Analiza matematyczna 2/Wykład 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

W tym wykładzie prezentujemy twierdzenie Fubiniego (z dowodem tylko dla kostki w ${\mathbb{ℝ}}^2$) oraz twierdzenie o zmianie zmiennych w całce. Podajemy przykłady zmiany zmiennych w ${\mathbb{ℝ}}^2$ na współrzędne biegunowe oraz w ${\mathbb{ℝ}}^3$ na współrzędne walcowe i sferyczne.

Twierdzenie Fubiniego

Ten wykład poświęcony jest dwóm najważniejszym twierdzeniom dotyczącym całek wielokrotnych. Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całki wielokrotne (podwójne, potrójne itd) po odpowiednich obszarach za pomocą kolejnego liczenia pewnych całek pojedynczych w odpowiednich granicach. Drugim z twierdzeń jest twierdzenie o zmianie zmiennych w całce, odpowiednik twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całki jednej zmiennej, także bardzo ważne dla obliczania całek.

Na ćwiczeniach do poprzedniego wykładu policzyliśmy z definicji $\underset{K}{\iint }xydxdy=\frac{1}{4}$ gdzie $K=[0,1]\times [0,1].$

Policzmy teraz $\underset{0}{\overset{1}{\int }}xydx,$ traktując $y$ jako stałą. Dostaniemy oczywiście

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}xydx=y\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{y}{2}.$

Następnie policzmy $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{y}{2}dy,$ czyli całkę "z tego" co otrzymaliśmy wyżej. Dostaniemy

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{y}{2}dy=\frac{y}{4}{|}_0^1=\frac{1}{4}.$

Policzyliśmy zatem

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}xydx\right)dy=\frac{1}{4}.$

Jeśli policzymy "w drugą stronę", czyli najpierw całkę względem $y$ a potem względem $x$ to dostaniemy

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}xydy=x\frac{y^2}{2}{|}_0^1=\frac{x}{2},$

następnie

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{2}dy=\frac{x}{4}{|}_0^1=\frac{1}{4},$

zatem także

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}xydy\right)dx=\frac{1}{4}.$

Otrzymaliśmy zatem następujące równości:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]}xy\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx. }

W takim razie, możemy zapytać: może takie równości zachodzą zawsze? Okazuje się, że (przy rozsądnych założeniach) faktycznie tak jest - mówi o tym Twierdzenie Fubiniego.

Twierdzenie

(Twierdzenie Fubiniego)
Niech $K_1$ będzie kostką w ${\mathbb{ℝ}}^n$ a $K_2$ kostką w ${\mathbb{ℝ}}^m.$ Zmienne w ${\mathbb{ℝ}}^n$ oznaczmy przez $x$ a w ${\mathbb{ℝ}}^m$ przez $y.$ Weźmy funkcję $f:A\times B\to \mathbb{ℝ}.$ Załóżmy, że dla każdego ustalonego $y\in B$ funkcja $f(\cdot ,y)$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $A$ oraz, że dla każdego ustalonego $x\in A$ funkcja $f(x,\cdot )$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $B.$ Wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy. }

Uwaga

(1) W szczególności, gdy funkcja $f(x,y)$ jest ciągła na $A\times B,$ to obie funkcje $f(\cdot ,y):A\to \mathbb{ℝ}$ i $f(x,\cdot ):B\to \mathbb{ℝ},$ są całkowalne i zachodzą powyższe równości, czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right) dx=\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy. }

(2) Nietrudno zauważyć, że w twierdzeniu Fubiniego zamiast kostek $A$ i $B$ możemy wziąć dowolne zbiory J-mierzalne - bo i tak całkowanie po dowolnych zbiorach J-mierzalnych sprowadziliśmy do całkowania po kostkach (patrz poprzedni wykład).
(3) Całki $\underset{A}{\int }(\underset{B}{\int }f(x,y)dy)dx$ i $\underset{B}{\int }(\underset{A}{\int }f(x,y)dx)dy$ nazywamy całkami iterowanymi.

