Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

Wyznacznik, ślad, wartość własna, wielomian charakterystyczny endomorfizmu i macierzy

W wykładzie tym zakładamy, że wszystkie przestrzenie są skończenie wymiarowe nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ o charakterystyce równej $0$.

Mówimy, że macierze kwadratowe $A,B\in M(n,n;\mathbb{𝕂})$ są podobne, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa $P$, dla której $B=P^{-1}AP$. Macierze podobne mają ten sam wyznacznik, bo

$\det B=\det P^{-1}\det A\det P=\frac{1}{\det P}\det A\det P=\det A.$

Zdefiniujemy teraz ślad macierzy. Tak jak wyznacznik, ślad macierzy definiuje się tylko dla macierzy kwadratowych. Dla macierzy $A=[a_{ij}]\in M(n,n;\mathbb{𝕂})$ definiujemy jej ślad Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tr”): {\displaystyle \tr A} jako sumę jej wyrazów leżących na głównej przekątnej, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal tr A=\sum _{i=1}^n a_{ii}.}

Odwzorowanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle M(n,n;\mathbb K )\ni A\longrightarrow \textnormal tr A \in \mathbb K }

jest liniowe.

Pamiętamy, że mnożenie macierzy jest na ogół nieprzemienne. Mamy natomiast następujące twierdzenie

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych macierzy $A,B\in M(n,n;\mathbb{𝕂})$ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tr”): {\displaystyle \tr (AB)=\tr (BA).}

Dowód

Niech $A=[a_{ij}]$, $B=[b_{ij}]$. Oznaczmy przez $C=[c_{ij}]$ macierz $AB$ i przez $D=[d_{ij}]$ macierz $BA$. Mamy następujące równości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal tr (AB)=\sum _{i=1}^n c_{ii}=\sum _{i=1}^n \sum _{k=1}^n a_{ik}b_{ki}= \sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^m b_{ki}a_{ik} =\sum _{k=1}^n d_{kk}=\textnormal tr (BA).}