Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 3: Przestrzeń probabilistyczna I

Ćwiczenia i zadania

Ćwiczenie

Z pudła, w którym jest pięć par butów, dziecko wyciąga dwa buty. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że są one z jednej pary.

Zdarzeniem elementarnym jest tutaj każdy 2-elementowy podzbiór zbioru 10-elementowego. Tak więc zbiór $\mathrm{\Omega }$ ma Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\2\end{array} \right)} elementów. Zdarzenie sprzyjające $A$ składa się pięciu elementów, bo tyle jest par butów, a więc jego prawdopodobieństwo wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle P(A) = \frac{5}{\left(\begin{array} {@{}c@{}}10\\2\end{array} \right)} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}.}

Ćwiczenie

Skreślamy siedem spośród czterdziestu dziewięciu liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że maszyna losująca (bez zwracania) sześć z 49 kulek z numerami od 1 do 49, wylosuje dokładnie cztery "nasze" liczby?

Zdarzeniem elementarnym jest tutaj każdy 6-elementowy podzbiór zbioru $\{1,\dots ,49\}$. Natomiast zdarzenie $A$ polegające na tym, że wśród sześciu liczb wylosowanych przez maszynę są dokładnie cztery "nasze" liczby, składa się z takich 6-elementowych podzbiorów zawartych w $\{1,\dots ,49\}$, że cztery ich elementy są wybrane ze zbioru 7-elementowego -- jest $\left({}^7{}_4\right)$ takich możliwości, a dwa pozostałe ze zbioru o 42 (= 49 -- 7) elementach -- jest $\left({}^{42}{}_2\right)$ takich możliwości. Ponieważ te dwa wybory są dokonywane niezależnie od siebie, to moc zbioru $A$ jest iloczynem $\left({}^7{}_4\right)\left({}^{42}{}_2\right)$. W takim razie:

$P(A)=\frac{\mathrm{\#}A}{\mathrm{\#}\mathrm{\Omega }}=\frac{\left({}^7{}_4\right)\left({}^{42}{}_2\right)}{\left({}^{49}{}_6\right)}=\frac{205}{95128}\approx 0.002154991170.$

Proponujemy Wam policzenie podobnych wielkości dla różnych parametrów. Zauważycie wtedy, że trafienie, na przykład, dwójki jest dużo bardziej możliwe, bo wynosi około $0.1680893112$.

Ćwiczenie

Jeżeli zbiór $\mathrm{\Omega }$ jest skończony, to oczywiście każda $\sigma$-algebra składająca się z podzbiorów $\mathrm{\Omega }$ jest skończona. Warto się zastanowić, jak wyglądają takie $\sigma$-algebry.

Największą z nich jest ${𝒫}(\mathrm{\Omega })$, zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega }$, zaś najmniejszą -- rodzina składająca się z dwóch elementów, to jest $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$. Jeżeli $\mathrm{\Omega }$ ma więcej niż dwa elementy, to można wskazać także inne $\sigma$-algebry. Niech $A,B\subset \mathrm{\Omega }$ będą dwoma niepustymi, rozłącznymi zbiorami takimi, że $A\cup B=\mathrm{\Omega }$. Z naszego założenia wynika, że przynajmniej jeden ze zbiorów ($A$ lub $B$) posiada więcej niż jeden element. Niech, na przykład, $A$ zawiera dwa różne elementy ${\omega }_1$ i ${\omega }_2$. Widać, że rodzina $\{\mathrm{\varnothing },A,B,\mathrm{\Omega }\}$ jest $\sigma$-algebrą. Jest ona różna od ${𝒫}(\mathrm{\Omega })$, gdyż nie zawiera żadnego ze zbiorów $\{{\omega }_1\}$ i $\{{\omega }_2\}$.

We wprowadzającym przykładzie o sumie oczek na kostkach, mieliśmy 11 zbiorów, $S_2$, , $S_{12}$. Tutaj $\sigma$-algebrą $\mathrm{\Sigma }$ jest rodzina składająca się ze wszystkich możliwych sum utworzonych z tych zbiorów. Można utworzyć tyle takich sum, ile jest wszystkich podzbiorów zbioru 11 elementowego, czyli $2^{11}$. Chociaż jest to duża liczba, to nasza $\sigma$-algebra jest o wiele mniejsza od ${𝒫}(\mathrm{\Omega })$, która ma $2^{36}$ elementów.

. . .

Ćwiczenie

Rzucono dwiema kostkami do gry. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że suma oczek jest większa niż 9, zaś $B$ -- zdarzenie, że na obu kostkach liczba oczek jest większa niż $3$. Oblicz $P(A)$, $P(B)$, $P(A)+P(B)$, $P(A\cup B)$, $P(A)P(B)$ oraz $P(A\cap B)$.

Ćwiczenie

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że skreślając 6 spośród 30 liczb trafimy: (a) dokładnie dwie, (b) co najmniej trzy, (c) co najwyżej cztery, (d) dokładnie pięć spośród pięciu liczb wylosowanych przez maszynę.

Ćwiczenie

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w grupie 10 osobowej są dokładnie dwie osoby obchodzące urodziny w marcu (dla uproszczenia przyjmij założenie, że miesiąc = $1/12$ roku.)

Ćwiczenie

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w grupie 20 osobowej są dokładnie dwie osoby obchodzące urodziny w tym samym dniu.

Ćwiczenie

Zbudować przestrzeń probabilistyczną opisującą eksperyment polegający na rzucie dwiema kostkami, przy czym znamy jedynie różnicę liczb oczek, jakie pojawiły się na obu kostkach. Uwzględnij następujące przypadki: (a) rozróżniamy kostki, (b) nie rozróżniamy kostek.

Ćwiczenie

Wykaż własności 1 i 2 z twierdzenia Uzupelnic d15|, wykorzystując definicję przestrzeni probabilistycznej.

Wskazówka. Ad 1. $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }\cup \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\varnothing }$. Ad 2. Mając sumę skończoną zbiorów, można ją traktować jako sumę nieskończoną, dopisując nieskończenie wiele razy zbiór pusty.

Ćwiczenie

Wykaż własności 3, 4, 5 i 6 z twierdzenia Uzupelnic d15|.

Wskazówka. $B=A\cup (B\setminus A)$ oraz $A\cup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (A\cap B)$.

Ćwiczenie

Wykaż własność 7 z twierdzenia Uzupelnic d15| (zacznij od najprostszego przypadku dwóch zbiorów).

Ćwiczenie

Udowodnij, że $P(\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n)=1$, o ile $P(A_n)=1$ dla wszystkich $n$.

Ćwiczenie

Do zdjęcia pozują cztery pary małżeńskie. Jaka jest szansa na to, że żadna żona nie stoi obok swojego męża, jeżeli wszyscy stoją w jednym rzędzie?

Ćwiczenie

Przez pustynię jedzie karawana złożona z pięciu wielbłądów. Na ile sposobów można zmienić kolejność wielbłądów w karawanie tak, aby przed żadnym wielbłądem nie szedł ten, co poprzednio?

Ćwiczenie

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym wkładaniu $n$ listów do zaadresowanych uprzednio $n$ kopert: (a) każdy list trafi do właściwej koperty, (b) dokładnie $r$ listów trafi do właściwych kopert ($0\le r<n$), (c) przynajmniej jeden list trafi do właściwej koperty?

Ćwiczenie

Wykaż, że jeżeli w przestrzeni probabilistycznej wszystkie zdarzenia elementarne mają takie samo prawdopodobieństwo dodatnie, to zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony.