Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny

Uwaga: przekonwertowane latex2mediawiki; prawdopodobnie trzeba wprowadzi栰oprawki

Norma. Iloczyn skalarny

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówność Schwarza, warunek równoległoboku i twierdzenie Pitagorasa.

Przestrzenie unormowane

Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^2} ), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej $X,$ to możemy także mierzyć odległość między punktami zbioru $X.$

Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (na przykład przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych.

Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej $X$ będziemy oznaczać przez $\mathrm{\Theta }$).

Niech $X$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $K$ (Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle K=\rr} lub Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\cc”): {\displaystyle \displaystyle K=\cc} ).
Odwzorowanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\|\cdot\|\colon X\lra\rr_+} nazywamy normą w $X,$ jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \|x\|=0\ \Llra\ x=\Theta;}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X,\ \ \lambda\in K:\ \ \|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\|} (jednorodność);
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|} (subaddytywność).
Parę $(X,\Vert \cdot \Vert )$ nazywamy {przestrzenią unormowaną}.

Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1) długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy;
(2) długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3) długość sumy wektorów jest nie większa od sumy ich długości.

W przestrzeni wektorowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^N} nad Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr} możemy wprowadzić następujące normy:
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sri”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle \|x\|_{2} \sri \sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2}, \qquad x=(x_1,\ldots,x_N)\in\rr^N} (norma euklidesowa),
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sri”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle \|x\|_{1} \sri \sum_{i=1}^N |x_i|, \qquad x=(x_1,\ldots,x_N)\in\rr^N} (norma taksówkowa),
Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sri”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty} \sri \max_{1\le i\le N} |x_i|, \qquad x=(x_1,\ldots,x_N)\in\rr^N} (normamaksimowa).
Dowód faktu, że powyższe odwzorowania są normami, pozostawiamy na ćwiczenia (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.010|). Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe (patrz Uwaga Uzupelnic u.new.am2.w.03.040|).

Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną. Mówi o tym następujące twierdzenie.

$(X,\Vert \cdot \Vert )$ jest przestrzenią unormowaną, Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle d\colon X\times X\lra\rr_+} jest funkcją zadaną przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sri”): {\displaystyle \displaystyle d(x,y)\sri\|x-y\|,\displaystyle \displaystyle (X,d)} jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że $d$ jest {metryką zadaną przez normę} $\Vert \cdot \Vert .$

Załóżmy, że $\Vert \cdot \Vert$ jest normą w $X.$ Pokażemy, że odwzorowanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle d\colon X\times X\lra\rr_+} zadane przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sri”): {\displaystyle \displaystyle d(x,y)\sri\|x-y\|} jest metryką w $X.$
(1) Zauważmy, że dla dowolnych $x,y\in X$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ \ge\ 0 }

oraz

$d(x,y)=0⟺\Vert x-y\Vert =0⟺x=y.$

(2) Dla dowolnych $x,y\in X$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ |-1|\|x-y\| \ =\ \|(-1)(x-y)\| \ =\ \|-x+y\| \ =\ \|y-x\| \ =\ d(y,x). }

(3) Dla dowolnych $x,y,z\in X$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ \|x-z+z-y\| \ \le\ \|x-z\|+\|z-y\| \ =\ d(x,z)+d(z,y), }

więc zachodzi warunek trójkąta dla $d.$

Pokazaliśmy zatem, że $d$ jest metryką.

(1) Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje metrykę.
(2) Nie każda metryka jest zadana przez normę (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.03.120|).
(3) Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy {zbieżnością silną} lub {zbieżnością w normie}, to znaczy jeśli $\{x_n\}\subseteq X$ jest ciągiem, to

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \graph x_n \ \stackrel{\|\cdot\|}{\lra} x \ \ \ \stackrel{df}{\Llra}\ \ \ \|x_n-x\| \ \lra\ 0. }

(4) Normy: euklidesowa, taksówkowa, maksimowa, zdefiniowane w Przykładzie Uzupelnic p.new.am2.w.03.020|, zadają odpowiednio metryki euklidesową, taksówkową, maksimową (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|).

W przypadku norm można rozważać ich równoważność.

Dwie normy $\Vert \cdot {\Vert }_a$ i $\Vert \cdot {\Vert }_b$ w przestrzeni unormowanej $X$ nazywamy {równoważnymi}, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists m,M>0\ \ \forall x\in X:\ \ m\|x\|_{a} \ \le\ \|x\|_{b} \ \le\ M\|x\|_{a}. }

Równoważność norm ma następujące własności.

(1) Relacja równoważności norm jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej przestrzeni unormowanej.
(2) Normy: euklidesowa $\Vert \cdot {\Vert }_2,$ maksimowa $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ i taksówkowa $\Vert \cdot {\Vert }_1$ są równoważne (będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.030|). Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.150|).

