Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

Szeregi potęgowe. Szeregi trygonometryczne Fouriera. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Wyznaczyć promień zbieżności oraz przedział zbieżności dla następujących szeregów potęgowych:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{5}^n{x}^n$
(2) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x-2{)}^n}{(n+5)3^n}$
(3) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^n}{n}$
(4) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(x+3{)}^n}{n^2}$

Wskazówka

(1)--(4) Wyznaczyć promień zbieżności szeregów, stosując odpowiedni wzór (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.05.070|). Osobno zbadać zbieżność szeregów na końcach przedziału zbieżności.

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{5^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 5 \ =\ 5. }

Zatem promieniem zbieżności jest $R=\frac{1}{\kappa }=\frac{1}{5}.$ Szereg jest zatem zbieżny dla $x\in (-\frac{1}{5},\frac{1}{5})$ i rozbieżny dla $x\in \mathbb{ℝ}\setminus [-\frac{1}{5},\frac{1}{5}].$ Należy sprawdzić jego zbieżność dla $x=-\frac{1}{5}$ oraz $x=\frac{1}{5}.$

Dla $x=-\frac{1}{5}$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n,$ który jest rozbieżny (gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów), natomiast dla $x=\frac{1}{5}$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1,$ który jest rozbieżny (z tego samego powodu).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi $R=\frac{1}{5},$ a przedziałem zbieżności jest $(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}).$

(2) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{(n+5)3^n}} \ =\ \frac{1}{3}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n+5}} \ =\ \frac{1}{3}. }

Zatem promieniem zbieżności jest $R=\frac{1}{\kappa }=3.$ Szereg jest zatem zbieżny dla $x\in (2-3,2+3)=(-1,5)$ (gdyż środkiem tego szeregu jest $x_0=2$) i rozbieżny dla $x\in \mathbb{ℝ}\setminus [-1,5].$ Należy sprawdzić jego zbieżność dla $x=-1$ oraz $x=5.$

Dla $x=-1$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-3{)}^n}{(n+5)3^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+5},$ który jest zbieżny (na mocy kryterium Leibniza; patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic w.new.am1.w.07.130|), natomiast dla $x=5$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n}{(n+5)3^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+5}=\sum _{n=6}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$ który jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi $R=3,$ a przedziałem zbieżności jest $[-1,5).$

(3) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \ =\ 1. }

Zatem promieniem zbieżności jest $R=\frac{1}{\kappa }=1.$ Szereg jest zatem zbieżny dla $x\in (-1,1)$ i rozbieżny dla $x\in \mathbb{ℝ}\setminus [-1,1].$ Należy sprawdzić jego zbieżność dla $x=-1$ oraz $x=1.$

Dla $x=-1$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$ który jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), natomiast dla $x=1$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n},$ który jest zbieżny (jako szereg anharmoniczny).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi $R=1,$ a przedziałem zbieżności jest $(-1,1].$

(4) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \kappa \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}} \ =\ \frac{1}{3}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{(\sqrt[n]{n})^2} \ =\ 1. }

Zatem promieniem zbieżności jest $R=\frac{1}{\kappa }=1.$ Szereg jest zatem zbieżny dla $x\in (-3-1,-3+1)=(-4,-2)$ (gdyż środkiem tego szeregu jest $x_0=-3$) i rozbieżny dla $x\in \mathbb{ℝ}\setminus [-4,-2].$ Należy sprawdzić jego zbieżność dla $x=-4$ oraz $x=-2.$

Dla $x=-4$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2},$ który jest zbieżny (jako uogólniony harmoniczny z wykładnikiem $\alpha =2>1$; patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.06.150|), natomiast dla $x=-2$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2},$ który jest zbieżny (gdyż jest bezwzględnie zbieżny).
Odpowiedź: Promień zbieżności wynosi $R=1,$ a przedziałem zbieżności jest $[-4,-2].$

{}$◻$

Ćwiczenie

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w podanym punkcie $x_0,$ bez obliczania pochodnych funkcji:
(1) $f(x)=x^7+11x^6+5x^4-3x^2+2$
(2) $f(x)=x^2{e}^x,x_0=0$

Wskazówka

(1) Co to jest szereg Taylora? Czy rozwinięcie w szereg Taylora jest jednoznaczne?
(2) Znamy już rozwinięcie funkcji $g(x)=e^x$ w szereg Maclaurina.