Dowód

Dowód twierdzenia Fubiniego przedstawimy tylko dla przypadku gdy $K_1$ i $K_2$ są kostkami w $\mathbb{ℝ}$ (czyli $K_1\times K_2$ jest kostką (prostokątem) w ${\mathbb{ℝ}}^2.$ W tym przypadku twierdzenie i dowód łatwo zilustrować rysunkiem. { Rysunek AM2.M11.W.R01 (stary numer AM2.11.18)}
Idea dowodu dla kostek wyżej wymiarowych jest dokładnie taka sama. Dla dodatkowego uproszczenia dowodu założymy, że funkcja $f$ jest ciągła. A zatem wypiszmy:

Twierdzenie

(Twierdzenie Fubiniego dla funkcji ciągłej na prostokącie)
Niech $K=[a,b]\times [c,d]$ będzie kostką w ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Niech $f:K\to \mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją całki iterowane $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$ i $\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx)dy$ oraz zachodzą równości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right) dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy. }

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Wykażemy istnienie całki $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$ i równość

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx. }

Istnienia drugiej z całek iterowanych i drugiej równości dowodzi się analogicznie. Niech $d_2$ oznacza metrykę euklidesową w ${\mathbb{ℝ}}^2,$ czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \ =\ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. }

Krok I. Istnienie całki $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$
I.1. Zauważmy, że dla dowolnego $\epsilon >0$ istnieje $\delta >0$ takie, że

$d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))<\delta \Rightarrow |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)<\epsilon ,$

dla $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ z kostki $K.$ Faktycznie, skoro funkcja $f$ jest ciągła a zbiór $K$ jest zwarty, to funkcja $f$ jest jednostajnie ciągła (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.new.am2.w.02.390|). To dokładnie oznacza, że spełniona jest powyższa implikacja.
I.2. Wykażemy, że funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ :=\ \displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy }

jest funkcją ciągłą.

Ponieważ $f$ jest funkcją ciągłą, $\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy$ istnieje dla dowolnego $x\in [a,b].$ Aby wykazać, że $g$ jest funkcją ciągłą, weźmy dowolne $\epsilon >0.$ Szukamy $\delta >0,$ takiego, że spełnione jest wynikanie:

$|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\epsilon .$

Weźmy teraz ${\epsilon }^{\prime }:=\frac{\epsilon }{d-c}.$ Do tego ${\epsilon }^{\prime }$ dobierzmy $\delta$ tak jak w punkcie I.1. Mamy zatem w szczególności:

$d_2((x_1,y),(x_2,y))<\delta \Rightarrow |f(x_1,y)-f(x_2,y)|<{\epsilon }^{\prime },$

czyli, podstawiając do wzoru na $d$ mamy

$|x_2-x_1|<\delta \Rightarrow f(x_1,y)-{\epsilon }^{\prime }<f(x_2,y)<f(x_1,y)+{\epsilon }^{\prime }.$

Całkując te nierówności stronami (korzystamy z monotoniczności całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej), otrzymujemy:

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_1,y)dy-{\epsilon }^{\prime }(d-c)<\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_2,y)dy<\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_1,y)dy+{\epsilon }^{\prime }(d-c),$

czyli

$\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_1,y)dy-\epsilon <\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_2,y)dy<\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_1,y)dy+\epsilon ,$

zatem

$|g(x_1)-g(x_2)|=|\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_1,y)-\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x_2,y)dy|<\epsilon ,$

przy $|x_2-x_1|<\delta ,$ co dowodzi ciągłości funkcji $g.$
I.3. Zauważmy, że skoro $g$ jest funkcją ciągłą na $[a,b]$ to istnieje $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx,$ a to dowodzi istnienia

