Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 6: Macierze a odwzorowania liniowe

Zadanie 6.1

Znaleźć macierz odwzorowania $f:{\mathbb{ℝ}}^4\to {\mathbb{ℝ}}^2$, danego wzorem

$f((x_1,x_2,x_3,x_4))=(x_1+3x_2-2x_3,x_1-x_2+x_3-x_4),$

w bazach $u_1,u_2,u_3,u_4$ oraz $v_1,v_2$, gdy

u_1 &=( 2, 0, 1, 0), & &
u_2 &=(-1, 1, 0, 3), & v_1 &= ( 1,1),
u_3 &=( 0, 1, 1, 0), & v_2 &= (-1,0),
u_4 &=( 1,-1, 2, 3). & &

Wskazówka

Dla $j=1,2,3,4$ obliczyć wartości odwzorowania $f$ na wektorze $u_j$,

a następnie przedstawić $f(u_j)$ jako kombinację liniową wektorów $v_1$ i $v_2$. Współczynniki takiego przedstawienia wektora $f(u_j)$ utworzą $j$-tą kolumnę szukanej macierzy.

Rozwiązanie

Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w podanych bazach musimy:

1. Wyznaczyć wartość odwzorowania $f$ na podanej bazie dziedziny, czyli wyznaczyć $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)$.
2. Znaleźć współrzędne wektorów $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$,

$f(u_4)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ w podanej bazie ${\mathbb{ℝ}}^2$, czyli bazie złożonej z wektorów $v_1$, i $v_2$.

Otrzymane współrzędne wpisujemy do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie ${\mathbb{ℝ}}^2$ odpowiadające obrazowi pierwszego wektora z podanej bazy ${\mathbb{ℝ}}^4$ przez odwzorowanie $f$ utworzą pierwszą kolumnę, drugiego drugą itd.

W naszej sytuacji wykonując elementarne rachunki otrzymujemy:

f(u_1)=f(( 2, 0, 1, 0))&=(0,3), &f(u_2)=f((-1, 1,0, 3))&=(2,-5),
f(u_3)=f(( 0, 1, 1, 0))&=(1,0), &f(u_4)=f(( 1,-1, 2,3))&=(-6,1).

Aby wyznaczyć współrzędne wektorów $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)$ w bazie złożonej z wektorów $v_1$ i $v_2$ musimy rozwiązać cztery układy równań, których lewe strony są identyczne natomiast za prawe strony podstawiamy kolejno wyliczone wektory $f(u_1)$, $f(u_2)$, $f(u_3)$, $f(u_4)$, co schematycznie możemy zapisać tak:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tempe”): {\displaystyle \displaystyle \left.\begin{array} {rcrccccc} & & & & f(u_1) & f(u_2) & f(u_3) &f(u_4)\\ & & & & \parallel&\parallel&\parallel&\parallel\\ x_1 & - & x_2&= \tempe{0}&\tempe{2}&\tempe{1}&-6\\ x_1 & & &= \tempe{3}&\tempe{-5}&\tempe{0}&1 \end{array} \right. }

rozwiązując te układy możemy stwierdzić, że w podanych bazach macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle \left[\begin{array} {rrrr} 3 & -5 & 0 & 1 \\ 3 & -7 & -1 & 7 \end{array} \right].\qedhere }

Zadanie 6.2

Niech $\mathbb{𝕂}$ oznacza dowolne ciało, niech $n,m\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_1$ i niech $a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{m1},\dots ,a_{mn}\in \mathbb{𝕂}$. Znaleźć macierz odwzorowania

$f:{\mathbb{𝕂}}^n\to {\mathbb{𝕂}}^m,$

danego wzorem

$f(x_1,\dots ,x_n)=(a_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n,\dots ,a_{m1}{x}_1+\dots +a_{mn}{x}_n).$

w bazach kanonicznych przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$ i odpowiednio ${\mathbb{𝕂}}^m$.

Wskazówka

Zadanie można rozwiązać postępując podobnie jak przy zadaniu 6.1,

tylko teraz należy rozważać wektory baz kanonicznych w ${\mathbb{ℝ}}^n$ i odpowiednio w ${\mathbb{ℝ}}^m$. Jaki jest związek między współczynnikami występującymi we wzorze definiującym odwzorowanie $f$ a wierszami otrzymanej macierzy?