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Ponieważ funkcja $f$ jest wielomianem, więc z jednoznaczności przedstawienia funkcji w szereg potęgowy wynika, że jest ona swoim szeregiem Maclaurina

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ f(x) \ =\ f(x)=x^7+11x^6+5x^4-3x^2+2. }

(2) Ponieważ znamy już szereg Maclaurina dla funkcji $g(x)=e^x$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ x^2 e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} \ =\ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{(n-2)!} }

jest szeregiem Maclaurina dla funkcji $f.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w podanym punkcie $x_0,$ bez obliczania pochodnych funkcji:
(1) $f(x)=\frac{1}{1-x},x_0=0$
(2) $f(x)=\frac{1}{x^2+4x+7},x_0=-2$
(3) $f(x)=\frac{1}{1+x^3},x_0=0$

Wskazówka

(1) Zauważyć, że funkcja $f$ dla każdego $x$ (bliskiego $x_0$) jest sumą pewnego znanego nam szeregu liczbowego.
(2) Zapisać trójmian kwadratowy w mianowniku w postaci kanonicznej i zauważyć, że funkcja $f$ jest sumą pewnego znanego nam szeregu liczbowego.
(3) Zrobić podobnie jak (1).

{}$◻$

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że wyrażenie $\frac{1}{1-x}$ jest sumą szeregu geometrycznego $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,$ gdy $|x|<1.$ Ponieważ rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne, więc jest to szereg Maclaurina funkcji $f$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n. }

(2) Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \frac{1}{x^2+4x+7} \ =\ \frac{1}{(x+2)^2+3} \ =\ \frac{\displaystyle\frac{1}{3}}{\displaystyle\bigg(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\bigg)^2+1}. }

Zauważmy, że powyższe wyrażenie jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $\frac{1}{3}$ i ilorazie $-(\frac{x+2}{\sqrt{3}}{)}^2.$ Zatem następujący szereg $S$ jest zbieżny do funkcji $f$ (gdy $\left|\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right|<1$)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3}\bigg(-\bigg(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\bigg)^2\bigg)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}}(x+2)^{2n}. }

Ale powyższy szereg jest szeregiem potęgowym o środku $x_0=-2.$ Ponieważ rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne, więc jest to szukany szereg Taylora funkcji $f$ o środku w punkcie $x_0=-2.$

(3) Zauważmy, że wyrażenie $\frac{1}{1+x^3}$ jest sumą szeregu geometrycznego $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-x^3{)}^n,$ gdy $|-x^3|<1,$ czyli dla $x\in (-1,1).$ Ponieważ rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne, więc szeregiem Maclaurina funkcji $f$ jest:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{3n}. } {}$◻$

Ćwiczenie

Rozwinąć następującą funkcję $f(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$ w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Funkcja jest pochodną funkcji z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.05.030| (z dokładnością do znaku). Skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.05.100|).

{}$◻$

Rozwiązanie

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{(1-x)^2} \ =\ -\bigg(\frac{1}{1-x}\bigg)'. }

Korzystając z rozwinięcia funkcji $\frac{1}{1-x}$ w szereg Maclaurina (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.05.030|(1)) oraz z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.05.100|), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{(1-x)^2} \ =\ -\bigg(\frac{1}{1-x}\bigg)' \ =\ -\bigg(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n\bigg)' \ =\ -\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \ =\ -\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n. } {}$◻$

Ćwiczenie

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję $f(x)=x,$ zadaną na przedziale $[-\pi ,\pi ].$

Wskazówka

Rozszerzyć funkcję do funkcji określonej na całym $\mathbb{ℝ}$ i zastosować wzory Eulera-Fouriera. W obliczeniach należy użyć wzoru na całkowanie przez części.