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$

Krok II. Równość $\underset{[a,b]\times [c,d]}{\int }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$
II.1. Z części I dowodu i z założeń twierdzenia wynika, że całki po obu stronach równości istnieją, Wystarczy zatem znaleźć granicę sum całkowych dla pewnego normalnego ciągu podziałów.
II.2. Zdefiniujmy normalny ciąg podziałów $(P_n{)}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ dzieląc każdy z odcinków $[a,b]$ i $[c,d]$ na $n$ równych odcinków, czyli:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_i^n &= a+\frac{i}{n}(b-a), b_i^n=a_i^n+\frac{1}{n}(b-a),\ i=0,1,\ldots,n-1,\\ c_j^n &= c+\frac{j}{n}(d-c), d_j^n=c_j^n+\frac{1}{n}(d-c),\ j=0,1,\ldots,n-1, \endaligned}

a następnie biorąc iloczyn kartezjański tych odcinków:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_{ij}^n \ :=\ [a_i^n,b_i^n]\times[c_j^n,d_j,^n],\ \ i,j=0,\ldots,n-1. }

Kostkami podziału $P_n$ są więc kostki $K_{ij}^n,$ objętość takiej kostki to $v(K_{ij}^n)=(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n).$
II.3. Weźmy teraz dla każdego podziału ciąg punktów pośrednich, czyli

$p_{ij}^n\in K_{ij}^n.$

Utwórzmy sumę całkową:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S_n \ :=\ \sum_{i,j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n). }

Skoro istnieje całka podwójna, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n \ =\ \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy. }

Wystarczy zatem pokazać, że granicą ciągu $(S_n)$ jest też $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$
II.4. Pokażemy, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$

Musimy zatem pokazać, że dla ustalonego $\epsilon >0$ istnieje $N_0\in \mathbb{\mathbb{N}},$ takie, że dla $n\ge N_0$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-S_n\bigg| \ <\ \varepsilon. }

Ustalmy zatem $\epsilon >0.$ Weźmy ${\epsilon }^{\prime }:=\frac{\epsilon }{(b-a)(d-c)}.$ Do tego ${\epsilon }^{\prime }$ dobierzmy $\delta$ tak jak w punkcie I.1. dowodu. Dobierzmy $N_0$ takie, by $\frac{1}{N_0}<\delta .$ W takim razie, jeśli dla $n>N_0$ mamy $(x,y)\in K_{ij}^n$ to $d((x,y),p_{ij}^n)<\delta$ a zatem (z I.1.)

$|f(x,y)-f(p_{ij}^n)|<{\epsilon }^{\prime },$

czyli

$f(x,y)-{\epsilon }^{\prime }<f(p_{ij}^n)<f(x,y)+{\epsilon }^{\prime }.$

Całkując te nierówności względem $y$ po przedziale $[c_j^n,d_j^n],$ dostaniemy (dla ustalonego $x\in [a_i^n,b_i^n]$):

$\underset{c_j^n}{\overset{d_j^n}{\int }}f(x,y)dy-{\epsilon }^{\prime }(d_j^n-c_j^n)<f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)<\underset{c_j^n}{\overset{d_j^n}{\int }}f(x,y)dy+{\epsilon }^{\prime }(d_j^n-c_j^n),$

czyli

$|\underset{c_j^n}{\overset{d_j^n}{\int }}f(x,y)dy-f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)|<{\epsilon }^{\prime }(d_j^n-c_j^n).$

Weźmy teraz sumę powyższych nierówności dla $j=0,\dots ,n-1$ (i dla $x\in [a_i^n,b_i^n]$). Dostaniemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\sum_{j=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg| \ =\ \bigg|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg|<\varepsilon'\sum_{j=0}^{n-1}(d_j^n-c_j^n) \ =\ \varepsilon'(d-c). }

Tak więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg| \ <\ \varepsilon'(d-c). }

Całkując tę nierówność po przedziałach $[a_i^n,b_i^n]$ a następnie sumując wszystkie całki dla $i=0,\dots ,n-1$ dostaniemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\sum_{i=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{a_i^n}^{b_i^n}\left(\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy\right)dx- \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\bigg| \ <\ \sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon'(d-c)(b_i^n-a_i^n), }

a zatem, po zesumowaniu

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\bigg| \ <\ \varepsilon'(d-c)(b-a)=\varepsilon, }

co należało dowieść.

