TKI Moduł 1

Teoria kategorii jako ogólny dział algebry wyrosła z prac Samuela Eilenberga i Saundersa MacLane'a: pionierską pracą jest tu General theory of natural equivalences, Transactions of the American Mathematical Society 58 (1945), pp. 231-294 - autorzy wprowadzili tam pojęcie kategorii, funktora i naturalnej transformacji funktorów. Teoria kategorii szybko przekroczyła granice algebry i jej język okazał się uniwersalnym sposobem mówienia o innych teoriach matematycznych: logice, teorii zbiorów, topologii, teorii porządku, geometrii, analizie itd. Jak to możliwe? Treść tych wykładów stanowi jedną z odpowiedzi na to pytanie.

Zacznijmy od definicji z teorii mnogości: jak pamiętamy, funkcja $f:A\to B$ jest bijekcją jeśli jest różnowartościową surjekcją, tj.

$\mathrm{\forall }x,y\in Af(x)=f(y)⟹x=y$ oraz

$\mathrm{\forall }z\in B\mathrm{\exists }x\in Af(x)=z$.

Zauważmy, że drugi warunek pozwala nam każdemu elementowi $z$ zbioru $B$ przyporządkować element $x$ zbioru $A$, zaś warunek pierwszy mówi, że to przekształcenie (nazwijmy je $g$) jest funkcją (śmiało napiszmy więc $g:B\to A$). W tym świetle z warunku drugiego wynika, że złożenie $f\circ g$ jest funkcją identycznościową na zbiorze $B$, a stąd wynika $f\circ g\circ f=f$, co w połączeniu z pierwszym warunkiem oznacza, że $g\circ f$ jest identycznością na zbiorze $A$. Idąc dalej tym tropem (patrz Zadanie 1.1.) jesteśmy w stanie bez trudu pokazać, że:

Fakt 1.1. Funkcja $f:A\to B$ jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, 
gdy  istnieje funkcja $g:B\to A$ taka, że 
$f\circ g=1_B$ oraz $g\circ f=1_A$.

Sam wynik nie wygląda, być może, ekscytująco, ale w koniunkcji z kolejnymi przykładami pozwoli nam wyciągnąć ekscytujące wnioski.

Rozważmy zatem zbiór liczb naturalnych $N$. Teoria mnogości definiuje $N$ jako najmniejszy zbiór zawierający liczbę zero $0$ (definiowaną jako zbiór pusty) i spełniający: $n\in N⟹succ(n)\in N$, gdzie $succ:N\to N$ jest funkcją następnika (definiowaną jako $succ(n)=n\cup \{n\}$). Okazuje się, że zbiór liczb naturalnych można wyróżnić spośród innych zbiorów w ten sposób (Zadanie 1.2):

Fakt 1.2. Zbiór liczb naturalnych $N$ jest to zbiór 
zawierający liczbę zero oraz wyposażony w funkcję $s:N\to N$ taką, że:
dla dowolnego zbioru $X$ i elementu $e\in X$ 
oraz funkcji $g:X\to X$ 
istnieje dokładnie jedna funkcja $f:N\to X$
spełniająca dwa warunki: $f(0)=e$ oraz $f\circ s=g\circ f$.

Dwa powyższe przykłady wskazują na to, że definicje teorii mnogości można wyrażać operując jedynie pojęciem funkcji i złożenia funkcji (zauważmy, że elementy zbiorów można traktować jako funkcje, których dziedziną jest singleton). Postawmy więc śmiałe pytanie: czy można prezentować różnorodne teorie matematyczne badając jedynie własności przekształceń obiektów matematycznych będących przedmiotem zainteresowania danej teorii? A zatem pytamy czy: można prezentować teorię mnogości badając własności funkcji między zbiorami, teorię grup badając własności homomorfizmów grup, topologię badając własności funkcji ciągłych pomiędzy przestrzeniami topologicznymi? W ogólności zapytajmy więc jeszcze raz: czy można badać dowolne obiekty matematyczne z określoną strukturą za pomocą własności przekształceń, które tę strukturę zachowują?