Rozwiązanie

Niech $e_1,\dots ,e_n$ będą wektorami bazy

kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$, a ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m$ będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^m$. Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$ oraz ${\mathbb{𝕂}}^m$ musimy wyznaczyć wartość odwzorowania $f$ na podanej bazie kanonicznej dziedziny, czyli wyznaczyć $f(e_i)$, dla $i=1,\dots ,n$. Łatwo widać, że $f(e_i)=(a_{1i},a_{2i},\dots ,a_{mi}).$ Współrzędne wektora $(a_{1i},a_{2i},\dots ,a_{mi})\in {\mathbb{𝕂}}^m$ w bazie ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_m$ także łatwo wyznaczyć (patrz zadanie 3.4). Otrzymane współrzędne wpisujemy teraz do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie odpowiadające obrazowi $i$-tego wektora z bazy kanonicznej przez odwzorowanie $f$ utworzą $i$-tą kolumnę, czyli

$f(e_i)=\left[\begin{array}{c}{a}_{1i}\\ a_{2i}\\ ⋮\\ a_{mi}\end{array}\right].$

Oznacza to, że w bazach kanonicznych macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle \left[\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right].\qedhere }

Zadanie 6.3

Dana jest macierz

$A=\left[\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ 1& -1& -2\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$

endomorfizmu $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazie $u_1=(1,0,1)$, $u_2=(0,1,1)$ i $u_3=(0,1,0)$. Znaleźć macierz $f$ w bazie kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$.

Wskazówka

Zauważyć, że na mocy zadania 6.2

znalezienie macierzy $f$ w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie $f$ w postaci:

f((x_1, x_2 , x_3) = (&a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3,
&a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3,
&a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3).

Wiedząc, że $A$ jest macierzą odwzorowania $f$ w bazie złożonej z wektorów $u_1$, $u_2$ i $u_3$ możemy obliczyć wartości odwzorowania $f$ na tych wektorach. Znając wartości odwzorowania liniowego na pewnej bazie przestrzeni możemy wyznaczyć jego wzór postępując np. tak jak w zadaniu 4.5, czyli rozwiązując trzy układy trzech równań o trzech niewiadomych.

Rozwiązanie

Na podstawie zadania 6.2 stwierdzamy, że

znalezienie macierzy $f$ w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie $f$ w postaci:

f((x_1, x_2 , x_3) = (&a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3,
&a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3,
&a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3).

Zauważmy także, że z postaci macierzy $A$ możemy odczytać informacje na temat wartości odwzorowania $f$ na wektorach

u_1& = (1,0,1),& u_2 &= (0,1,1),& u_3 &= (0,1,0).

Wiemy, że

f(u_1) &= u_1+u_2-2u_3=(1,-1,2),
f(u_2) &= 2u_1-u_2+u_3=(2,0,1),
f(u_3) &= 2u_1-2u_2+3u_3=(2,1,0).

Dzięki tym obserwacjom znaleźliśmy się w takiej samej sytuacji jak przy rozwiązaniu zadania 4.5, tzn. znamy wartości $f$ na pewnej bazie przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ i poszukujemy wzoru na $f$. Dlatego wiersze macierzy $f$ w bazie kanonicznej stanowią kolejne rozwiązania następujących trzech układów równań liniowych, których lewe strony są niezmienne a prawe się zmieniają (układy te wyznaczamy analogicznie jak w zadaniu 4.5):

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tempe”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\begin{array} {rcccc} x+z&= \tempe{1} &\tempe{2} &2 \\ y+z&=\tempe{-1} &\tempe{0} &1 \\ y &= \tempe{2} &\tempe{1} &0 \end{array} \right. }

Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne wiersze szukanej macierzy, tzn. $(1,2,0)$, $(0,1,-1)$, $(1,0,1)$. W rezultacie dostajemy macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle \left[\begin{array} {rrr}1 &2 & 0\\ 0 &1 &-1\\ 1 &0 & 1 \end{array} \right].\qedhere }

Zadanie 6.4

Niech

$f:M(2,2;\mathbb{ℝ})\ni \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]\in M(2,2;\mathbb{ℝ}).$

Wykazać, że $f$ jest odwzorowaniem liniowym i znaleźć jego macierz w bazie

A_{11} &= [ {cc} 1&0
0&0 ],& A_{12} &= [ {cc} 0&1
0&0 ],& A_{21} &= [ {cc} 0&0
1&0 ],& A_{22} &= [ {cc} 0&0
0&1 ]

uporządkowanej leksykograficznie. Jaki jest rząd tego odwzorowania?

