) \}. \endaligned}

Aby udowodnić, że $f(U)\subset U$ oraz $f(W)\subset W$ wystarczy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(0,1,-1)& \in \lin \{ (0,1,-1) \},\\ f(1,0,0)& \in \lin \{ (1,0,0),(0,1,1) \},\\ f(0,1,1)& \in \lin \{ (1,0,0),(0,1,1) \}. \endaligned}

Wynika to z faktu, że podprzestrzeń generowana przez zbiór $S$ jest najmniejszą podprzestrzenią zawierającą zbiór $S$. Z definicji odwzorowania $f$ wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(0,1,-1)&= (0,3,-3)=3\cdot (0,1,-1),\\ f(1,0,0)&=(1,1,1) = (1,0,0)+(0,1,1),\\ f(0,1,1)&=(2,1,1)=2\cdot(1,0,0)+(0,1,1). \endaligned}

Powyższe równości dowodzą, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f(0,1,-1)& \in \lin \{ (0,1,-1) \}, \\ f(1,0,0) & \in \lin \{ (1,0,0),(0,1,1) \}, \\ f(0,1,1) & \in \lin \{ (1,0,0),(0,1,1) \}, \endaligned}

a zatem $f(U)\subset U$ oraz $f(W)\subset W$, czego należało dowieść.

Zadanie 9.6

Dany jest endomorfizm

$f:{\mathbb{ℝ}}^3\ni (x,y,z)\to (3x-z,x-3y+4z,x+z)\in {\mathbb{ℝ}}^3.$

Znaleźć bazę Jordana i macierz Jordana tego endomorfizmu.

Wskazówka

Istnienie bazy Jordana gwarantuje odpowiednie twierdzenie z wykładu. Co dalej?

Rozwiązanie

Macierz

$A=\left[\begin{array}{rrr}3& 0& -1\\ 1& -3& 4\\ 1& 0& 1\end{array}\right].$

jest macierzą naszego odwzorowania $f$ w bazach kanonicznych. Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ jest równy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned p_A(\lambda)&=-{\lambda}^{3}+{\lambda}^{2}+8\lambda-12\\ &=- \left(\lambda+3 \right)\left(\lambda-2\right)^{2}, \endaligned}

co oznacza, że wartościami własnymi naszego odwzorowania są liczby

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \lambda_1&=-3&\text{oraz}&& \lambda_2&=2. \endaligned}

Zauważmy, że wynika stąd, że macierz Jordana tego odwzorowania może mieć jedną z dwóch postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned J_1&= \left[ \begin{array} {rrr} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]&\text{lub}&& J_2&= \left[ \begin{array} {rrr} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]. \endaligned}

Poszukując bazy Jordana dla odwzorowania $f$ wyznaczymy najpierw wektory własne odpowiadające wyliczonym wyżej wartościom własnym. W tym celu należy znaleźć niezerowe wektory spełniające następujące układy równań:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 3-\lambda_1 & 0 & -1 \\ 1 & -3-\lambda_1 & 4 \\ 1 & 0 & 1-\lambda_1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right]\\ \left[ \begin{array} {ccc} 3-\lambda_2 & 0 & -1 \\ 1 & -3-\lambda_2 & 4 \\ 1 & 0 & 1-\lambda_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 0\\0\\0 \end{array} \right]. \endaligned}

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że rozwiązania pierwszego układu są postaci $c(0,1,0)$, gdzie $c\in \mathbb{ℝ}$, natomiast rozwiązania drugiego układu są postaci $c(1,1,1)$, gdzie $c\in \mathbb{ℝ}$. Wynika stąd, że nie znajdziemy dwóch liniowo niezależnych wektorów własnych odpowiadających wartości własnej ${\lambda }_2=2$, zatem postać Jordana naszego odwzorowania jest zadana przez macierz $J_2$. Znając postać Jordana odwzorowania $f$ poszukamy teraz bazy Jordana dla $f$, czyli takiej bazy przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$, składającej się z wektorów $v_1$, $v_2$, i $v_3$, że

1. $v_1$ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej ${\lambda }_1=-3$
2. $v_2$ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej ${\lambda }_1=2$
3. $v_3$ jest wektorem spełniającym równanie

$f(v_3)={\lambda }_2{v}_3+v_2.$

Wobec powyższej obserwacji definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned v_1&=c(0,1,0),&v_2&=(1,1,1). \endaligned}

Widzimy także, że wektor $v_3=(2,1,1)$ jest niezerowym rozwiązaniem układu:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {ccc} 3-\lambda_2 & 0 & -1 \\ 1 & -3-\lambda_2 & 4 \\ 1 & 0 & 1-\lambda_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 1\\1\\1 \end{array} \right], \endaligned}

który po podstawieniu za ${\lambda }_2$ liczby $2$ przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \left[ \begin{array} {rrr} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -5 & 4 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array} {c} x\\y\\z \end{array} \right]&=\left[ \begin{array} {c} 1\\1\\1 \end{array} \right], \endaligned}

a to oznacza, że $f(v_3)-2v_3=v_2$. Zauważmy także, że wektory $v_1$, $v_2$ i $v_3$, stanowią bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$. Macierzą odwzorowania $f$ w tej bazie jest macierz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned J_2&= \left[ \begin{array} {rrr} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right], \endaligned}

co oznacza, że znalezione wektory stanowią bazę Jordana dla naszego odwzorowania $f$.