TC Moduł 1
|
|
Podstawą teoretyczną techniki cyfrowej są układy logiczne. Funkcjonalnie układy logiczne klasyfikujemy na układy kombinacyjne i układy sekwencyjne. Wykład rozpoczynamy od układów kombinacyjnych. Układ kombinacyjny jest podstawowym układem logicznym umożliwiającym realizację funkcji boolowskich. Układ kombinacyjny konstruujemy z elementów logicznych po to, aby realizować funkcje lub ich zespoły opisujące bardziej skomplikowane układy cyfrowe. Dlatego rozważania o układach kombinacyjnych rozpoczynamy od pojęcia funkcji boolowskiej. |
|
Pojęcie funkcji boolowskiej jest pojęciem podstawowym umożliwiającym modelowanie zjawisk fizycznych reprezentowanych jako odwzorowanie ciągów (wektorów) binarnych należących do zbioru X w ciągi binarne (wektory) ze zbioru Y, gdzie zbiory X, (Y) są podzbiorami -krotnego, (-krotnego) iloczynu kartezjańskiego zbioru B = {0, 1}. Na planszy podana jest definicja funkcji boolowskiej. Zasygnalizowane są również najczęściej stosowane metody reprezentacji funkcji boolowskich. |
|
Funkcja może być przedstawiona w postaci tablicy prawdy. Jest to tablica o kolumnach i wierszach. W kolejnych wierszach są zapisywane wszystkie wartości ciągu
, czyli wszystkie wektory . W ostatniej kolumnie podana jest wartość przyporządkowywana danemu wektorowi lub „–”, jeżeli funkcja dla tego wektora nie jest określona. Kolejne wektory są numerowane, przy czym wartość podana z lewej strony w dodatkowej kolumnie jest dziesiętnym odpowiednikiem wektora traktowanego jako liczba w zapisie dwójkowym. |
|
Oto przykłady uproszczonego zapisu funkcji boolowskich. Podane zapisy specyfikują funkcje boolowskie, których wektory wejściowe określone są liczbami dziesiętnymi. |
|
Funkcje boolowskie reprezentowane odwzorowaniem , jakkolwiek możliwe do bezpośredniej realizacji technicznej, nie są najlepszą formą do zastosowań. Znacznie wygodniejsze są reprezentacje funkcji w postaci formuł boolowskich. Ich zaleta wynika przede wszystkim z łatwej realizacji elementów logicznych zwanych bramkami logicznymi, które to elementy stanowią naturalną realizację formuł (wyrażeń) boolowskich, gdzie występują w postaci operatorów.
Formuła boolowska to wyrażenie, w którym zmienne boolowskie połączone są operatorami: + (OR), (AND), (NOT). Operatory te zdefiniowane są w tabelce podanej na planszy dla działań dwuargumentowych AND i OR i jednoargumentowego NOT, ale ich uogólnienie na operatory wieloargumentowe jest oczywiste. |
|
Dla funkcji opisanej tablicą prawdy podaną w tabelce na planszy podajemy sposób tworzenia formuły boolowskiej. |
|
A na tej planszy pokazana jest realizacja tej funkcji na bramkach AND, OR, NOT.
W układzie kombinacyjnym z rysunku na planszy funkcja , realizowana na jego wyjściu , reprezentuje odwzorowanie z tabelki prawdy, co łatwo sprawdzić wprowadzając na wejścia układu odpowiednie wektory binarne i obliczając wartość uzyskaną na wyjściu . Na przykład dla na wyjściu bramki AND1 pojawi się sygnał o wartości 1, i w rezultacie wyjście przyjmie wartość 1. Natomiast dla na wyjściach wszystkich bramek AND będzie 0, a więc jednocześnie przyjmie wartość 0, co jest zgodne z tabl. 3.5. |
|
W dwuelementowej algebrze Boole'a wprowa¬dza się też inne działania (operatory). Do najważniejszych z nich należą: zanegowany iloczyn (NAND), zanegowana suma (NOR), suma wyłączająca (tzw. suma modulo 2 lub różnica symetryczna, oznaczana EXOR). Operatorom tym odpowiadają stosowne symbole bramek. |
|
Nie kwestionowaną zaletą formuł boolowskich jest możliwość ich upraszczania, a co zatem idzie możliwość uzyskiwania realizacji oszczędniejszych z punktu widzenia liczby bramek. Zasady formalne upraszczania formuł boolowskich związane są z prawami i własnościami algebry Boole’a. |
|
|
Stosując prawa algebry Boole’a, poprzednio podane wyrażenie na można uprościć w sposób pokazany na planszy. Ostatecznie wyrażenie to można zrealizować w układzie kombinacyjnym, którego struktura – znacznie prostsza od poprzedniej realizacji – jest pokazana na rysunku. Zasygnalizowany tu proces upraszczania wyrażeń boolowskich ma ogromne znaczenie praktyczne i opracowano dla jego potrzeb wiele zaawansowanych metod syntezy, które z technicznego punktu widzenia nazywa się metodami minimalizacji funkcji boolowskich. Wiele z nich doczekało się realizacji w postaci zaawansowanych narzędzi komputerowych i stanowi podstawę nowoczesnej syntezy logicznej. |
|
Na kolejnych planszach pokazujemy cały proces syntezy funkcji boolowskiej oraz omawiamy jej sens fizyczny. |
|
|
Zastosowania omówionego procesu syntezy są w dzisiejszej technice ogromne. |