Wskazówka

Rozwiązując to zadanie można postępować podobnie jak przy zadaniu 6.1,

pamiętając jedynie, że w przestrzeni $M(2,2;\mathbb{ℝ})$ wektorami są macierze kwadratowe. Przy obliczaniu rzędu odwzorowania można skorzystać z faktu, że rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy w dowolnych bazach.

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy dane

odwzorowanie $f$ jest liniowe. Dla dowolnych skalarów $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ oraz macierzy

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\in M(2,2;\mathbb{ℝ})$

zachodzi:

f( A+ B)&=f([ {cc} a_{11}+ b_{11}& a_{12}+ b_{12}
a_{21}+ b_{21}& a_{22}+ b_{22} ])
&=[ {cc} a_{21}+ b_{21}& a_{22}+ b_{22}
a_{11}+ b_{11}& a_{12}+ b_{12} ]
&=[ {cc}a_{21}& a_{22}
a_{11}& a_{12} ]+ [ {cc} b_{21} & b_{22}
b_{11} & b_{12} ]
&= f( A)+ f(B),

co kończy dowód liniowości odwzorowania $f$.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia macierzy naszego odwzorowania. Obliczamy wartość odwzorowania $f$ na wektorach podanej bazy i otrzymane wyniki rozpisujemy od razu w postaci kombinacji liniowej wektorów tejże bazy:

f(A_{11})&=[ {cc}0&0
1&0 ]=A_{21}, & f(A_{12})&=[ {cc}0&0
0&1 ]=A_{22},
f(A_{21})&=[ {cc}1&0
0&0 ]=A_{11}, & f(A_{22})&=[ {cc}0&1
0&0 ]=A_{12}.

Ponieważ zachodzi:

A_{21}&=0 A_{11}+0 A_{12}+1 A_{21}+0 A_{22},
A_{22}&=0 A_{11}+0 A_{12}+0 A_{21}+1 A_{22},
A_{11}&=1 A_{11}+0 A_{12}+0 A_{21}+0 A_{22},
A_{12}&=0 A_{11}+1 A_{12}+0 A_{21}+0 A_{22},

stwierdzamy, że (w podanej bazie) wektorem współrzędnych wektora $f(A_{11})$ jest $(0,0,1,0)$, wektorem współrzędnych wektora $f(A_{12})$ jest $(0,0,0,1)$, wektorem współrzędnych wektora $f(A_{21})$ jest $(1,0,0,0)$ natomiast wektorem współrzędnych wektora $f(A_{22})$ jest $(0,1,0,0)$. Wpisując otrzymane wektory współrzędnych jako kolumny macierzy otrzymujemy szukaną macierz

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right].$

Zauważmy, że kolumnami tej macierzy są wektory z bazy kanonicznej przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^4$, zatem kolumny są liniowo niezależne i macierz ta ma oczywiście rząd równy $4$. Ponieważ Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rz”): {\displaystyle \displaystyle \rz A=\rz f} widzimy, że rząd odwzorowania $f$ jest równy $4$.

Zadanie 6.5

Dane jest odwzorowanie

$f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to {\left(\left[\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)}^{*}\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

Wykazać, że $f$ jest liniowe i znaleźć jego wartość na wektorze $(\cos \phi ,\sin \phi )$.

Wskazówka

Skorzystać ze wzorów na

$\cos (\alpha +\beta )$ oraz $\sin (\alpha +\beta )$.

Rozwiązanie

Korzystając z definicji mnożenia macierzy i

operacji transponowania otrzymujemy prostszy wzór na wartość $f$ na wektorze $(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$:

$f((x,y))=((\cos \alpha )x-(\sin \alpha )y,(\sin \alpha )x+(\cos \alpha )y)\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

Liniowość odwzorowania $f$ wynika teraz z zadań 4.1 oraz 4.3.

