Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Wykład 4: Przestrzeń probabilistyczna II

Najpierw zajmiemy się losowaniami ze zwracaniem i bez zwracania; można je opisać za pomocą schematu klasycznego. Natomiast schemat geometryczny stanowi zupełnie inny rodzaj przestrzeni probabilistycznej. Zwrócimy uwagę na problem właściwego doboru przestrzeni probabilistycznej.

Losowania

Podamy teraz dwa ważne przykłady zastosowania schematu klasycznego - losowanie bez zwracania  i losowanie ze zwracaniem. Przypuśćmy, że mamy dany $r$ elementowy zbiór $R$, z którego losujemy $n$ elementów. Zakładamy, że wszystkie wyniki naszego losowania są jednakowo możliwe. Wyobraźmy sobie, na przykład, że w urnie jest $r=10$ ponumerowanych kul i że wyciągamy z tej urny po kolei $n=5$ kul.

Ilustracja?

Zauważmy, że mogą być tu zastosowane dwie metody losowania:

• po wyciągnięciu kuli zapisujemy jej numer i wrzucamy ją z powrotem do urny,

• kolejne wyciągnięte kule ustawiamy obok urny.

W pierwszym przypadku, wynikiem naszego eksperymentu jest ciąg pięciu liczb, który, przykładowo, może mieć postać:

$4,2,10,5,7;3,3,6,1,2;1,2,3,4,5\text{ lub }7,7,7,7,5;$

każdy taki ciąg jest dla nas zdarzeniem elementarnym. Zauważmy, że kule mogą się powtarzać i że musimy uwzględniać kolejność, w jakiej się pojawiają. Gdybyśmy nie uwzględnili kolejności, wynik $1,2,3,4,5$ odpowiadałby wielu losowaniom, a wynik $4,4,4,4,4$ tylko jednemu, tak więc prawdopodobieństwo drugiego wyniku musiałoby być mniejsze niż prawdopodobieństwo wyniku pierwszego, co w schemacie klasycznym nie może zachodzić - a właśnie ten schemat chcemy wykorzystać.

W drugim przypadku, wynikiem naszego eksperymentu jest zbiór pięciu liczb, na przykład:

$\{3,5,6,7,8\};\{1,2,4,8,10\}\text{ lub }\{2,3,4,5,6\};$

każdy taki zbiór jest dla nas zdarzeniem elementarnym. Zauważmy, że kule nie mogą się oczywiście powtarzać i że nie uwzględniamy kolejności - wyobraźmy sobie, że zamiast wyciągać kule po kolei bierzemy pięć kul jednocześnie (i dopiero wtedy odczytujemy numery).

Wróćmy teraz do sytuacji ogólnej i określmy zbiór $\mathrm{\Omega }$ zdarzeń elementarnych oraz obliczmy liczbę jego elementów w przypadku losowania ze zwracaniem i losowania bez zwracania.

W losowaniu ze zwracaniem, $\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem wszystkich $n$-elementowych ciągów (Dawniej takie ciągi nazywano $n$-elementowymi wariacjami z powtórzeniami) o wyrazach ze zbioru $R$, albo inaczej $n$-krotnym iloczynem kartezjańskim: [LM]

$\mathrm{\Omega }=R^n=\{(r_1,\dots ,r_n):r_i\in R\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}i=1,\dots ,n\}.$

Stosując prostą indukcję, można łatwo stwierdzić, że $\mathrm{\#}\mathrm{\Omega }=r^n$. Na przykład, dla $n=2$ zbiór $\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem wszystkich możliwych par utworzonych z elementów zbioru $R$, a więc ma $r^2$ elementów. W takim razie, podczas losowania ze zwracaniem prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego wynosi $\frac{1}{r^n}$.

W losowaniu bez zwracania, $\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem wszystkich $n$-elementowych podzbiorów (Mówi się też o $n$-elementowych kombinacjach) zbioru $R$:

$\mathrm{\Omega }=\{K:K\subset R,\mathrm{\#}K=n\}.$

Można łatwo obliczyć moc zbioru $\mathrm{\Omega }$. Mianowicie, $\mathrm{\#}\mathrm{\Omega }=\left({}^r{}_n\right)$, gdzie $\left({}^r{}_n\right)=\frac{r!}{n!(r-n)!}$ jest znanym ze szkoły symbolem Newtona. W takim razie, podczas losowania bez zwracania prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego wynosi $\frac{1}{\left({}^r{}_n\right)}$.