{}$◻$

Rozwiązanie

Rozszerzamy naszą funkcję do funkcji określonej na całym $\mathbb{ℝ},$ dostajemy funkcję z rysunku poniżej:
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM2.M05.W.R08 (stary numer AM2.3.8)}

Następnie liczymy współczynniki szeregu Fouriera:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}xdx=\frac{1}{4\pi}x^2\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0. }

Dla $m=1,2,\dots$ liczymy $a_m$ i $b_m$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\cos(mx)dx= }

tu całkujemy przez części ($u(x)=x,v^{\prime }(x)=\cos (mx)$)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle =\frac{1}{\pi}x\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(mx)}{m}dx=\frac{1}{\pi}\frac{\cos(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\cos(m\pi)}{m}-\frac{\cos(m(-\pi))}{m}\right) \ =\ 0. }

Licząc analogicznie mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\sin(mx)dx=-\frac{1}{\pi}x\frac{\cos(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos(mx)}{m}dx\\ &= -\left(\frac{1}{\pi}\pi\frac{\cos(m\pi)}{m}-\frac{1}{\pi}(-\pi)\frac{\cos(m(-\pi))}{m}\right)+ \frac{1}{m\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)=\frac{2}{m}(-1)^{m+1}+\frac{1}{m^2\pi}\sin(mx)\bigg|_{-\pi}^{\pi}\\ &= \frac{2}{m}(-1)^{m+1}. \endaligned}

A zatem szereg Fouriera funkcji $f(x)=x$ w przedziale $[-\pi ,\pi ]$ jest dany wzorem

$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{m+1}}{m}\sin (mx).$

{ Rysunek AM2.M05.C.R01 (stary numer AM2.3.10)}
Uwaga: Z kryterium Dirichleta (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.05.180|) wynika, że ten szereg jest zbieżny do $f$ na całym przedziale otwartym $(-\pi ,\pi ).$ Na końcach przedziału suma szeregu wynosi (oczywiście!) zero, także zgodnie z kryterium Dirichleta (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.05.180|).

{}$◻$

Ćwiczenie

Wykazać, że szereg Fouriera funkcji parzystej (całkowalnej i okresowej o okresie $2\pi$) zawiera same cosinusy, a funkcji nieparzystej same sinusy.

Wskazówka

Najpierw wykazać, że jeśli $g(x)$ jest funkcją daną w przedziale $[-\pi ,\pi ],$ całkowalną i nieparzystą, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}g(x)dx \ =\ 0 } {}$◻$

Rozwiązanie

Niech $g(x)$ będzie funkcją daną w przedziale $[-\pi ,\pi ],$ całkowalną i nieparzystą. Wówczas

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}g(x)dx=\underset{-\pi }{\overset{0}{\int }}g(x)dx+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(x)dx=$

(stosujemy w pierwszej całce podstawienie $x=-t$)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle =\displaystyle\int\limits_{\pi}^{0}g(-t)(-dt)+\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(x)dx=-\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(t)dt+\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}g(x)dx \ =\ 0. }

Niech teraz $f$ będzie funkcją parzystą. Wtedy $f(x)\sin (nx)$ jest funkcją nieparzystą. Zatem, stosując pierwszy udowodniony fakt mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle b_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \ =\ 0, }

więc wszystkie współczynniki przy sinusach są równe zero.

Jeśli funkcja $f$ jest nieparzysta, to $f(x)\cos (nx)$ jest też funkcją nieparzystą i wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx=0, }

a zatem znikają wszystkie współczynniki przy cosinusach.

{}$◻$

Ćwiczenie

Rozwinąć funkcję $f(x)=x,$ zadaną na przedziale $[0,\pi ]$ w szereg Fouriera zawierający same cosinusy.

Wskazówka

Takie sformułowanie zadania oznacza, że nie mamy traktować naszej funkcji jako funkcji okresowej o okresie $\pi ,$ ale najpierw rozszerzyć ja do przedziału $[-\pi ,\pi ],$ a dopiero potem na całe $\mathbb{ℝ}.$ Oczywiście, to jak rozszerzymy funkcję do przedziału $[-\pi ,\pi ]$ zależy od tego jaki szereg chcemy uzyskać. Z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.05.060| wynika, że szereg Fouriera funkcji parzystej będzie zawierał same cosinusy, a szereg Fouriera funkcji nieparzystej - same sinusy.