Korzystając ponownie z powyższego wzoru oraz ze znanych tożsamości trygonometrycznych obliczamy też wartość $f$ na wektorze $(\cos \phi ,\sin \phi )$:

f(( , ))=(&( ) -( ) ,
&( ) + ( ) )&=( (+), (+)).

Zauważmy, że nasze odwzorowanie działa na wektorze $(\cos \phi ,\sin \phi )$ jak obrót o kąt $\alpha$.

Zadanie 6.6

Wiedząc, że

$A=\left[\begin{array}{rr}1& 2\\ 1& -1\\ 3& 1\end{array}\right]$

jest macierzą odwzorowania liniowego $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^3$ w bazach kanonicznych, wyznaczyć odwzorowanie dualne $f^{*}$ oraz jego macierz w bazach dualnych do kanonicznych.

Wskazówka

Skorzystać z faktu, że macierz dualna do $A$ będzie

macierzą odwzorowania $f^{*}$ w bazach dualnych do baz kanonicznych. Znając macierz $A^{*}$ łatwo można wyznaczyć wzór na odwzorowanie $f^{*}$ w oparciu o zadanie 6.2.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $e_1^{*}$, $e_2^{*}$, $e_3^{*}$ bazę dualną do bazy kanonicznej w ${\mathbb{ℝ}}^3$, a przez $E_1^{*}$, $E_2^{*}$ bazę dualną do bazy kanonicznej w ${\mathbb{ℝ}}^2$. Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że macierzą odwzorowania $f^{*}$ w bazach dualnych do baz kanonicznych jest macierz $A^{*}$, czyli

$A^{*}=\left[\begin{array}{rrr}1& 1& 3\\ 2& -1& 1\end{array}\right].$

Odczytujemy stąd, że wartością odwzorowania $f^{*}$ na formie

$\phi ={\alpha }_1{e}_1^{*}+{\alpha }_2{e}_2^{*}+{\alpha }_3{e}_3^{*},$

czyli formie przyjmującej na wektorze $(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{ℝ}}^3$ wartość

$\phi (y_1,y_2,y_3)={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3,$

jest forma $\psi =f^{*}(\phi )$ przyjmująca na wektorze $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ wartość

(x_1,x_2)=&(_1+_2+3_3)x_1+(2_1-_2+_3)x_2,

innymi słowy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle {\psi=(\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3)E^*_1+(2\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3)E^*_2.} \qedhere }

Zadanie 6.7

Niech $f:{\mathbb{ℝ}}^2\ni (x,y)\to (2x+3y,x+y)\in {\mathbb{ℝ}}^2$. Wyznaczyć macierz endomorfizmu $f^{*}$ w bazie złożonej z form

{R}^2 (x,y) & x+2y {R}
{R}^2 (x,y) & x+3y {R} .

Znaleźć taką bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$, żeby baza złożona z form $\phi$, $\psi$ była do niej dualna.

Wskazówka

Gdyby nasze zadanie polegało tylko na znalezieniu macierzy

odwzorowania $f^{*}$ w podanej bazie moglibyśmy po prostu obliczyć $f^{*}(\phi )$ oraz $f^{*}(\psi )$ i przedstawić każdą z otrzymanych form jako kombinację liniową form $\phi$ i $\psi$. Ponieważ mamy jeszcze znaleźć bazę, do której podana baza przestrzeni form liniowych jest dualna możemy najpierw wyznaczyć tę bazę, a potem macierz $f$ w tej bazie. Aby znaleźć macierz $f^{*}$ wystarczy postępować jak w zadaniu 6.6.

Rozwiązanie

Załóżmy, że znamy bazę przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$

złożoną z wektorów $v_1$ oraz $v_2$ i taką, że baza do niej dualna składa się z form $\phi$ oraz $\psi$. Wówczas zgodnie z twierdzeniem znanym z wykładu szukana przez nas macierz odwzorowania $f^{*}$ jest równa $A^{*}$, gdzie $A$ jest macierzą $f$ w bazie złożonej z wektorów $v_1$ oraz $v_2$.