Twierdzenie poniższe podajemy tu bez dowodu.

Wszystkie normy w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^N} są równoważne.

Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\|\cdot\|\colon X\lra\rr_+} jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni $X$ rozważamy metrykę zadaną przez normę, a w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr} metrykę euklidesową).

(Ciągłość normy)
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn x_n = x \ \ \ \Lra\ \ \ \limn\|x_n\|=\|x\|. }

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.

$X$ jest przestrzenią unormowaną,

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \big|\|x\|-\|y\|\big| \ \le\ \|x-y\|. }

Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych $x,y\in X$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\| \ =\ \|x+(-y)+y\| \ \le\ \|x-y\|+\|y\|, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|-\|y\| \ \le\ \|x-y\|. }

Analogicznie pokazujemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|y\|-\|x\| \ \le\ \|x-y\|. }

Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|
Warunek Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\limn x_n = x} oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn \|x_n-x\| \ =\ 0. }

Ustalmy dowolne Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\eps”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\eps>0.} Z powyższej równości wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\forall n\ge N:\ \|x_n-x\| \ \le\ \eps. }

Zatem dla $n\ge N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|\|x_n\|-\|x\|\big| \ \le\ \|x_n-x\| \ \le\ \eps. }

Zatem pokazaliśmy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\graph\|x_n\|\stackrel{\rr}{\lra}\|x\|.}

Dowód tego, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ol”): {\displaystyle \displaystyle \ol{K}(a,r)} jest zbiorem wypukłym jest analogiczny.

(1) Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| nie jest prawdziwa.
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq \rr} zadany przez $x_n=(-1{)}^n.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n\|_2 \ =\ 1 \ \lra\ 1, }

ale sam ciąg $\{x_n\}$ nie jest silnie zbieżny (dlaczego?)
(2) Jeżeli granicą ciągu $\{x_n\}$ jest $\mathrm{\Theta }$ (wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej), to implikację w Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\limn”): {\displaystyle \displaystyle \limn x_n = \Theta \ \ \ \Llra\ \ \ \limn\|x_n\|=0 }

(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).

W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $A\subseteq X.$
(1) Jeśli $x,y\in X,$ to {odcinkiem} w $X$ łączącym punkty $x$ i $y$ nazywamy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sr”): {\displaystyle \displaystyle [x,y] \sr \bigg\{z\in X:\ z=\lambda x+(1-\lambda)y:\ \ \lambda\in[0,1]\bigg\}. }

{ Rysunek AM2.M03.W.R01 (stary numer AM2.4.1a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R02 (stary numer AM2.4.1b)}
(2) Mówimy, że zbiór $A$ jest {wypukły}, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in A:\ \ [x,y]\subseteq A. }

{ Rysunek AM2.M03.W.R03 (stary numer AM2.4.2a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R04 (stary numer AM2.4.2b)}

W szczególnych przestrzeniach metrycznych, jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.

Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.
{ Rysunek AM2.M03.W.R05 (stary numer AM2.4.3a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R06 (stary numer AM2.4.3b)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R07 (stary numer AM2.4.3c)}

Niech $a\in X$ oraz $r>0.$ Pokażemy, że kula $K(a,r)$ jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne $x_1,x_2\in K(a,r).$ Z definicji kuli wynika, że

$\Vert x_1-a\Vert <r,\Vert x_2-a\Vert <r.$

Niech $x\in [x_1,x_2].$ Należy pokazać, że $x\in K(a,r).$ Z definicji odcinka w $X$ wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \lambda\in[0,1]:\ x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-a\| \ =\ \|\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-a\| \ =\ \|\lambda(x_1-a)+(1-\lambda)(x_2-a)\| \ \le\ \lambda\|x_1-a\|+(1-\lambda)\|x_2-a\| \ <\ \lambda r+(1-\lambda)r \ =\ r. }

Zatem pokazaliśmy, że $x\in K(a,r).$

Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to, aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.

Metryka kolejowa i metryka rzeka w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^2} nie są zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach nie są zbiorami wypukłymi (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.050| oraz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.060|).
{ Rysunek AM2.M03.W.R08 (stary numer AM2.4.4a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R09 (stary numer AM2.4.4b)}

Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.02.100|). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.

{Przestrzenią Banacha} nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.

(1) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\big(\rr^N,\|\cdot\|_{2}\big) } jest przestrzenią Banacha (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.02.230|).
(2) Przestrzeń Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle C\big([a,b];\rr\big)} z normą $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup {}_{x\in [a,b]}|f(x)|$ jest przestrzenią Banacha (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.050|).