Uwaga

(Zapis całek iterowanych)
Całki iterowane, na przykład $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx$ będziemy, w celu uniknięcia pisania dużej ilości nawiasów, zapisywali tak:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy,$

podobnie, zamiast $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{p}{\overset{q}{\int }}f(x,y,z)dz)dy\right)dx$ napiszemy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx\underset{c}{\overset{d}{\int }}dy\underset{p}{\overset{q}{\int }}f(x,y,z)dz.$

Przykład

Policzyć całkę

$\underset{K}{\iint }xy-y^{2}dxdy,$

gdzie $K=[1,2]\times [3,4].$

Rozwiązanie

{ Rysunek AM2.M11.W.R02 (stary numer AM2.11.1)} Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twierdzenie Fubiniego. Otrzymamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iint\limits_K xy-y^2 dxdy &= \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_3^4(xy-y^2)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_1^2\left((x\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})\bigg|_3^4\right)dx\\ &=\displaystyle\int\limits_1^2\left(\frac{7x}{2}-\frac{37}{3}\right)dx \ =\ \left(\frac{7x^2}{4}-\frac{37x}{3}\right)\bigg|_1^2=-\frac{85}{12}. \endaligned} {}$◻$

Najczęściej spotykanymi obszarami, po których będziemy chcieli całkować nie są jednak kostki tylko tak zwane zbiory normalne. Zdefiniujmy:

Definicja

(1) Niech $[a,b]$ będzie odcinkiem w $\mathbb{ℝ},$ niech $h_1:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ i $h_2:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ będą funkcjami ciągłymi na $[a,b],$ takimi, że $h_1(x)<h_2(x),x\in [a,b].$ Wtedy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ :=\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 | a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\} }

nazywamy zbiorem normalnym względem osi $Ox.$
(2) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi $Oy.$
(3) Zbiór $D$ zawarty w ${\mathbb{ℝ}}^3$ jest normalny względem współrzędnej $z,$ jeśli istnieje pewien zbiór normalny $A$ zawarty w płaszczyźnie $xy,$ oraz istnieją dwie funkcje $g_1,d_2:A\to \mathbb{ℝ}$ takie, że $g_1(x,y)<g_2(x,y)$ oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | (x,y)\in A, g_1(x,y) \ \leq\ z\leq g_2(x,y)\}. }

(4) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współrzędnych.
(5) Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem jakiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który można podzielić na sumę zbiorów regularnych o rozłącznych wnętrzach.
{ Rysunek AM2.M11.W.R03 (stary numer AM2.11.2.a)}
{ Rysunek AM2.M11.W.R04 (stary numer AM2.11.2.b)}
{ Rysunek AM2.M11.W.R05 (stary numer AM2.11.3)}

Definicje normalności i regularności można oczywiście uogólnić na więcej wymiarów, ale nie będziemy tego robić.

Jak już wspomnieliśmy, w praktyce najczęściej będziemy chcieli całkować funkcje po zbiorach normalnych. Wypiszmy więc jak w przypadku takich zbiorów wygląda twierdzenie Fubiniego.

Niech zatem $A$ będzie zbiorem normalnym w ${\mathbb{ℝ}}^2$ zadanym jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ :=\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 | a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}, }

gdzie $h_1,h_2$ są jak w definicji. Niech $D$ będzie zbiorem normalnym w ${\mathbb{ℝ}}^3$ danym jako

$D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3|(x,y)\in A,g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\},$

gdzie $g_1,g_2$ są jak w definicji. Mamy:

Twierdzenie

(Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w ${\mathbb{ℝ}}^2$ i ${\mathbb{ℝ}}^3$) (1) Jeśli $f:A\to \mathbb{ℝ}$ jest funkcją ciągłą, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_Af(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy. }

(2) Jeśli $f:D\to \mathbb{ℝ}$ jest funkcją ciągłą, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}dy\displaystyle\int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dz. }

Dowód tej wersji Twierdzenia Fubiniego można dostać jako wniosek z ogólnej wersji twierdzenia (dowodząc, że zbiory regularne są J-mierzalne), albo można udowodnić to twierdzenie bezpośrednio, nieco modyfikując dowód Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.11.030|.

Możemy teraz policzyć następującą całkę.