Poszukiwane przez nas wektory $v_1$ i $v_2$ spełniają zależności

(v_1)&=1 &(v_2)&=0
(v_1)&=0&(v_2)&=1.

Oznacza to, że $v_1$ oraz $v_2$ są rozwiązaniami dwóch układów równań, których lewe strony są identyczne i składają się z równań wyznaczonych przez wzory na $\phi$ i $\psi$, natomiast za prawe strony podstawiamy odpowiednio wektory $(1,0)$ oraz $(0,1)$.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tempe”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\begin{array} {cccccc} x & + & 2y &= \tempe{1}&{0}\\ x & + & 3y &= \tempe{0}&{1} \end{array} \right. }

Rozwiązaniami tych układów są wektory $v_1=(3,-1)$ oraz $v_2=(-2,1)$. Baza złożona z form $\phi$, $\psi$ jest dualna do bazy złożonej z wektorów $v_1$, $v_2$.

W celu znalezienia macierzy $f$ w podanej bazie znajdujemy $f(v_1)=(3,2)$ oraz $f(v_2)=(-1,-1)$. Następnie wyznaczamy współczynniki wektorów $f(v_1)=(3,2)$ oraz $f(v_2)=(-1,-1)$ w bazie $v_1$ oraz $v_2$.

W tym celu rozwiązujemy układy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tempe”): {\displaystyle \displaystyle \left\{\begin{array} {rcrccc} 3x & - & 2y &= \tempe{3}&{-1}\\ -x & + & y &= \tempe{2}&{-1} \end{array} \right. }

Znajdujemy, że $f(v_1)=(3,2)=7v_1+9v_2$ oraz $f(v_2)=(-1,-1)=-3v_1-4v_2$. Oznacza to, że macierzą $f$ w bazie złożonej z wektorów $v_1$ oraz $v_2$ jest

$A=\left[\begin{array}{cc}7& -3\\ 9& -4\end{array}\right].$

Wobec powyższych obliczeń szukaną macierzą jest macierz:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qedhere”): {\displaystyle \displaystyle A^* = \left [ \begin{array} {rr} 7 &9\\ -3 & -4\end{array} \right ]. \qedhere}

Zadanie 6.8

Niech $A$ będzie ustaloną rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru $n$. Definiujemy odwzorowanie

$T_A:M(n,n;\mathbb{ℝ})\mapsto M(n,n;\mathbb{ℝ})$

kładąc dla macierzy $X\in {\mathbb{ℝ}}^{n\times n}$

$T_A(X)=AX-XA.$

Udowodnić, że $T$ jest odwzorowaniem liniowym. Czy istnieje taka macierz $A$, aby zdefiniowane przy jej pomocy odwzorowanie $T_A$ było epimorfizmem?

Wskazówka

Badając liniowość odwzorowania $T_A$ wystarczy skorzystać z podstawowych

własności działań na macierzach. W drugiej części zadania skorzystajmy z faktu, że $T_A$ jest endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, a zatem $T_A$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem.

Rozwiązanie

Ustalmy macierz $A\in M(n,n;\mathbb{ℝ})$. Dla dowolnych macierzy $X,Y\in M(n,n;\mathbb{ℝ})$

oraz skalarów $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ mamy:

T_A( X+ Y) &=A( X+ Y)-( X+ Y)A
&=A( X)+A( Y)-( X)A-( Y)A
&=A( X)-( X)A+A( Y)-( Y)A
&=(A X)- (X A)+(AY)- (YA)
&=(A X-X A)+(AY-YA)
&= T_A(X)+ T_A(Y),

co oznacza, że nasze odwzorowanie jest liniowe. Wiemy, że $T_A$ jako endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem. Zatem, gdyby istniała taka macierz $A$, że zadane przez nią odwzorowanie $T_A$ byłoby epimorfizmem, to takie $T_A$ byłoby też monomorfizmem. Ale nie istnieje taka macierz $A$ dla której odwzorowanie $T_A$ jest monomorfizmem, bo zawsze

$T_A(I)=AI-IA=A-A=0,$

zatem macierz jednostkowa $I$ jest niezerowym elementem jądra odwzorowania $T_A$ i $T_A$ nie jest monomorfizmem. Oznacza to, że $T_A$ nie jest też epimorfizmem.