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.

Niech $X$ będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Odwzorowanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (\cdot|\cdot)\colon X\times X\lra \rr} nazywamy {iloczynem skalarnym} w $X,$ jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \big[(x|x)\ge 0\big] \ } i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ \big[ (x|x)=0 \ \Llra\ x=\Theta \big];}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X,\ \lambda\in\rr:\ \ (\lambda x|y)=\lambda(x|y);}
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ \ (x+y|z)=(x|z)+(y|z);}
(4) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ (x|y)=(y|x)} (symetria).
Parę $(X,(\cdot |\cdot ))$ nazywamy {przestrzenią unitarną}.

(a) Warunki (2) i (3) mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4), iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą zmienną, zatem jest on dwuliniowy.

Odwzorowanie zdefiniowane przez

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sr”): {\displaystyle \displaystyle (x|y) \sr \sumijN x_iy_i \quad } dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \ x=(x_1,\ldots,x_N),\ y=(y_1,\ldots,y_N)\in\rr^N }

jest iloczynem skalarnym w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^N.} Nazywamy go {standardowym iloczynem skalarnym} w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \rr^N.} Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \rr^2} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \rr^3.}

Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
(1) Dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle x\in\rr^N,} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x) \ =\ \sum_{n=1}^N x_i^2 \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{n=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

(2) Dla dowolnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle x,y\in\rr^N} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \lambda\in\rr,} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (\lambda x,y) \ =\ \sum_{n=1}^N \lambda x_iy_i \ =\ \lambda \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \lambda (x|y) }

(3) Dla dowolnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle x,y,z\in\rr^N,} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x+y|z) \ =\ \sum_{n=1}^N (x_i+y_i)z_i \ =\ \sum_{n=1}^N(x_iz_i+y_iz_i) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iz_i +\sum_{n=1}^Ny_iz_i \ =\ (x|z)+(y|z). }

(4) Dla dowolnych Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle x,y\in\rr^N,} mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \sum_{n=1}^N y_ix_i \ =\ (y|x). }

Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sumijN”): {\displaystyle \displaystyle (x|y)=\sumijN x_iy_i} jest iloczynem skalarnym w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \rr^N.}

Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.

$(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \|x\|_{}\sr\sqrt{(x|x)} ,\displaystyle \displaystyle\|\cdot\|_{}} jest normą w $X.$
Mówimy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{}$ jest {normą zadaną przez iloczyn skalarny} $(\cdot |\cdot ).$

W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.

(Nierówność Schwarza)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \left|(x|y)\right|\le\|x\|\|y\|. }

Ustalmy dowolne $x,y\in X.$ Jeśli $y=\mathrm{\Theta }$ to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że $y\ne \mathrm{\Theta }.$ Niech $\lambda =\frac{(x|y)}{(y|y)}$ Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego, mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0 \ \le\ (x-\lambda y|x-\lambda y) \ =\ (x|x)-2\lambda(x|y)+\lambda^2(y|y) \ =\ (x|x)-2\frac{(x|y)^2}{(y|y)} +\frac{(x|y)^2}{(y|y)} } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle =\ (x|x) -\frac{(x|y)^2}{(y|y)} \ =\ \|x\|-\frac{(x|y)^2}{\|y\|}. }

Zatem mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{(x|y)^2}{\|y\|^2} \ \le\ \|x\|^2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y)^2 \ \le\ \|x\|^2\cdot \|y\|^2, }

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |(x|y)| \ \le\ \|x\|\cdot\|y\|, }

co należało dowieść.

Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^N} mamy standardowy iloczyn skalarny.

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|.
(1)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|=0 \ \Longleftrightarrow\ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow x=\Theta, }

zatem pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\| \ =\ \sqrt{(\lambda x|\lambda x)} \ =\ \sqrt{\lambda^2}\sqrt{(x|x)} \ =\ |\lambda|\|x\|, }

zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3) Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ (x+y|x+y) \ =\ (x|x)+2(x|y)+(y|y) \ \le\ \|x\|^2+2\|x\|\cdot\|y\| +\|y^2\| \ =\ (\|x\|+\|y\|)^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\| \ \le\ \|x\|+\|y\|. }

zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.

Iloczyn skalarny w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \rr^N} dany wzorem (patrz Przykład Uzupelnic t.new.am2.w.03.175|)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\sr”): {\displaystyle \displaystyle (x|y) \sr \sumijN x_iy_i \quad } dla Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \ x=(x_1,\ldots,x_N),\ y=(y_1,\ldots,y_N)\in\rr^N }

zadaje normę euklidesową, bo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{(x|x)} \ =\ \sqrt{\sumijN x_i^2} \ =\ \|x\|_{2}. }

Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne zupełne.