Przykład

Policzyć całkę

$\underset{T}{\iint }{x}^{2}ydxdy,$

gdzie $T$ jest trójkątem ograniczonym prostymi: $y=x,y=2x-3,y=1.$
{ Rysunek AM2.M11.W.R06 (stary numer AM2.11.4a)} { Rysunek AM2.M11.W.R07 (stary numer AM2.11.4b)}

Rozwiązanie

Zauważmy, że zbiór $T$ jest normalny względem osi $Ox.$ Ponieważ jednak funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji ($y=1$ oraz $y=2x-3$), to wygodniej będzie podzielić $T$ na dwa zbiory normalne (o rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt $T_1$ ograniczony prostymi: $y=x,y=1,x=2,$ a drugi to trójkąt $T_2$ ograniczony prostymi: $y=x,y=2x-3,x=2.T$ jest więc zbiorem regularnym. Z twierdzenia Fubiniego mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned & & \iint\limits_Tf(x,y)dxdy=\iint\limits_{T_1}f(x,y)dxdy+\iint\limits_{T_2}f(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_1^xx^2ydy+\displaystyle\int\limits_2^3dx\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x x^2y dy\\ &= \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_1^x dx+\displaystyle\int\limits_2^3\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x \bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_{2x-3}^x dx \ =\ \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2(x^2-1)\bigg)dx+\displaystyle\int\limits_2^3\bigg(-\frac{3}{2}x^2(x^2-4x+3)\bigg)dx\\ &= \bigg(\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{6}x^3\bigg)\bigg|_1^2+\bigg(\frac{-3}{10}x^5+\frac{3}{2}x^4-\frac{3}{2}x^3\bigg)\bigg|_2^3 \ =\ \frac{57}{10}+\frac{29}{15} \ =\ \frac{229}{30}. \endaligned} {}$◻$

Twierdzenie o zmianie zmiennych

Jeszcze jedno twierdzenie bardzo nam się przyda do liczenia całek wielowymiarowych. Jest to uogólnienie na więcej wymiarów znanego już z teorii całki jednej zmiennej twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie. W przypadku wielowymiarowym nosi ono nazwę twierdzenia o zmianie zmiennych.

Załóżmy, że mamy zbiory J-mierzalne $B$ i $D$ w ${\mathbb{ℝ}}^n$ oraz odwzorowanie $\phi :B\to D,$ które jest ${{𝒞}}^{{𝟏}}$-dyfeomorfizmem (to znaczy, że $\phi$ jest bijekcją klasy ${{𝒞}}^{{𝟏}}$ i odwzorowanie odwrotne do $\phi$ też jest tej klasy). Dla odwzorowania $\phi (x)=({\phi }_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,{\phi }_n(x_1,\dots ,x_n))$ możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych (w punkcie $x\in B$):

Jac Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle _x\varphi \ =\ \left[ \begin{array} {ccc} \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) &\ldots& \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_n}(x)\\ \vdots&\ldots&\vdots \\ \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(x) &\ldots& \frac{\partial\varphi_n}{\partial x_n}(x) \end{array} \right] }

Wyznacznik tej macierzy (w punkcie $x\in B$) nazywamy jakobianem $\phi$ w punkcie $x$. Gdy $\phi$ jest dyfeomorfizmem, to $\det$ Jac ${}_x\phi \ne 0$.

Współrzędne w zbiorze $D$ oznaczmy przez $y=(y_1,\dots ,y_n).$

Twierdzenie o zmianie zmiennych brzmi następująco.

Twierdzenie

(Twierdzenie o zmianie zmiennych)
Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej, niech $f:D\to \mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ciągłą. Wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy_1\ldots dy_n \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))|\det } Jac ${}_x\phi |d{x}_1\dots d{x}_n.$

Uwaga

Zauważmy, że dla $n=1$ dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx. }

Dowód twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.11.090| pomijamy. Przedstawimy natomiast kilka użytecznych przykładów.

