Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

14. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenie

Obliczyć następującą całkę korzystając z definicji:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$

{black}

Wskazówka

Zauważyć najpierw, że ta całka istnieje. Gdy już to wiemy, wystarczy policzyć granicę ciągu sum całkowych dla dogodnie wybranego ciągu podziałów normalnych.

{}$◻$

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja $f(x)$ jest ciągła na przedziale $[0,1],$ więc całka Riemanna z tej funkcji istnieje (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am1.w.14.090|). Niech $\{P_n\}$ będzie ciągiem podziałów przedziału $[0,1],$ gdzie $P_n$ jest podziałem odcinka $[0,1]$ na $n$ równych pododcinków, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P_n:\ 0 \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ 1, }

gdzie $x_i=\frac{i}{n}$ dla $i=0,1,\dots ,n.$ Obliczmy dolną sumę całkową odpowiadającą podziałowi $P_n$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle L(f,P_n) \ =\ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\cdot m_i(f,P_n) }

gdzie,

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m_i(f,P_n) \ =\ \inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x) \ =\ \frac{i-1}{n}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle L(f,P_n) \ =\ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot\frac{i-1}{n} \ =\ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n (i-1) \ =\ \frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2}. }

Całka wynosi zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\,dx \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2} \ =\ \frac{1}{2}. }

{{red}Rysunek AM1.M14.C.R01a (nowy)}
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R01b (nowy)}
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R01c (nowy)}
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R01d (nowy)}
Odpowiedź: Całka wynosi $\frac{1}{2}.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji okrąg $f(x)=\sqrt{x}$ i $g(x)=x^2.$

{black}

Wskazówka

Wykonać rysunek. Skorzystać z geometrycznej interpretacji całki.

{}$◻$

Rozwiązanie

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R02 (nowy)}
Pole tego obszaru jest równe różnicy pól pod wykresami obu zadanych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla $x=1.$ Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P \ =\ 2\bigg( \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{x}\,dx - \displaystyle\int\limits_0^1 x^2\,dx \bigg) \ =\ \bigg[\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}\bigg]_0^1 \ =\ \frac{2}{3}-\frac{1}{3} \ =\ \frac{1}{3}. }

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $\frac{1}{3}.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},$ osią $Oy$ oraz prostymi $x=0$ i $x=1.$

{black}

Wskazówka

Wykonać rysunek. Zauważmy, że obszar jest nieograniczony, i licząc pole będziemy mieli do czynienia z całką niewłaściwą.

{}$◻$

Rozwiązanie

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R03 (nowy)}
Pole tego obszaru jest równe polu pod wykresem funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ dla $x\in (0,1].$ Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \ =\ 2\sqrt{x}\bigg|_0^1 \ =\ 2. }

Zwróćmy tutaj uwagę, że całka $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ jest niewłaściwa, gdyż $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\mathrm{\infty }.$ Powyższy zapis jest skróconą wersją zapisu z definicji całki niewłaściwej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \ =\ \lim_{a'\rightarrow 0^+}2\sqrt{x}\bigg|_{a'}^1. }

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $2.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Obliczyć pole mniejszego z obszarów ograniczonego przez okrąg $x^2+y^2=1$ oraz wykres funkcji $f(x)=|x|.$

{black}

Wskazówka

Zauważyć, że obszar ten jest ograniczony od góry i od dołu wykresami pewnych funkcji. Wykorzystać symetrię obszaru. Wykonać rysunek.

{}$◻$

Rozwiązanie

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R04 (nowy)}
Obszar jest symetryczny względem osi $Oy,$ więc wystarczy obliczyć pole połowy obszaru (dla $x\ge 0$). Obszar leży między wykresami funkcji $f(x)=x$ oraz $g(x)=\sqrt{1-x^2},$ zatem jego pole jest równe różnicy pól pod wykresami obu powyższych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla $x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned P & = & 2\bigg( \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt{1-x^2}\,dx - \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} x\,dx \bigg)\\ & = & 2\bigg[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{x^2}{2}\bigg]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \ =\ 2\frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{1-\frac{1}{2}} +\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2} \ =\ \frac{\pi}{4}. \endaligned}

Na zakończenie zauważmy, że rozważanym obszarem jest ćwiartka koła, którego pole wynosi $\frac{1}{4}\cdot \pi .$
Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $\frac{\pi }{4}.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi opisanymi przez: $y=x,y=2x,xy=1$ i $xy=2$ (dla $x>0$ i $y>0$).

{black}

Wskazówka

Wykonać rysunek obszaru. Podziel obszar na kilka obszarów, z których każdy leży między wykresami pewnych funkcji.

{}$◻$

Rozwiązanie

Rozważany obszar znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. W celu opisania tego obszaru wyznaczmy punkty przecięcia krzywych ograniczających obszar. Kolejno rozwiązując układy równań:

$\{\begin{array}{l}y=x\\ xy=1\end{array}\{\begin{array}{l}y=x\\ xy=2\end{array}\{\begin{array}{l}y=2x\\ xy=1\end{array}\{\begin{array}{l}y=2x\\ xy=2\end{array}$

otrzymujemy punkty przecięcia:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A:\ \left\{ \begin{array} {l} x=1\\ y=1 \end{array} \right. \quad B:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\sqrt{2}\\ y=\sqrt{2} \end{array} \right. \quad C:\ \left\{ \begin{array} {l} x=1\\ y=2 \end{array} \right. \quad 2:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=\sqrt{2} \end{array} \right. }

patrz rysunek:
{{red}Rysunek AM1.M14.C.R05 (stary numer AM2.9.22)}
Zatem rozważany obszar możemy podzielić na dwa obszary normalne:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D_1 \ =\ \bigg\{(x,y):\ \frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1,\ \frac{1}{x}\le y\le 2x\bigg\}, \qquad D_2 \ =\ \bigg\{(x,y):\ 1\le x\le \sqrt{2},\ x\le y\le \frac{2}{x}\bigg\}. }

Zatem pole rozważanego obszaru wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned P & = & |D_1|+|D_2| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1\bigg[2x-\frac{1}{x}\bigg]\,dx +\displaystyle\int\limits_1^{\sqrt{2}}\bigg[\frac{2}{x}-x\bigg]\,dx \ =\ \bigg[x^2-\ln x\bigg]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 +\bigg[2\ln x-\frac{1}{2}x^2\bigg]_1^{\sqrt{2}}\\ & = & 1-\frac{1}{2}+\ln\frac{\sqrt{2}}{2} +2\ln \sqrt{2}-1+\frac{1}{2} \ =\ \ln \sqrt{2}. \endaligned}

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $\ln \sqrt{2}.$

{}$◻$

Ćwiczenie

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$

{black}

Wskazówka

Wykorzystać kryterium całkowe zbieżności szeregów.

{}$◻$

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że funkcją $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ jest malejąca w przedziale $[2,+\mathrm{\infty })$ (jako odwrotność funkcji dodatniej, rosnącej) oraz $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0.$ Możemy zatem skorzystać z kryterium całkowego zbieżności szeregów, z którego wynika, że zbieżność szeregu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ jest równoważna zbieżności całki $\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$ Zatem liczymy całkę (stosując podstawienie)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_2^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} \ln x & = & t\\ \displaystyle\frac{1}{x} & = & \,dt \end{array} \right| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{t}\,dt \ =\ \ln |t|\bigg|_{\ln 2}^{\infty} \ =\ +\infty. }

Na mocy kryterium całkowego, szereg $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ jest rozbieżny.

Odpowiedź: Szereg $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ jest rozbieżny.

{}$◻$