{}$◻$

Rozwiązanie

Skorzystamy z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.05.060|.

Jeśli zatem mamy rozwinąć funkcję $f(x)=x,$ zadaną na przedziale $[0,\pi ]$ w szereg Fouriera zawierający same cosinusy, to musimy najpierw przedłużyć ją na przedział $[-\pi ,\pi ]$ tak, by dostać funkcję parzystą. Funkcja przedłużona jest zatem określona wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \tilde f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} x, & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & x\in [0,\pi] \\ -x, & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & x\in [-\pi,0] \end{array} \right. }

Funkcję $\tilde{f}(x)$ rozszerzamy następnie okresowo na całe $\mathbb{ℝ}.$

Ze wzorów Eulera-Fouriera mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x)dx=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}xdx \ =\ \frac{x^2}{2}\bigg|_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}. }

Dla $n=1,2,\dots$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x)\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\cos(nx)dx= }

(całkujemy przez części, $u(x)=x,v^{\prime }(x)=\cos (nx)$)

$=\frac{2}{\pi }x\frac{\sin (nx)}{n}{|}_0^{\pi }-\frac{2}{n\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (nx)dx=\frac{2}{n^2\pi }(\cos (n\pi )-1).$

Zatem, skoro $\cos (n\pi )=(-1{)}^n,$ mamy

$a_{2k}=0,a_{2k-1}=\frac{-4}{(2k-1{)}^2\pi }.$

Oczywiście, z powyższych rozważań wynika, że $b_n=0$ dla $n=1,2,\dots .$

Tak więc szukany szereg, to

$\frac{\pi }{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{-4}{(2k-1{)}^2\pi }\cos ((2k-1)x).$

{ Rysunek AM2.M05.C.R02 (stary numer AM2.3.11)}

{}$◻$

Ćwiczenie

Policzyć sumę szeregu Leibniza:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$

Wskazówka

Wykorzystać Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.05.050|.

{}$◻$

Rozwiązanie

Z Zadania Uzupelnic z.new.am2.c.05.050|(1) wiemy, jak wygląda szereg Fouriera funkcji $f(x)=x$ na przedziale $[-\pi ,\pi ].$ (Funkcja jest nieparzysta, więc nic dziwnego, że szereg zawiera same sinusy, porównaj Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.05.060|.) Z kryterium Dirichleta (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.05.180|) wynika, że dla $x\in (-\pi ,\pi )$ mamy równość:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ =\ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m+1}}{m}\sin(mx). }

Wstawmy zatem $x=\frac{\pi }{2}.$ Dostaniemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{\pi}{2} \ =\ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m+1}}{m}\sin(m\frac{\pi}{2}). }

Zauważmy, że $\sin ((2k-2)\frac{\pi }{2})=0,\sin ((4k-3)\frac{\pi }{2})=1,\sin ((4k-1)\frac{\pi }{2})=-1,k=1,2,\dots ,$ a zatem naszą równość możemy zapisać tak:

$\frac{\pi }{2}=2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{-1}{4k-1}+\frac{1}{4k-3})=2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}.$

To daje odpowiedź na nasze pytanie,

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}=\frac{\pi }{4}.$ {}$◻$

Ćwiczenie

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję daną w przedziale $[-\pi ,\pi ]$ wzorem

$f(x)=\sin (2x)-3\cos (2x)+11\cos (5x)-0.1\sin (6x).$

Wskazówka

Rozwiązanie jest oczywiste.

{}$◻$

Rozwiązanie

Szereg Fouriera tej funkcji jest jej równy, bo ona już jest swoim (skończonym) szeregiem trygonometrycznym. (Należy zwrócić uwagę, że współczynniki w szeregu Fouriera są wyznaczone jednoznacznie, zatem, jeśli znajdziemy jakieś przedstawienie funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego, to mamy już rozwinięcie w szereg Fouriera).
{ Rysunek AM2.M05.C.R03 (stary numer AM2.3.12)}

{}$◻$