Uwaga

W powyższym twierdzeniu nie trzeba zakładać, że odwzorowanie $\phi$ jest dyfeomorfizmem na całym zbiorze $B,$ wystarczy założyć, że istnieje podzbiór $B_0\subset B,$ taki, że $m(B_0)=0$ oraz $\phi :B\setminus B_0\to D$ jest dyfeomorfizmem.

Zmiana zmiennych na współrzędne biegunowe w ${\mathbb{ℝ}}^2$

Niech zbiorem $D$ będzie ${\mathbb{ℝ}}^2\setminus \{(x,0)|x\ge 0\}.$ Określamy odwzorowanie $T$ prowadzące ze zbioru $B:=(0,+\mathrm{\infty })\times (0,2\pi )$ następująco:

$\phi (r,\alpha ):=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

gdzie $T(r,\alpha )$ najczęściej zapisujemy jako

$x=r\cos \alpha ,y=r\sin \alpha .$

{ Rysunek AM2.M11.W.R08 (stary numer AM2.11.5)}
Tak więc $r=\sqrt{x^2+y^2},$ a zatem $r\ge 0$ jest odległością punktu $(x,y)$ od początku układu współrzędnych. Kąt $\alpha$ jest kątem, jaki tworzy wektor o początku w $(0,0)$ a końcu w $(x,y)$ z dodatnią częścią osi $Ox.$

Licząc jakobian tej zmiany zmiennych dostajemy $\det$ Jac ${}_{(r,\alpha )}T=r$ (trzeba policzyć pochodne cząstkowe $x$ i $y$ po $r$ i $\alpha$ a następnie wyznacznik macierzy Jacobiego). Tak więc tu jakobian jest zawsze dodatni.

Tę zmianę zmiennych stosujemy najczęściej gdy obszarem całkowania (zbiorem $D$) jest koło, pierścień lub ich wycinek. Jak wtedy wygląda zbiór $B$ obrazują przykłady poniżej.

W dalszych rozważaniach najczęściej nie będziemy rozróżniać pomiędzy $D$ i $D\setminus D_0,$ (lub $B$ i $B\setminus B_0$) gdzie $m(D_0)=0$ ($m(B_0)=0$) i, choć nie jest to w pełni poprawne, będziemy pisać o zmianie zmiennych z $B$ do $D$ a nie z $B\setminus B_0$ do $D\setminus D_0,$ ignorując fakt, że zmiana zmiennych może nie być dyfeomorfizmem na jakimś zbiorze miary zero.

Przykład

Policzyć całkę

$\underset{D}{\iint }{x}^2+y^{2}dxdy,$

gdzie $D$ jest kołem o promieniu $R$ i środku w punkcie $(0,0),$ zatem $D=\{(x,y)|x^2+y^2\le R^2\}.$

Rozwiązanie

Skoro $x^2+y^2\le R^2$ to promień $r=\sqrt{x^2+y^2}$ zmienia się w przedziale $[0,r]$ a kąt $\alpha$ zmienia się w całym zakresie $[0,2\pi ].$

Tak więc $B=[0,R]\times [0,2\pi ],$ czyli mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2 dxdy=\iint\limits_B(r^2)rdrd\alpha \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^3 dr \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2 \pi} \frac{R^4}{4} d\alpha=2\pi R^4, }

gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie zmiennych a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.

{}$◻$

Przykład

Policzyć całkę

$\underset{D}{\iint }xdxdy,$

gdzie $D$ jest ćwiartką koła o promieniu $R$ i środku w punkcie $(0,0),$ leżącą drugiej ćwiartce płaszczyzny.

Rozwiązanie

Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem $r$ zmienia się także od zera do $R,$ natomiast $\alpha \in [\frac{\pi }{2},\pi ].$ Tak więc Tak więc $B=[0,R]\times [\frac{\pi }{2},\pi ],$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_Dx dxdy \ =\ \iint\limits_Br^2\cos\alpha drd\alpha=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^2\cos\alpha dr \ =\ \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{R^3}{3}\cos\alpha d\alpha \ =\ \frac{R^3}{3}(-\sin\alpha)\bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ =\ \frac{R^3}{3}. }

{ Rysunek AM2.M11.W.R09 (stary numer AM2.11.6.a)}
{ Rysunek AM2.M11.W.R10 (stary numer AM2.11.6.b)}