{Przestrzenią Hilberta} nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.

(Ciągłość iloczynu skalarnego)
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \graph \bigg[ x_n\stackrel{X}{\lra} x,\ y_n\stackrel{X}{\lra} y \bigg] \ \ \Lra\ \ \bigg[ (x_n|y_n) \ \stackrel{\rr}{\lra}\ (x|y) \bigg] }

(oczywiście zbieżność Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\graph x_n\stackrel{X}{\lra} x} oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn skalarny $(\cdot |\cdot )$).

Niech $\{(x_n,y_n)\}$ będzie ciągiem takim, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\graph x_n\stackrel{X}{\lra} x} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\graph y_n\stackrel{X}{\lra} y.} Oznacza to, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle \|x_n-x\| \ \lra\ 0,\quad \|y_n-y\| \ \lra\ 0 }

oraz z ciągłości normy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\lra”): {\displaystyle \displaystyle \|x_n\|\lra \|x\|. }

Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|(x_n|y_n)-(x|y)\big| \ =\ \big|(x_n|y_n)-(x_n|y)+(x_n|y)-(x|y)\big| \ \le\ \big|(x_n|y_n-y)+(x_n-x|y)\big| } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \le\ \|x_n\|\cdot\|y_n-y\| +\|x_n-x\|\cdot\|y\|. }

Z wyżej wskazanych zbieżności w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr} wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ra”): {\displaystyle \displaystyle n\ra+\infty.} Oznacza to, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\graph (x_n|y_n)\stackrel{\rr}{\lra}(x|y),} co należało dowieść.

W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.

Niech $(X,(\cdot |\cdot ))$ będzie przestrzenią unitarną.
(1) Jeśli $(x|y)=0,$ to mówimy, że wektory $x$ i $y$ są {ortogonalne} (lub {prostopadłe}) i piszemy $x\perp y.$
{ Rysunek AM2.M03.W.R10 (stary numer AM2.4.5a)}
{ Rysunek AM2.M03.W.R11 (stary numer AM2.4.5b)} (2) Niech $Y$ będzie podprzestrzenią wektorową $X.$ Mówimy, że wektor $x$ jest {ortogonalny} ({prostopadły}, {normalny}) do podprzestrzeni $Y,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall y\in Y:\ x\perp y. }

Piszemy $x\perp Y.$
{ Rysunek AM2.M03.W.R12 (stary numer AM2.4.6)}
(3) Mówimy, że wektory $a_1,\dots ,a_k\in X$ tworzą układ {ortogonalny}, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\qfa”): {\displaystyle \displaystyle (a_i|a_j)=0 \qfa i\ne j. }

(4) Mówimy, że wektory $a_1,\dots ,a_k\in X$ tworzą układ {ortonormalny}, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\graph”): {\displaystyle \displaystyle \graph \forall i,j:\ \ (a_i|a_j)=\delta_{ij} \sr \left\{ \begin{array} {ll} 1 & \quad i=j,\\ 0 & \quad i\ne j \end{array} \right. }

(to znaczy wektory $a_1,\dots ,a_k$ są parami ortogonalne oraz mają normę $1$).

Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.

Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).

Baza kanoniczna w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\rr^N} jest bazą ortonormalną.

(Warunek równoległoboku)

$(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\Vert \cdot \Vert$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|^{2} +\|x-y\|^{2} \ =\ 2\big(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\big). }

Dla dowolnych ustalonych $x,y\in X$ liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2(x|y)+\|y\|^2, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2 \ =\ \|x\|^2-2(x|y)+\|y\|^2. }

Dodając stronami powyższe równości, dostajemy tezę twierdzenia.

{ Rysunek AM2.M03.W.R13 (stary numer AM2.4.7)}

(Twierdzenie Pitagorasa)

$(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\Vert \cdot \Vert$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny,

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \bigg[ x\perp y \ \ \Llra\ \ \|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+\|y\|^{2} \bigg]. }

Dla dowolnych ustalonych $x,y\in X$ liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2\underbrace{(x|y)}\limits_{=0}+\|y\|^2 \ =\ \|x\|^2+\|y\|^2, }

co należało dowieść.
{ Rysunek AM2.M03.W.R14 (stary numer AM2.4.8)}

Zauważmy, że gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\rr”): {\displaystyle \displaystyle X=\rr^2,} to implikacja w prawą stronę w powyższym twierdzeniu (Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Lra”): {\displaystyle \displaystyle \Lra} ), to znane ze szkoły twierdzenie Pitagorasa. Implikację w lewą stronę (Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\Lla”): {\displaystyle \displaystyle \Lla} ) znamy ze szkoły jako twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.