Odpowiedź brzmi: tak; i ta właśnie twierdząca odpowiedź powołuje do życia teorię kategorii. Teoria kategorii składa się bowiem z twierdzeń dotyczących uniwersalnych własności przekształceń, niezależnych od cech szczególnych danych teorii matematycznych. Tak więc, teoria kategorii bada wspólne, uniwersalne własnościami zbiorów, grup, przestrzeni topologicznych, przestrzeni wektorowych, częściowych porządków, i tak dalej, wszystko w języku przekształceń danej struktury.

Rozpocznijmy pewien eksperyment. Dokonajmy szybko pierwszej, nieformalnej próby stworzenia aksjomatycznej teorii przekształceń. Przekształcenie nazywać będziemy również morfizmem lub po prostu strzałką. Przekształcenie działa pomiędzy obiektami, np. funkcja to przekształcenie zbiorów, homomorfizm to przekształcenie grupy w grupę, funkcja ciągła to przekształcenie przestrzeni topolgicznej w przestrzeń topologiczną, funkcja monotoniczna to przekształcenie posetu w poset, itd. (Załóżmy na początku dla prostoty, że w naszych przykładach nie bierzemy pod uwagę przekształceń obiektów pewnej klasy w inną klasę, na przykład wyznacznika, który przekształca macierz w liczbę. Takimi morfizmami zajmiemy się poźniej.) Każde przekształcenie $f$ działa na pewien jedyny obiekt, nazwijmy go dziedziną $f$ i oznaczmy $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$, i przekształca go w inny jedyny obiekt nazywany przeciwdziedziną $f$ i oznaczany jako $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)$. Fakt, że morfizm $f$ ma dziedzinę $A$ i przeciwdziedzinę $B$ zapisujemy

DIAGRAM 1

lub po prostu $f:A\to B$. Nasza teoria nie może istnieć bez pojęcia złożenia przekształceń: zakładamy, że dwóm morfizmom $f,g$ takim, że $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(g)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$ (strzałki takie nazywamy składalnymi) przypisujemy morfizm $f\circ g$ zwany złożeniem, dla którego mamy $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)$ i $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f\circ g)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)$. Przykłady wskazują na to, że kolejność złożenia składalnych przekształceń nie powinna grać roli, czyli dla:

DIAGRAM 2

morfizm:

DIAGRAM 3

może powstać albo z:

DIAGRAM 4

albo, równoważnie, z:

DIAGRAM 5

W końcu, w naszej nieformalnej teorii przekształceń postulujemy istnienie przekształceń, które - nieformalnie mówiąc: nic nie zmieniają, tak zwanych identyczności:

DIAGRAM 5

To kończy nieformalny opis języka, w którym główną rolę grają przekształcenia. Zapiszmy to teraz formalnie.

Definicja 1.3. Kategoria $\mathbf{𝐂}$ składa się z:

1. obiektów: $A,B,C,...$,
2. morfizmów $f,g,h,...$,
3. dwóch operacji $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}$ przypisującej każdemu morfizmowi $f$ obiekty $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$i $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)$,
4. operacji $1$ przypisującej każdemu obiektowi $A$ morfizm $1_A$ nazywany identycznością,
5. operacji $\circ$ przypisującej każdej parze morfizmów $f,g$ takich, że $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(g)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$ morfizm $f\circ g$ nazywany złożeniem

spełniających następujące aksjomaty:

1. $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(1_A)=A=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(1_A)$; $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)$; $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f\circ g)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)$,
2. $f\circ 1_A=f=1_B\circ f$, gdzie $A=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$ oraz $B=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)$,
3. jeśli $f,g$ są składalne oraz $g,h$ są składalne, to $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.