{}$◻$

Zmiana zmiennych na współrzędne sferyczne w ${\mathbb{ℝ}}^3$

Podobnie do współrzędnych biegunowych w ${\mathbb{ℝ}}^2$ definiujemy współrzędne sferyczne w${\mathbb{ℝ}}^3.$ Mamy:

$\{\begin{array}{ll}x& =r\sin \beta \cos \alpha ,\\ y& =r\sin \beta \sin \alpha ,\\ z& =r\cos \beta ,\end{array}$

gdzie $r\in (0,+\mathrm{\infty }),\alpha \in (0,2\pi ),\beta \in (0,\pi ).$

Teraz $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ jest odległością punktu $(x,y,x)$ od początku układu współrzędnych, $\alpha$ jest kątem jaki tworzy wektor $[x,y,0]$ z dodatnią częścią osi $Ox$ a $\beta$ jest kątem jaki tworzy wektor $[x,y,z]$ z dodatnią częścią osi $Oz.$

Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi $r^2\sin \beta$ -- a zatem jest dodatni, bo $\beta \in (0,\pi ).$
{ Rysunek AM2.M11.W.R11 (stary numer AM2.11.7)}

Przykład

Policz całkę

$\underset{D}{\iiint }{z}^{2}dxdydz,$

gdzie $D$ jest górną połową kuli o środku w $(0,0,0)$ i promieniu $R.$

Rozwiązanie

Kula opisana jest nierównością $x^2+y^2+z^2\le R^2,$ w takim razie $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ zmienia się w przedziale $[0,R].$ Górną połowę kuli zadaje nierówność $z>0,$ zatem musi być $r\cos \beta >0,$ czyli $\cos \beta >0$ a zatem $\beta \in (0,\frac{\pi }{2}).$ Na $\alpha$ nie mamy żadnych dodatkowych warunków, więc $\alpha \in [0,2\pi ].$ Zatem $B=[0,R]\times [0,2\pi ]\times (0,\frac{\pi }{2}).$ Tak więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned & & \iiint\limits_D z^2 dxdydz=\iiint\limits_{B} r^3 \sin\beta \cos\beta d\alpha d\beta dr = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} d\beta \displaystyle\int\limits_0^R r^3 \sin\beta \cos\beta dr\\ &= \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\beta \cos\beta d\beta \ =\ \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin^2\beta\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\right) d\alpha \ =\ \frac{R^4}{4}\pi. \endaligned} {}$◻$

Zmiana zmiennych na współrzędne walcowe w ${\mathbb{ℝ}}^3$

Ta zmiana zmiennych jest w zasadzie zmianą na współrzędne biegunowe w ${\mathbb{ℝ}}^2.$ Opisana jest wzorami:

$\{\begin{array}{ll}x& =r\cos \alpha ,\\ y& =r\sin \alpha ,\\ z& =z,\end{array}$

{ Rysunek AM2.M11.W.R12 (stary numer AM2.11.8)}
gdzie $r\in (0,+\mathrm{\infty }),\alpha \in (0,2\pi ),z\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }).$ Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi $r>0.$

Przykład

Policzyć całkę

$\underset{D}{\iiint }zdxdydz,$

gdzie $D$ jest walcem o podstawie $\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2|x^2+y^2<R^2\}$ i o wysokości $H.$

Rozwiązanie

Skoro $x^2+y^2<R^2$ to $r=\sqrt{x^2+y^2}\in (0,R),$ na kąt $\alpha$ nie mamy dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi $H$ to $z\in [0,H].$ Tak więc $B=(0,R)\times (0,2\pi )\times [0,H].$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iiint\limits_D z dxdydz &= \iiint\limits_B rz d\alpha dr dz \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R dr\displaystyle\int\limits_0^H rz dz \ =\ \frac{H^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r dr\\ &= \frac{H^2}{2}\frac{R^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \ =\ \pi\frac{H^2R^2}{2}. \endaligned} {}$◻$

Ciekawsze przykłady policzymy na ćwiczeniach.